Вступ до аналізу. Ч. 2

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lim (1 + α ( x ))

= lim (1 + α ( x ))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

2 +

lim

2 .

x→ ∞

3 1 +

x2 + 1 + 5 x7 + x − 2

$) lim

x→ ∞

x3 + 2

% x 75 . , " "%

x 5 .

−

x 3 3 1 +

+ x 5 5 1 +

−

x 15 3 1 +

+ 5 1 +

−

lim

= lim

= ∞ ,

x→ ∞

−

x 4 4 1 +

x 20 4 1 +

"% "% 1 x → ∞ , –

Y. % ∞ − ∞ .

# "

# % 00 $ ∞∞ . * #"-

xlim→ +∞ (x − x2 − 2x + 5 ).

" x + x2 − 2x + 5 . ,:

(x − x2 − 2x + 5 )(x + x2 − 2x + 5 )


lim				=
lim				=
x→ +∞		x + x2 − 2x + 5
= lim	x2 − (x2 − 2x + 5)		= lim	2 x − 5	.



x→ +∞ x + x2 − 2 x + 5			x→ +∞ x + x2 − 2x + 5

, " % ∞ . ) " "% x .

∞

2 −

lim

= 1.

x→ +∞

1 + 1 −

YI. " ".

$ $"

107

lim α( x) f ( x) ,

x→ a

α(x) " x → a . ,

x → a : α( x) β( x) .


limα ( x) f ( x) = lim		α ( x)	β ( x) f ( x) =
limα ( x) f ( x) = lim			β ( x) f ( x) =
x→ a	x→a β ( x)


= lim	α ( x)		lim β		( x) f ( x) = 1 lim β ( x) f ( x) = lim β ( x) f ( x).

x→a β ( x)				x→a			x→	x→a
! " #:
lim		f ( x)		= lim		f ( x)	.

x→a α ( x)				x→a β ( x)

, " % # -

, $ "%, ". ,

lim f ( x) = lim g ( x) = 0 , x → a : f (x) α(x) , g(x) β( x) ,

x→ a x→ a

lim f ( x) = lim α( x) .

x→ a g( x) x→ a β( x)

". 3, " %

$ "%. / % , , # "

, ". ", $" $ "

lim

x − sin x

= lim

x − x

= lim

= 0

x→0

x→ 0 x3

( #, sin x x x → 0 ).

) lim

sin 3x

x→ 0 24 x − 1

" ":

sin 3x 3x,

24 x −1 4x ln 2 . ,:

lim

x→ 0 4x ln 2 4 ln 2

$) lim	arctg (x − 5)	.

x→5	ln ( x − 4)

%	0	. $ t = x − 5 → 0; x = t + 5 .

0
:
		108

lim	arctg t	= lim	t	= 1 .

t→ 0 ln (1 + t )		t → 0 t

": arctg t t , ln (1 + t ) t .

) lim sin 3x . x→π sin 2x

% 0 . !" $" $ " sin 3x 3x ,

sin 2x 2x , "%	x ", " "
π . $ : t = x − π → 0 ; x = t + π :

lim

sin

(t + π ))

= lim

sin (3t + 3π )

= lim

− sin 3t

(t + π ))

t→ 0 sin

t→ 0 sin (2t + 2π )

t → 0 sin 2t

! sin 3t 3t, sin 2t 2t , "% t → 0 .

lim

−3t

= −

t→ 0 2t

' " # (25.1), " #

R # " "% #, $ -

, $ ’ "% .8 ( .14). # 0 (25.1) -

", " $% " {xn } , n : xn ≠ 0 , lim xn = 0 ,

n→ ∞

lim sin xn = 1.

n→ ∞ xn

" # , $ #, :

Sn = 1 R2 sin 2π , 2 n

n – " #. " #:

							sin	2π
S = lim nS		= lim n	1	R2 sin	2π	= πR2 lim		n	= πR2 1 = πR2 ,

	n
n→ ∞		n→ ∞	2		n	n→ ∞	2π

$ " " " #. YII. # " #.

