15.Нахождение частных решений лноду n-го порядка по виду правой части.

(P_m, y, Q_m – пишутся с волнистым подчеркиванием сверху)

a₀y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y’ + a_ny =f(x) (1)

1. пусть f(x) = P_m(x) = A₀x^m + A₁x^m-1+ … + A_m-1x + A_m

а) пусть a_n≠0, 0 не является корнем характеристического уравнения

y(x) = Q_m(x) = B₀x^m + B₁x^m-1 + … + B_m (2)

B₀, B₁ , … ,B_m – находятся методом неопределенных коэффициентов:

Выражение (2) подставляется в выражение (1) и приравниваются коэффициенты с одинаковыми степенями:

x^m a_nB₀ = A₀ => B₀ = A₀/a_n

x^m-1 a_nB₁ + mB₀ = A₁ => B₁ = (A₁ – mB₀)/a_n

… и т.д.

б) a_n=0, это означет что 0 является корнем характеристического уравнения кратности α

y(x) = x^α(B₀x^m + B₁x^m-1 + … + B_m), B_i находятся аналогично случаю а

2. пусть f(x) = e^Px(A₀x^m + … + A_m)

Является ли Р корнем характеристического уравнения?

а) Р является корнем х.у. =>

y(x) = e^Px(B₀x^m + … + B_m)

B_i – определяются методом неопр коэффициентов

б) Р является корнем х.у. кратности α

y(x) = x^α e^Px(B₀x^m + … + B_m)

B_i – определяются методом неопр коэффициентов

3. пусть f(x) = e^Px(P_m(x)cosqx + Q_m(x)sinqx), где P_m(x) ,Q_m(x) – многочлены из которых одинр степени m, а другой степени не большей m.

Вопрос: является ли p+iq корнем х.у.?

а) p+iq – не является корнем х.у.

y(x) = e^Px(P_m(x)cosqx +Q_m(x)sinqx), где P_m , Q_m – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами , которые определяются методом неопределенных коэффициентов

б) р+iq является корнем х.у. кратности α

y(x) = x^α e^Px(P_m(x)cosqx +Q_m(x)sinqx), где P_m , Q_m – многочлены степени m с неопределенными коэффициентами , которые определяются методом неопределенных коэффициентов

16. Решение лноду n-го порядка методом вариации постоянных

Пусть имеем ЛНОДУ n-го порядка с некоторыми коэффициентами:

Yⁿ+P₁(x)y^n-1+…+P_n-1(x)y’+P_n(x)y=f(x) (1)

Пусть найдено общее решение соответствующее ЛОДУ n-го порядка:

y(x) = (2)

Ищем решение в виде y(x)=(3)

Нахождение C_i(x):

СЛАУ относительно C_i’(x),i=1,n

имеет единственное решение, т.к. =W(x₀)0 => находимC_i(x)

17. Нормальные системы оду 1-го порядка. Общая теория

Нормальные системы ОДУ 1-го порядка это системы вида:

Начальное условие: x₁(t₀)=x₁₀ , x₂(t₀)=x₂₀,…,x_n(t₀)=x_n0 (2)

Определение 1: Решением нормальной системы (1) называется набор функций: ((x₁(t),x₂(t),…,x_n(t)), который удовлетворяет каждому уравнению системы (1)

Задача (1)-(2) – задача Коши.

Теорема: (Существования и единственности задачи Коши)

1. Пусть f_i непрерывна в окрестности начального условия, т.е. М₀(t₀,x₁₀,…,x_n0)

2. Пусть , где i,j=1,n ограничены в некоторой окрестности точки M₀ => (существует и при том единственное) решение задачи Коши (1)-(2).

Система может быть записана в матричном виде:

x’(t)=F (4) - матричный вид.

18. Приведение нормальной системы оду 1-го порядка к одному оду высшего порядка

исключим

Исключим из уравнения (1) все неизвестные функции, кроме одной, для которой и получим уравнение более высокого порядка:

Ф₂(t,x₁,…,x_n) (3)

f(i)

Дифференцируем по переменной t:

f(i)

Ф₃(t,x₁,…,x_n) (4)

Из системы (3)-(4)-(6) находим x₂,x₃,…,x_n, выражая их через t,x’₁,x’’₂,…,x_n и подставляем их в уравнение (6), в результате получим: