2.3 Корпускулярно-волновой дуализм

1. В чем заключается корпускулярно- волновой дуализм света?

Свет проявляет в одних случаях волновые свойства (интерференция, дифракция, дисперсия, поляризация), в других – корпускулярные (фотоэффект, тепловое излучение, эффект Комптона).

2. Опыт Дэвиссона и Джермера.

Физический эксперименты по дифракции электронов. Проводились исследования отражения электронов от монокристалла никеля. Скорость электронов определяется напряжением . В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния 0<Q<90°, от азимутального угла 0<φ<360°, от скорости электронов в пучке. При различных значениях углов и скоростей, в отраженных лучах наблюдаются max и min интенсивности. Условия max , гдеn=1,2…

3. В чем суть гипотезы де Бройля?

Он предположил, что корпускулярно-волновой дуализм носит универсальный характер и частицы вещества могут проявлять волновые свойства.

4. Выражение для длины волны де Бройля.

, . На длине окружности каждой стационарной орбиты укладывается целое числоn длин волн де Бройля.

5. Каким экспериментом была подтверждена гипотеза де Бройля?

Первое подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американского физика К. Дэвиссона и Л. Джермера. Пучок электронов ускорялся в электрическом поле с разностью потенциалов 100—150 В (энергия таких электронов 100—150 эВ, что соответствует нм) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решётки. Было установлено, что электроны дифрагиют на кристалле, причём именно так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля.

6. Почему макротела не проявляют волновые свойства?

Например, частице массой 1 г, движущейся со скоростью 1м/с, соответствует волна де Бройля с м. такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области (периодических структур с периодомм не существует). Поэтому считается, что макротела проявляют только корпускулярные свойства, и не проявляет волновые свойства. (то есть по гипотезе де Бройля, чем больше скорость и масса, тем меньше длина волны де Бройля )

7. Длина волн де Бройля для частицы равна 2,2 нм. Найти массу частицы, если она движется со скоростью .

=>

8. Длина волны де Бройля для частицы равна 2,2 нм, масса частицы . Найти скорость частицы.

=>

9. Протон движется со скоростью в 2 раза меньшей, чем нейтрон. Во сколько раз отличается их длины волн де Бройля? Считать массы этих частиц одинаковыми.

, ;,

тогда

10. Найти длину волн де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию .

=>=

11. Найти длину волны де Бройля для шарика массой 1г, движущегося со скоростью 10 м/с.

12. Определите длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.

, =

13. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов 500 В, имеет длину волны де Бройля 1,282 пм. Принимая заряд этой частицы равным заряду электрона, определите ее массу.

, ,=>

14. В чем суть соотношений неопределенностей Гейзенберга?

В микромире из-за наличия волновых свойств одновременные значения координат и скорости (импульса) не существуют: если известна скорость (импульс), то местоположение частицы (её координаты) не имеют определенного значения – понятие длина волны не имеет смысла. То же самое и наоборот: произведение неопределенности измерения импульса на неопределенность измерения координатыне может быть меньше постоянной Планка():

15. Запишите соотношение неопределенностей для координаты и импульса.,неопределенная координата,неопределенная её импульса,

16. Запишите соотношение неопределенностей для энергии и времени.

Если выразить через энергию (), то учитывая, что, получаем соотношение неопределенностей для энергииE и времени t: , здесьпредставляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией Е

17. Определите неопределенность скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м.

18. Определите неопределенность скорости пылинки массой 10^-12 кг, если его координата установлена с точностью до 10^-5 м.

19. Пучок электронов движется вдоль оси х со скоростью , которая определена с точностью 0,01%. Найти неопределенность координаты электрона.

20. Чему равна энергия частицы, для которой частота волны де Бройля n = 600 МГц?

21. Положение пылинки m = 0,1 г определено с точностью Dx = 10^-7 м. Какова неопределенность ее скорости?

,

22. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода для основного состояния. Условие n=1 или

23. Воспользовавшись соотношением неопределенностей, оцените размытость энергетического уровня в атоме водорода для возбужденного состояния, в котором время жизни составляет 10^-8 с. Условие: нэВ

24. Какой имеют смысл ив соотношении?

Здесь представляет собой время, в течение которого микрочастица обладает энергией

25. Сформулируйте принцип дополнительности Бора.

Согласно этому принципу для полного описания квантомеханических явлений необходимо применить два взаимоисключающих набора классической понятий. Например: дополнительность в квантовой механике является пространственно-временным и энергетически-импульсным.

26. Как называется раздел современной теоретической физики, изучающий законы движения частиц в области микромира? Квантовая механика

27. Назовите специфические черты, отличающие квантовую механику от классической.

Квантовая механика, теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц и их систем, а также связь величин, характеризующих частицы и системы, физическими величинами, непосредственно измеренными в макроскопических опытах.