2 # % " 1∞ .

% . α(x) , β(x) – "

x → a . * #" #:

			α (x )		α ( x)
		1
			β ( x)

= lim (1	+ α ( x))α (x )			= exp lim		.

x→a				x→a β ( x)

" $" # lim α( x) .

x→ a β( x)

) lim (

2 − x )

= 1 = lim (1 + (1 − x ))

1− x

sin( x−1)

∞

1− x

sin( x−1)

x→1

1 − x

x −1

= e−1 =

= exp lim

= exp

− lim

x→1 sin ( x −1)

x→1

x −1

$) lim (cos x)

∞

= lim (1 + (cos x −1))

x→ 0

cos x−1

cos x −1

= lim (1 + (cos x −1))cos x−1

= exp lim

x→ 0

sin2

= exp −2 lim

= exp

−2 lim

= exp

−

lim x

= e

= 1.

x→ 0 x

x→ 0

2 x→ 0

28. , . & .

/ x0 ' % $ ,

, %. x0

, $ % x0 . x0 -

% . * % .

. 5 %, x0 y = f ( x) I -, % $ #, "

f (x0 ) ( x0 ), lim f (x ) ,	lim f (x )
x→x0 −0	x→x0 +0

0 $ . 39, 40 ($) . # -

, ", y = [x] (" x ), # $ -

. 49.

110

*. 49.

2 I x = n (n ) .

. 5 %, x0 y = f ( x) II ,

$ $ # % $

0 . 40( ). " $ -

y = 1 ( II x = 0 ), y = tg x ( II

x = π + π k , k ). * II x = 0

		2
y = sin	1	, "% # x → 0 ( . 50).
y = sin	x	, "% # x → 0 ( . 50).
	x

*. 50.

111

. 5 %, x0 ! ,

% $ #, %, " -

x0 .

0 . 40(#). 9 #

% «"» . ", y = sin x - x

x = 0 . ) lim sin x = lim sin x = 1, "

x→ −0	x	x→ +0	x
x→ −0		x→ +0
.

/ y = f ( x) x0 # , #

( ), y = f (x) -

x0 , $

f (x ), x ≠ x

0 y = ϕ(x ) = lim f ( x), x = x

x→x0 0

$ x0 . ",

sin x
		, x ≠ 0,

y =	x
	1, x = 0

$% " , " x = 0 .

1.( % ?

2.( $’ ?

3.( " ? / " ?

4.( "% "? ( "?

5./ % "? 4 " - "% "? - "?

6.( " " ? ( $ #?

7.( " " %? / % $ "-

8./ " % $ ?

9./ " % ?

10.( # "? / " % % $ ?

11.4 " $ " $%? % -

112

12./ " % % "? 4 -

, " " -

"? % ". 4 ,

" " - "?

13./ " % % "? 4 -

, " " -

"? 4 , -

" " "? % -

14.) . / % $ ?

15.( ? ( " ?

16.( % , $ ? / ’

# $ ?

17./ % "? % " "-

" ? 4 ,

" "? 4

, "

"? % ".

18.) # 5 '0.

19.( $ # ?

20./ % ? / %

? / % ?

’ .

1. - " % :

1) 1 + 2 + K + n = n (n + 1) , 2) 12 + 22 + K + n2 = n (n + 1)(2n + 1) ,

2 6

3) 1 + 2 + 22 + K + 2n−1 = 2n − 1 , 4) 1 + 3 + 5 + K + (2n + 1) = (n + 1)2 .

2. ”% ' " " # "%-

= (−1)n+1

, 2) x

1 + (−1)n−1

, 3) x

n2 + 1

n + 1

2n − 1

cos

π n

n − 1

, 5) xn = arcsin

, 6) xn

3 − 1

n + 2

3. "% ' " " -

" # "% ":

113

(n + 1)!

