19.Приведение оду высшего порядка к нормальной системе оду 1-го порядка.

20.Системы линейных оду 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для решения этих систем.

Система уравнений вида

(1)

называется неоднородной системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Будем считать, что   являются непрерывными функциями на (a,b).

Система дифференциальных уравнений

                                                 ,                                                          (2)

называется однородной. Вводя в рассмотрение векторы и матрицу , уравнения (1),(2) можно представить в векторной форме

                                                                         (1')

                                                                                                                                                (2')

Матрица

                                                         ,                                                              (3)

где - координаты линейно независимых решений (векторов)

...........................

векторного уравнения (2'), называется фундаментальной матрицей этого уравнения. Иногда ее называют матрицей Вронского.

Определитель

,

составленный из частных решений системы (2), называется определителем Вронского. Для того, чтобы матрица (3), где - частные решения системы уравнений (2), была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы при . При этом общее решение векторного уравнения (2') представляется в виде ,

где C - произвольный постоянный вектор. Общее же решение уравнения (1') будет

,

где - какой-нибудь вектор, являющийся частным решением уравнения (1').

Путем исключения неизвестных систему всегда можно свести к уравнению более высокого порядка с одной неизвестной функцией. Этот метод удобен для решений несложных систем.

Метод Л. Эйлера

y=e^kx(2)

y'=k e^kx

y''=k² e^kx и так далее

yⁿ = kⁿ e^kx

a₀kⁿ e^kx + a₁k^(n-1) e^kx + ... + a_n-1k e^kx + a_n e^kx = 0

a₀kⁿ + a₁k^n-1 + ... + a_n = 0 -характеристическое уравнение

Случаи:

1) Все корни характеристического уравнения действительные и различные

k₁,k₂, ...,k_n

e^k1x, e^k2x, ..., e^knx - линейно независимые решения

y(x) = C₁ e^k1x + C₂ e^k2x + ... + C_n e^knx

2) k_1,2 = α + iβ

e^(α+iβ)x = e^αx * e^iβx =e^αx( cosβx + sinβx)

e^i𝜑 = cos𝜑 + isin𝜑 - формула Эйлера

e^(α-iβ)x = e^αx( cosβx - (если спросит, должно ли здесь быть что-то, то скажите забыл(а)iдописать)sinβx)

e^αx * cosβx, e^αx * sinβx - линейно независимые решения

3) к - корень характеристического уравнения кратности α

e^kx, x e^kx, ... x^α-1 * e^kx - линейно независимы на любом отрезке [a,b]

4) k=p-iq- комплексный корень кратности α, то есть повторяется α раз

k=p-iq- кратности α

e^pxcosqx, x e^pxcosqx, ... , x^α-1 e^pxcosqx

e^pxsinqx, x e^pxsinqx, ... , x^α-1 e^pxsinqx

α - линейно независимые решения