Методичка по сопромату (I семестр)

При побудові епюри М додатні ординати будемо відкладати вниз, а від’ємні – вгору. При цьому епюра М буде побудована на розтягнутих волокнах і в деякому масштабі буде зображати викривлену вісь балки

12

2. На ділянках, де відсутнє рівномірно розподілене навантаження (діл.ІІ), епюра Q обмежена прямою, що паралельна базовій лінії, а епюра М - похилою прямою. При цьому

Q= tgϕ = (−45 − 25)2 = −35кН = const.

3.На ділянках дії рівномірно розподіленого навантаження (діл. І) епюра Q обмежена похилою прямою, а епюра М - параболою, опуклість якої спрямована у бік дії сили q . Причому різниця лівої та правої ординат на

епюрі Q дорівнює рівнодіючій навантаження, тобто

25 −(−35) = qa = 20 3 = 60кН .

4.Якщо при пересуванні зліва направо функція M зростає, то Q > 0 .

5.Згинальний момент має екстремальне значення у тому перерізі, де

Q = 0 .

Приклад 1.4. Побудувати епюри поперечних сил та згинальних моментів для заданої балки на двох опорах (рис. 1.6, а).

Рис. 1.6

13

Розв’язання виконуємо у такому порядку:

1.Визначити опорні реакції

∑M A = q 4 1+ M + F 7 −VB 5 = 0

VB = (20 4 + 50 + 26 7) / 5 = (80 + 50 +182) / 5 = 312 / 5 = 62.4кН;

∑M B = F 2 + M −q 4 4 +VA 5 = 0

VB = (−26 2 −50 + 20 4 4) / 5 = (−52 −50 +320) / 5 = 218 / 5 = 43.6кН .

Перевірка.

∑Y = −q 4 − F +VA +VB = −20 4 − 26 + 43.6 + 62.4 = −106 +106 = 0 . Отже,

реакції визначені вірно.

2. Виділити окремі ділянки. Балка має чотири ділянки. Їх позначення та прийняті початки координат для довільних перерізів показані на рис. 1.6, а.

3. Скласти функції Q і M на кожній ділянці та обчислити їх значення

у характерних перерізах.

Ділянка I (0≤ x ≤1м)

Q(x) = qx - лінійна функція, тому обчислюємо два значення

Q x =0 = 0; Q x=1м = −20 1 = −20кН.

M (x) = −qx2 2 - парабола, тому обчислюємо три значення

M x=0 = 0; M x=0.5м = −20 0.52 2 = −2.5кНм; M x=1м = −20 12 2 = −10кНм.

Ділянка IІ (0≤ x ≤3м)

M x=0 = −20 12 2 = −10кНм, M x=3м = 43.6 3−20 32 2 =130.8 −160 = −29.2кНм M max = M x=x0 =1.18м = 43.6 1.18 −20 1.182 2 = 51.45 −47.52 ≈ 3.9кНм.

Ділянка IІІ (0≤ x ≤2м)

Q ( x) = −VB + F = −62 .4 + 26 = −36 .4кН = const ;

M ( x) = VB x − F (2 + x) - лл.ф. M x =0 = −26 2 = −52 кНм; M x =2 м = 62 .4 2 − 26 4 = 124 .8 −104 = −20 .8кНм.

Ділянка IV (0≤ x ≤2м)

14

Q(x) = F = 26кН = const; M (x) = −Fx - лл.ф.

M x=0 = 0; M x=2м = −26 2 = −52кНм. 4. Побудувати епюри Q і .М.

За обчисленими значеннями Q і M на рис. 1.6, б і в побудовано

епюри поперечних сил та згинальних моментів.

5. Перевірити правильність розв’язання задачі на ПЕОМ.

Згідно з інструкцією до програми “USIL” (додаток 3) необхідно підготувати вихідні дані для перевірки: число ділянок, номери опорних точок, внутрішні зусилля на межах ділянок, зовнішнє навантаження та опорні реакції (приклад наведено нижче).

Після вводу цих даних та розрахунку на ПЕОМ одержимо розпечатку результатів, наведену на рис. 1.7.

