Методичка по сопромату (I семестр)
.pdf
|
|
|
|
|
|
100 |
|
yc |
= y0 = |
2110 ,95 |
= |
2110 |
,95 |
= 0,0265 м; |
|
ЕJ |
7,9454 |
10 4 |
|||||
|
|
|
|
|
EJy |
A |
= EJy |
|
|
= 2110.95 −692.4 3 − |
10 34 |
= 2110.95 −2077.2 −33.75 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I |
|
x=3м |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
EJyD = EJyII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5.54 |
|
|
40 |
2.52 |
|
153.5 |
2.53 |
|
|
10 |
2.54 |
|||||||||||
|
|
|
= 2110.95 − 692.4 5.5 − |
|
|
|
24 |
− |
|
|
2 |
+ |
|
|
6 |
|
|
+ |
|
24 |
= |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
=5.5м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
= 2110.95 −3808.2 −381.28 −125 +399.74 +16.28 = −1787.51 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yD = −1787.51 = − |
1787.51 |
|
|
= −0.0225 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
EJyE = EJyIII |
|
|
|
|
|
|
|
10 84 |
|
40 |
|
52 |
|
153.5 |
53 |
10 |
54 |
|
|
120 |
2.53 |
||||||||||||
|
|
|
= 2110.95 −692.4 8 − |
|
24 |
|
|
− |
|
2 |
|
|
+ |
6 |
|
|
+ |
24 |
− |
|
|
6 |
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
=8м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= 2110.95 −5539.2 −1706.67 −500 +3197.92 + 260.42 −312.5 = −2489.08 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
yE = − |
2489.08 |
= − |
|
2489.08 |
|
|
= −0.0313 м; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
EJyB = EJyI V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 134 |
|
|
40 102 |
|
|
153.5 |
103 |
|
|
10 10 |
4 |
||||||||||||
|
|
= 2110.95 − 692.4 13 − |
|
|
24 |
|
− |
|
2 |
+ |
|
6 |
|
|
+ |
|
24 |
− |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x=13м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
− |
120 7.53 − |
20 54 |
= 2110.95 −9001.2 −11900.42 −2000 + 25583.33 + 4166.67 − |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−8437.5 −520.83 = 31860.95 −31859.95 =1.
Похибка обчислень складає ε = 318591 100.95 = 0.0031% ≈ 0 , тому можна вважати, що yB = 0.
Отримаємо універсальне рівняння пружної лінії для кутів повороту. Для цього продиференцюємо універсальне рівняння пружної лінії для прогинів.
′ |
|
|
q1x3 |
|
|
|
M (x −3)1 |
|
VA (x −3)2 |
|
q1(x −3)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
EJy |
= EJθ = EJθ0 |
− |
3! |
|
|
− |
1! |
+ |
2! |
|
+ |
3! |
|
|
− |
|
← |
|
I |
|
|
|
← |
|
II |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
≤x≤3м |
|
|
|
|
|
|
|
3м≤x≤5.5м |
|
|
|
||
101
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
F(x −5.5)2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
q |
2 |
(x −8)3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
← |
|
|
III← |
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.5м≤x≤8м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8м≤x≤13м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Обчислюємо кути повороту на межах ділянок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
θc =θ0 = − |
692,4 |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
692,4 |
|
|
|
|
= −0,0087 рад; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
EJ |
|
7,9454 104 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
= −692.4 − |
10 33 |
|
= −692.4 −45 = −737.4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJyA |
= EJyI |
x=3м |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
θA |
= − |
737.4 |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
737.4 |
|
|
|
|
|
|
= −0.0093 рад. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 5.53 |
|
|
|
40 2.5 153.5 2.52 |
|
10 2.53 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= −692.4 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
||||||||||||
|
EJyD |
= EJyII |
x=5.5м |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= −692.4 − 277.29 −100 + 479.69 + 26.04 = −563.96 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
θD |
= − 563.96 |
= − |
|
|
|
|
|
563.96 |
|
|
|
|
|
= −0.0071 рад. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
′ |
′ |
|
= −692.4 − |
10 |
83 |
|
|
|
− |
40 5 |
+ |
153.5 52 |
+ |
10 53 |
− |
120 2.52 |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
EJyE = EJyIII |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x=8м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= −692.4 −853.33 − 200 +1918.75 + 208.33 −375 = 6.35 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
θE |
= 6.35 |
= |
|
|
|
|
6.35 |
|
|
|
|
= 7.99 10−5 рад.≈0. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 133 |
|
|
|
|
|
|
40 10 |
|
|
|
153.5 102 |
|
|
10 103 |
|
120 7.52 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= −692.4 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
− |
|||||||||||||||
EJyB = EJyIV |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
20 53 |
|
x=13м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
− |
= −692.4 −3661.67 −400 +7675 +1666.67 −3375 −416.67 = 795.93 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
θB = |
795.93 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
795.93 |
|
|
|
|
|
= 0.01 рад. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9454 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6. Побудувати пружну лінію балки і перевірити умову жорсткості.
