- •1. Задачи, приводящие к оду
- •2.Оду 1-го порядка. Общие понятия
- •4. Однородное (относительно переменных) оду 1-го порядка
- •5. Линейные оду 1-го порядка, их интегрирование
- •6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
- •7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
- •8.Оду n-го порядка. Общая теория.
- •9.Оду высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •10. Лоду n-го порядка. Общая теория
- •11. Теорема о структуре общего решения лоду n-го порядка (Если надо будет, то это свойство 5)
- •12.Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
- •13.Лноду n-го порядка. Общая теория.
- •14.Теарема о структуре общего решения лноду n-го порядка.
- •15.Нахождение частных решений лноду n-го порядка по виду правой части.
- •16. Решение лноду n-го порядка методом вариации постоянных
- •17. Нормальные системы оду 1-го порядка. Общая теория
- •18. Приведение нормальной системы оду 1-го порядка к одному оду высшего порядка
- •19.Приведение оду высшего порядка к нормальной системе оду 1-го порядка.
- •20.Системы линейных оду 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для решения этих систем.
12.Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
a0y(n) + a1 y(n-1) + ... + any = 0 (1)
ai , i от 0 до n - постоянные коэффициенты
Метод Л. Эйлера
y=ekx (2)
y'= k ekx
y''=k2 ekx и так далее
yn = kn ekx
a0kn ekx + a1k(n-1) ekx + ... + an-1k ekx + an ekx = 0
a0kn + a1kn-1 + ... + an = 0 - характеристическое уравнение
Случаи:
1) Все корни характеристического уравнения действительные и различные
k1, k2, ..., kn
ek1x, ek2x, ..., eknx - линейно независимые решения
y(x) = C1 ek1x + C2 ek2x + ... + Cn eknx
2) k1,2 = α + iβ
e(α+iβ)x = eαx * eiβx =eαx( cosβx + sinβx)
ei𝜑 = cos𝜑 + isin𝜑 - формула Эйлера
e(α-iβ)x = eαx( cosβx - (если спросит, должно ли здесь быть что-то, то скажите забыл(а) i дописать)sinβx)
eαx * cosβx, eαx * sinβx - линейно независимые решения
3) к - корень характеристического уравнения кратности α
ekx, x ekx, ... xα-1 * ekx - линейно независимы на любом отрезке [a, b]
4)
k = p - iq - комплексный корень кратности α, то есть повторяется α раз
k = p - iq - кратности α
epxcosqx, x epxcosqx, ... , xα-1 epxcosqx
epxsinqx, x epxsinqx, ... , xα-1 epxsinqx
α - линейно независимые решения
13.Лноду n-го порядка. Общая теория.
(y(x) – пишется с волнистым подчеркиванием сверху)
ЛНОДУ( линейно неоднородные ДУ)
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
L(y) = f(x) (1’)
Если все коэффициенты P1(x), f(x) непрерывна на [a,b], то по теорема существования и единственности для ОДУ n-го порядка существует единственное решение задачи Коши для этого ДУ с любыми НУ в точке x0 принадлежащей [a,b]
Свойство1: пусть y(x) – решение уравнения
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
а y0(x) – решение соответствующего ЛОДУ L(y) = 0 , тогда y0(x) + y(x) – решение уравнения (1)
Доказательство:
L[y0(x) + y(x)] = L[y0] + L[y(x)] = f(x)
y0(x) +y(x) – решение (1)
Свойство2: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда
y(x) =iyi(x) – является решением ДУ L(y) = ifi(x)
Доказательство вытекает из свойства 1.
Свойство3: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)
Общее решение на отрезке [a,b] L(y) = f(x) с непрерывными на этом же отрезке коэффициентами Pi(x) и f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ n-го порядка и какого нибудь частного решенияy(x) этого ЛНОДУ n-го порядка, т.е. y(x)= +y(x) (1)
Доказательство: y(x)= +y(x) – решение ЛНОДУ следует из свойства 1. Докажем что это общее решение: любые НУ: y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)= (2)
Удовлетворим (1) этим начальным условиям:
(x0) + y(x0)=y0 - первое НУ СЛАУ из n уравнений
(x0) + y’(x0) =y’0 – второе НУ с n неизвестными С1,С2,…,Сn
…
i(x0) + y(n-1)(x0) = - последнее НУ
Единственное решение, т.к. = (x0) ≠ 0,
т.к. система линейно независима.
14.Теарема о структуре общего решения лноду n-го порядка.
(y(x) – пишется с волнистым подчеркиванием сверху)
Свойство1 ЛНОДУ n-го порядка: пусть y(x) – решение уравнения
y(n) + P1(x)y(n-1) + … + Pn-1(x)y’ + Pn(x)y = f(x) (1)
а y0(x) – решение соответствующего ЛОДУ L(y) = 0 , тогда y0(x) + y(x) – решение уравнения (1)
Доказательство:
L[y0(x) + y(x)] = L[y0] + L[y(x)] = f(x)
y0(x) +y(x) – решение (1)
Свойство2 ЛНОДУ n-го порядка: пусть y1(x), … , ym(x) решения L(y) = fi(x) , i=1, … , m, тогда
y(x) =iyi(x) – является решением ДУ L(y) = ifi(x)
Доказательство вытекает из свойства 1.
Свойство3 ЛНОДУ n-го порядка: (структура общего решения ЛНОДУ n-го порядка)
Общее решение на отрезке [a,b] L(y) = f(x) с непрерывными на этом же отрезке коэффициентами Pi(x) и f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ n-го порядка и какого нибудь частного решенияy(x) этого ЛНОДУ n-го порядка, т.е. y(x)= +y(x) (1)
Доказательство: y(x)= +y(x) – решение ЛНОДУ следует из свойства 1. Докажем что это общее решение: любые НУ: y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)= (2)
Удовлетворим (1) этим начальным условиям:
(x0) + y(x0)=y0 - первое НУ СЛАУ из n уравнений
(x0) + y’(x0) =y’0 – второе НУ с n неизвестными С1,С2,…,Сn
…
i(x0) + y(n-1)(x0) = - последнее НУ
Единственное решение, т.к. = (x0) ≠ 0,
т.к. система линейно независима.