- •1. Задачи, приводящие к оду
- •2.Оду 1-го порядка. Общие понятия
- •4. Однородное (относительно переменных) оду 1-го порядка
- •5. Линейные оду 1-го порядка, их интегрирование
- •6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
- •7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
- •8.Оду n-го порядка. Общая теория.
- •9.Оду высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •10. Лоду n-го порядка. Общая теория
- •11. Теорема о структуре общего решения лоду n-го порядка (Если надо будет, то это свойство 5)
- •12.Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами, его решение
- •13.Лноду n-го порядка. Общая теория.
- •14.Теарема о структуре общего решения лноду n-го порядка.
- •15.Нахождение частных решений лноду n-го порядка по виду правой части.
- •16. Решение лноду n-го порядка методом вариации постоянных
- •17. Нормальные системы оду 1-го порядка. Общая теория
- •18. Приведение нормальной системы оду 1-го порядка к одному оду высшего порядка
- •19.Приведение оду высшего порядка к нормальной системе оду 1-го порядка.
- •20.Системы линейных оду 1-го порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера для решения этих систем.
5. Линейные оду 1-го порядка, их интегрирование
Y’+P(x)y= f(x) (2)
1) Метод вариации постоянной:
Y’+P(x)y= 0 (2)
y= C(3)
y= C(x)(3’)
C’(x)- C(x)+ P(x)C(x)= f(x)
C’(x)= f(x)
C(x) =
y= ()– общее решение.
2) Метод Бернули:
Y’+P(x)y= f(x) (1)
y= U(x)*V(x) (2)
y’= U’V+V’U
U’V+V’U+P(x)UV=f(x)
U’V+U(V’+P(x)V)=f(x) ,где (V’+P(x)V)=0
V’+P(x)V=0
Ln |V| =
V = (3)
U’=f(x)
dU=dx
U=(4)
y= ()- общее решение.
6.Уравнение Бернулли, его интегрирование.
Определение: уравнением Бернулли называется уравнение вида:
y’+P(x)y=f(x)yα (α≠0, α≠1)
Решение:
y’+P(x)y=f(x)yα
y-αy’+P(x)y1-α=f(x)
z= y1-α
z’=(1- α) y-αy’
y-αy’=z’
z’+P(x)z=f(x) – линейное ОДУ 1-го порядка (относительно функции z)
7.Уравнение в полных дифференциалах, его интегрирование.
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (1)
Определение: ДУ (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть его является полным дифференциалом некоторой функции U(x,y), т.е.
dU = P(x,y)dx + Q(x,y)dy (2)
Решение:
dU(x,y) = 0
U(x,y) = C – решение в виде общего интеграла (3)
Проверка на полный дифференциал:
dU = (∂U/ ∂x)*dx + (∂U/ ∂y)*dy (4)
Сравним (2) и (4):
∂U/ ∂x =P , ∂U/ ∂y =Q (5)
∂P/ ∂y = ∂Q/ ∂x (6) –если выполняется это равенство, то исходное уравнение является полным дифференциалом
Нахождение U:
U(x,y) =+φ(y) (7), где φ(y) - константа
∂U/ ∂y = (∂/ ∂y)*() +φ’(y) = Q(x,y)
φ’(y)= Q(x,y) - (∂/ ∂y)*()
φ(y) = - + C
U(x,y)= + - + C
8.Оду n-го порядка. Общая теория.
Общий вид:
F(x,y,y’,y’’,…,y(n)) = 0 (1)
Y(n) = f(x,y,y’,…,y(n-1)) (1’)
(НУ) Начальные условия (n штук)
y(x0)=y0 , y’(x0) = y’0 ,…, y(n-1)(x0)= (2)
(1) – (2) или (1’) – (2) – задача Коши для ДУ (1)
Теорема: (Теорема существования и единственности решения задачи Коши (1’) – (2))
Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности НУ, т.е. точки
М0(x0,y0,…,)Ϲ D Ϲ Rn-1 следовательно существует по меньшей мере одно решение
y = φ(x). Задача Коши (1’) – (2) в некоторой окрестности точки x0: (x0 – δ , x0 + δ), Если же существуют ограниченные частные производные ∂f/ ∂y, ∂2f/ ∂y2, … , ∂n-1f/ ∂y(n-1) в окрестности точки М0, тогда это решение единственно.
Определение1: Общим решением (ОР) в ДУ (1) или (1’) называется n-параметрическое семейство функций: y= φ(x, C1, C2, … , Cn) , для которых выполняются 2 условия:
1) Оно является решением при любых C1, C2, … , Cn;
2) При любых НУ (2) существуют фиксированные : С1=, … , Сn = , такие что решение
y = φ(x,, … , ) удовлетворяет этим начальным условиям.
Определение2: Частным решением (ЧР) ДУ (1) или (1’) называется решение, полученное из ОР при фиксированных значениях констант С1, … , Сn
φ (x,y,C1,…,Cn) = 0 (3) – общий интеграл
φ (x,y,,…,) = 0 (4) – частный интеграл
9.Оду высших порядков, допускающие понижение порядка.
1. y(n) = f(x) (1)
Берем интеграл:
y(n-1)= + C1
еще раз интегрируем:
y(n-2)= + C1x+ C2
и т.д.
2. F(x,y(k),y(k+1), … ,y(n)) = 0 (2)
Y(k) = P(x) (3)
y(k+1) = P’
…
y(n) = P(n-k)
F(x, P , P’, … , P(n-k))=0
3. F(y,y’,y’’, … , y(n)) = 0 (4)
y’ =P(y) (5)
y’’ = (P(y)=*= P *
y’’’=(P) =(P) *=()2P + P2 (d2P/dy2)
F1(y, P,, … , (d(n-1)P/dyn-1) = 0