102
За обчисленими значеннями прогинів і кутів повороту на рис. 3.17,д побудовано пружну лінію балки. Для наочності масштаб прогинів збільшено, у порівнянні з масштабом довжин, у 100 разів. Тому відкласти кути повороту у масштабі неможливо. При побудові пружної лінії балки необхідно враховувати наступні закономірності. Опуклість пружної лінії балки завжди направлена у той бік, де розташована епюра згинальних моментів. Нульова точка епюри М є точкою перегину пружної лінії балки. В цій точці кривизна її змінює знак на протилежний.
З рис. 3.17, д видно, що стріла прогину балки f=3.13 см. Допустима стріла прогину, за умовою, складає 1/250 прольоту балки, тобто
[ f ] = |
l |
= |
10 102 |
= 4 см. |
||
250 |
|
250 |
||||
|
|
|
||||
Так як f=3.13 см<[f]=4 см, то жорсткість балки забезпечена.
7. Виконати контроль обчислень на ПЕОМ згідно з інструкцією до програми ”PROCH” (див. додаток 5). Усі необхідні для вводу в ПЕОМ дані наведені нижче.
Робота №3 з опору матеріалів (задача 2) Іванов І.І., гр.М-21,
сх.-вар., par |
|
1 7 0 |
Число ділянок |
4 |
|
Номери опорних точок |
2 5 |
|
----------------------------------------- |
||
№ т.| Xi[м] |
Mi[кнм] Fi[кн] qi[кн/м] |
|
----------------------------------------- |
||
1 | 0.00 |
0.00 0.00 |
-10.00 |
103
2 |
| |
3.00 |
-40.00 |
0.00 |
0.00 |
3 |
| |
5.50 |
0.00 |
-120.00 |
0.00 |
4 |
| |
8.00 |
0.00 |
0.00 -20.00 |
|
5 |
| 13.00 |
0.00 |
0.00 |
0.00 |
|
Контрольні дані |
h, y5, t5 |
0.500 0.000 0.010 |
|||
Максимальні зусилля |M|max, |Q|max 232.81 123.50
Результати обчислень на ПЕОМ за програмою ”PROCH”, що виконані згідно з інструкцією (див. додаток 5), наведені на рис. 3.19.
104
Задача 2. Розрахунок сталевої двотаврової балки
Результати розрахунку
Опорні реакції Va=153.50кН Vb=96.50кН
|M|max=232.81кНм при Х=8.18м |Q|max=123.50кН при Х=3.00м
Розміри двотаврового перерізу
W=0.001455м3=1455см3 I№50 W*=1589см3 J*=39727см4 h=0.50м b=0.170м d=0.010м t=0.0152м
Максимальні напруження для перерізу Smax=146.51МПа не перевищує допустимі напруження Tmax= 28.57МПа не перевищує допустимі напруження Небезпечні і еквівалентні напруження для перерізу
Sнеб=132.27МПа Топ= 19.46МПа Sекв=137.42МПа
Початкові параметри EIY0=2111.25кНм3 EIT0=-692.50кНм2
Жорсткість при згині EJ=79454кНм2 Стріла прогину f=0.03133м при Х=7.97м Умова жорсткості виконується f<[f]=0.040м
Виконав на ПЕОМ ст. Іванов І.І., гр.М-21, сх.-вар. 1 7
Рис. 3.19
105
Приклад 3.12. Виконати розрахунок двотаврової сталевої балки на міцність та жорсткість, якщо Rзг=215 МПа, Rск=130 МПа, [f]=l/250.
Розв’язання виконуємо в такому порядку.
1. Визначити опорні реакції і побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів
∑M A = − M + q1 5 2.5 + F 5 −VB 8 + q2 2 9 = 0
VB = 18 (−30 + 20 5 2.5 +100 5 +10 2 9) = 9008 =112.5 кН,
∑M B = −M +VA 8 − q1 5 5.5 − F 3 − q2 2 1 = 0
VA = 18 (30 + 20 5 5.5 +100 3 −10 2 1) = 8608 =107.5 кН.
Перевірка: ∑Y = −q1 5 +VA − F +VB −q2 2 = −20 5 +107.5 −100 +112.5 −10 2 =
= −220 + 220 = 0. Тобто, реакції визначені правильно.