Для классической механики характерно описание частиц путем задавания их положения в пространстве (координаты и скорость и зависимости этих величин от t,Она не применяется при больших скоростях движения тел.)

28. Почему описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер?

В квантовой механике не задаются координаты и скорости частиц, волновая функция не несет в себе информацию и о скорости, и о координате микрообъекта.

29. Чему равна вероятность нахождения микрообъекта в элементе объемом dV?

Таким образом, вероятность dW того, что частица при измерении находится в объеме dV около точки с координатами (x,y,z), равна (квадрат модуля- функции имеет смысл плотности вероятности (физический смысл))

30. Чему равна вероятность найти микрообъект в момент времени t в объеме V?

31. Записать условие нормировки для волновой функции.

Т.к.имеет смысл плотности вероятности, то должно выполняться условие

32. Объясните, почему волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной.

1)Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечные значения таких, что интеграл расходится; 2)Условие однозначности должна быть однозначной функцией координат и времени, т.к. плотность вероятности обнаружения частиц должна определяться в каждой задаче однозначно; 3)\Условие непрерывности. В любой момент t, волновая функция должна быть непрерывной.

33. Запишите принцип суперпозиции для волновых функций.заключается в том, что если система может прибывать в состояниях, описываемых волновой функциии, то она может прибывать в состоянии описываемых волновых функций, гдеи- комплексные числа.

2.4. Временное и стационарное уравнения Шредингера

1. Запишите временное уравнение Шредингера.

2. Запишите стационарное уравнение Шредингера.

3. Что называют собственным значением энергии? Собственной волновой функцией?

Значения энергии которые имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи, называется собственным значением энергии.

Собственные значения энергии могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

Решения же, которые соответсвуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

4. В чем отличие стационарного и временного уравнений Шредингера?

В стационарном уравнении Шредингера исключается зависимость Ψ от времени, и называется стационарным состоянием-состояние с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

5. Граничные условия для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

На границах «ямы» (при х=0 и х=0) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид: Ψ(0)=Ψ(l)=0

6. Собственная волновая функция частицы в одномерном потенциальном ящике имеет вид . Как можно определить коэффициент пропорциональности А в этом выражении?

Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

А²∫sin²(nπ/l)xdx=1

В результате интегрирования получим А=√2/l

7. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 3-м и 4-м энергетическими уровнями?

∆Е=E4-E3=(π²h²/2ml²)(2*4-1)=49π²h²/ml²

8. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 1-м и 2-м энергетическими уровнями?

∆Е=E2-E1=(π²h²/2ml²)(2*2-1)=9π²h²/ml²

9. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Во сколько раз отличаются значения энергии электрона и протона, находящихся в одинаковых ящиках?

m(электр)=9,1095*10(-31)кг

m(протон)=1,673*10(-27)кг

π²h²=10,976*10(-68)

h/2π=1,0545*10(-34)

Е(электр)=0,602*10(-35)пДж

Е(протон)=3,28*10(-39)пДж

Е(электр)/ Е(протон)=1,8*10(3)пДж

10. Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Как изменится энергия электрона в основном состоянии, если ширину ящика уменьшить в 2 раза.

Следуя формуле можно определить, как изменится энергия, в данном случае энергия должна увеличиться в 4 раза

11. Квантовая частица в бесконечно глубокой прямоугольной одномерной потенциальной яме имеет дискретный энергетический спектр (энергия частицы квантована). Как зависит эта энергия от значения квантового числа n?

Движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия Е частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т.е.квантуется. Квантованные значения энергии Е называются уровнями энергии, а число n, определяющие энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.

12. Чему равна величина Dy в уравнении Шредингера ?

Dy- оператор Лапласа (d²Ψ∕dх²_+ d²Ψ∕dу²+ d²Ψ∕dz²)

13. Что называют туннельным эффектом?

Туннельный эффект -квантовое явлений, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

Суть туннельного эффекта заключается в прохождении частицы сквозь потенциальный барьер и возможности её обнаружения в области запрещенной с точки зрения классической механики.

14. На рисунке показана зависимость квадрата модуля волновой функции, определяющей состояние электрона в одномерной «потенциальной яме» ширинойL в квантовом состоянии при n = 1. Какая из указанных координат соответствует состоянию, в котором вероятность обнаружить электрон наибольшая?

С увеличением квадрата модуля функции, т.е. с увеличением модуля амплитуды волн де Бройля увеличивается вероятность обнаружить электрон наибольшая. Следовательно в х3 вероятность больше.

15. Энергия электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной l определяется формулой . Как изменяется относительный энергетический интервал между уровнямипри возрастании квантового числаn?

∆Е/Е-?

∆Е=(π²h²/8ml²)(2n+1)

Е=(π²h²n²/8ml²)можно заменить коэффициентом k.

∆Е/Е=k(n+1)²-kn²/kn²=2n+1/n²

подставляя значение в n, можно узнать как изменяется энергия с возрастанием n

-условие нормировки