Цей пункт звичайно виконують разом з третім пунктом, тобто епюри Q і M будуються після обчислення їх значень на кожній ділянці

15

Задача 4

Результати розрахунку Опорні реакції

Va=43.60кН Vb=62.40кН

Поперечні сили і згинальні моменти на межах ділянок

1-діл. Qн= 0.00кН Qк=-20.00кН Мн= 0.00кНм Мк=-10.00кНм 2-діл. Qн=23.60кН Qк=-36.40кН Мн=-10.00кНм Мк=-29.20кНм Mm= 3.92кНм Xm= 1.18м

3-діл. Qн=-36.40кН Qк=-36.40кН Мн= 20.80кНм Мк=-52.00кНм 4-діл. Qн= 26.00кН Qк= 26.00кН Мн=-52.00кНм Мк= 0.00кНм |M|max=52.00кНм при Х=6.00м

|Q|max=36.40кН при Х=4.00м

Виконав на ПЕОМ ст. Іванов І.І., гр.M-21, сх.-вар. 1 7

Рис. 1.7

16

Таким чином, правильність розв’язання задачі підтверджується.

З епюр Q і M видно, що небезпечним перерізом балки є переріз В, в

якому діє відповідно найбільша поперечна сила 36,4кН та згинальний момент

52кНм.

Приклад 1.5. Побудувати епюри внутрішніх зусиль для даної плоскої рами (рис. 1.8, а).

У стержнях плоских рам з шести внутрішніх зусиль відмінними від нуля можуть бути тільки три:

N - поздовжня сила,

Q - поперечна сила,

M - згинальний момент.

Якщо кожний прямолінійний елемент рами розглядати як окрему балку, розташовуючи початок координат у крайній лівій точці , то усі правила побудови епюр в балках дійсні і для рам.

При побудові епюр внутрішніх зусиль в рамах дотримуються того ж порядку, що і для балок.

1. Визначити опорні реакції.

∑X = H A + F = 0 H A = −F = −40кН.

Так як одержана реакція H A від’ємна, то треба змінити її напрямок

на зворотний (рис. 1.7, а) і далі вважати її додатною

∑M A = F 3 + q 8 4 + M −VB 6 = 0

VB = (40 3 + 20 8 4 + 80) / 6 = (120 + 640 + 80) / 6 = 840 / 6 = 140 кН ;

∑M B = H A 3 +VA 6 − q 8 2 + M = 0

VA = (−40 3 + 20 8 2 −80) / 6 = (−120 +320 −80) / 6 =120 / 6 = 20кН. Перевірка. ∑Y =VA +VB − q 8 = 20 +140 − 20 8 =160 −160 = 0.

Отже, реакції визначені вірно.

2.Виділити окремі ділянки.

Врамах межами ділянок є також її вузли. Враховуючи це, в заданій рамі є п’ять ділянок. Їх позначення та початки координат для довільних перерізів на кожній ділянці показані на рис. 1.8, а.

Всі вертикальні елементи рами треба розглядати як балки справа, тобто розташовувати початок координат внизу

Рис. 1.8 3. Скласти функції внутрішніх зусиль на ділянках та обчислити їх

значення в характерних перерізах.

Ділянка I (0≤ x ≤3м)

N (x) = −VA = −20кН = const; Q(x) = H A = 40кН = const;

M x=3 м = 40 6 − 40 3 = 240 −120 =120кНм.

Ділянка IІІ (0≤ x ≤6м)

N (x) = 0; Q(x) = −VB + q(2 + x) - л.ф., Q x=0 = −140 + 20 2 = −100кН; Q x=6м = −140 + 20 8 = −140 +160 = 20кН;

19

(рис.1.10) з урахуванням впливу власної ваги при γ = 20кН / м3 і визначити

Nmax і Nmin .

Рис. 1.10

Приклад 1.7. Побудувати епюру M кр для валу, що зображено на рис. 1.11, та визначити M кр(max) і M кр(min) .

М1=2кНм М2=3кНм М3=5кНм М0 М4=1кНм

Рис. 1.11