Балка має чотири ділянки (рис. 3.20, а). Складемо функції Q і M на кожній з них та обчислимо значення цих функцій у характерних перерізах.
Ділянка І (0 ≤ х ≤ 2.5 м)
Q(x) = 0;
M (x) = −M = −30 кН = const.
Ділянка ІІ (0 ≤ х ≤ 5 м)
Q(x) =VA −q1x - л.ф.; |
Q |
|
x=0 =107.5, Q |
|
x=5м =107.5 −20.5 = 7.5 кН. |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
M (x) = −M +VA x − q1x2 2 - парабола; |
||||||||
M |
x=0 |
= −30кНм; M |
x=2.5м |
|
= −30 +107.5 2.5 −20 2.52 2 =176.25 кНм; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M |
x=5 |
м |
= −30 +107.5 5 −20 52 2 = 257.5 кНм. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ділянка ІІІ (0 ≤ х ≤ 3 м)
106
Q(x) = q2 2 −VB =10 2 −112.5 = −92.5 кН = сonst.
M (x) = −q2 2 (1+ x) +VB x − л.ф., M |
|
x=0 = −10 |
2 1 = −20 кНм, |
||
|
|||||
|
|
||||
M |
|
x=3 м = −10 2 4 +112.5 3 = 257.5 |
кНм. |
||
|
|||||
|
|
||||
Ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 2 м)
Q(x) = q2 x - л.ф. Q x=0 = 0, Q x=2м =10 2 = 20кН.
M (x) = −q2 x2 
2 - парабола;
M x=0 = 0, M x=1м = −10 12 2 = −5 кНм, M x=2м = −10 22 2 = −20 кНм
107
|
M=30кНм |
I |
|
II |
q1=20кН/м |
F=100кН |
|
IV |
q2=10кН/м |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а |
С |
|
|
|
|
|
III |
B |
|
|
E |
|
|
A |
x |
|
|
D |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
VА=107.5кН |
|
|
|
VB=112.5кН |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2.5м |
|
5м |
|
3м |
|
|
2м |
|
|
|
|
|
|
Q кН |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107.5 |
|
|
7.5 |
|
|
20 |
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
92,5 |
|
|
|
|
|
|
|
M |
кНм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в |
30 |
|
30 |
|
|
257.5 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
F=100кН |
|
|
|
|
|
|
M=30кНм |
|
I |
|
|
|
|
IV q2=10кН/м |
||||
|
|
II |
|
III |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г |
С |
|
|
|
q1=20кН/м |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
A |
|
D |
|
|
|
|
E |
|
|
x |
|
|
|
q1=20кН/м |
|
B |
|
||
|
|
|
VА=107.5кН |
x |
|
VB=112.5кН |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
θC |
|
|
|
Пружна лінія балки |
|
|
|
θE |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θB |
|
|
см |
|
2.32см |
|
θA |
|
|
2.56см |
|
|
|
2.06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д |
|
|
|
|
θD |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
108 |
Рис. |
3.20 |
109
За обчисленими значеннями Q і M на рис. 3.20, б і в побудовано епюри поперечних сил та згинальних моментів.
2. Підібрати номер двотавра з умови міцності балки за нормальними напруженнями, якщо Rзг=215 МПа, n=1, m=1.
В небезпечному перерізі балки, де діє Mmax =257.5 кНм, визначаємо з умови міцності за нормальними напруженнями
(3.17)
W = |
|
M |
|
max n |
= |
257.5 103 1 |
=1.198 10 −3 м3 |
=1197см3 , |
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 215 106 |
|
||||
|
|
m Rзг |
|
|
|||||
і за сортаментом (ГОСТ 8239-89) знаходимо двотавр №40 з найбільш близьким меншим моментом опору Wz=953 см3. При цьому
σmax = |
M max n |
= |
257.5 103 1 |
= 270 106 |
Н |
= 270МПа > Rзг |
|
|
953 10−6 |
|
м2 |
||||
|
Wz |
|
|
||||
на ε = |
270 −215 |
100% = 25.5% > 5%, |
що недопустимо. Тому |
|
160 |
||||
|
|
|
||
приймаємо двотавр №45 (Wz |
=1231 см3, Jz =27696 см4, Sz |
|||
=708 см3, h=450 мм, b=160 мм, d=9 мм, t=14.2 мм).
3. Перевірити міцність балки за дотичними напруженнями, якщо Rск=130 МПа.
Умову міцності балки за дотичними напруженнями (3.19)
перевіримо у небезпечному перерізі, де діє Qmax =107.5 кН (рис. 3.20, б)