1) 1,		1		,			1		,		1		,		1		,...							2)				1				,			3			,			5			,		7			,				9		,...
1) 1,				,					,				,				,...							2)								,						,						,					,						,...
	2					3				4					5												2							4				6								8					10
3)	1,		1			,		1		,		1				,	1			,...				4)						1			, −						2			,				3					, −					4		,		5			,...
3)	1,					,				,						,				,...				4)									, −									,									, −							,					,...
	2					6				24							120										3											9								27							81							243
5)	3, 0, 3, 0, 3, 0,...																							6)							1			,			4			,			9		,		16						,	25			,		36			,...
5)	3, 0, 3, 0, 3, 0,...																							6)										,						,					,								,				,					,...
																															2			4									8			16							32						64
4. « ε − N », :
1)	lim				1					= 0 ,							2)		lim		4n − 1					=							4			,								3)								lim 2n							= ∞ .
1)	lim									= 0 ,							2)		lim							=										,								3)								lim 2n							= ∞ .
	n→∞ n2																		n→∞ 5n + 7 5																																	n→∞
																																						5 +						(−5)n
5. ), " %																											x				n			=																				#.
5. ), " %																											x							=										2										#.

	#
6.	#
	lim					3n + 4														lim		1 − 8n																						lim						2n2 + 5n − 6
1)														,			2)												,					3)																													,
1)														,			2)												,					3)																			n (3 − 5n)										,
	n→∞ 2n + 9																			n→∞ 5n + 3																								n→∞									n (3 − 5n)
	lim			3n2						− 2n + 1										5) lim					6n2 + 5n − 9																												6) lim							7n4 − 2n2 + 3
4)																		.																														,																,
4)																		.																														,																,
	n→∞ 5n2									+ n + 10											n→∞ 2n3 + 10n2																							+ 1												n→∞					4n3 − n + 5
7)	lim			(2n + 1)3 − (n − 1)3																			,	8)							lim							(n + 1)5 + (n − 1)5

				(2n + 1)3 + (n − 1)3																																		(n + 1)5 − (n − 1)5
	n→∞			(2n + 1)3 + (n − 1)3																											n→∞							(n + 1)5 − (n − 1)5

9) lim	7n2	+ 3n − 5
9) lim	2n + 1
n→∞	2n + 1
n→∞

11) lim

n→∞ (n + 2)!− n!

14) lim 5n − 2n ,

n→∞ 5n + 2n

	10) lim	n2	− 5n + 3
,							,

					3
	n→∞			n	3	+ 1
				n		+ 1


, 12) lim		(n + 1)!− n!		,	13)	lim	(n + 4)!		,
							(n + 3)!+ (n + 2)!
n→∞		(n + 1)!+ n!				n→∞
15) lim	3n + 4n		,		16)	lim	3n − 7n	,

n→∞ 3n − 4n+1						n→∞ 3n + 4n

1 +				1		+		1	+ K +	1			1 + 2 + K + (n − 1)
1 +						+			+ K +		n
			3				9				n
17) lim			3				9			3		,	18) lim
17) lim			1				1			1		,	18) lim			n2
n→∞	+		1		+		1		+ K +	1			n→∞			n2
1
1											5n
			5				25				5n
12		+ 22					+ K + n2							1		1
19) lim										,			20) lim		+		+ K+
19) lim						3n3				,			20) lim		+		+ K+
n→∞						3n3							n→∞	1 2 2 3

7. $" %

	1
	1	.

	n (n + 1)

f (x) =

, 3) f (x) = x2 − 5x + 6 ,

f (x) = 3x − 1 , 2)

1 − x2

2 + x

f (x) = 5x − x2 , 5)

f (x) = 1 − x , 6) f (x) =

1 − x

114

f ( x) = lg x + lg (1 − x) ,

f (x ) = arcsin

, 9) f (x ) =

lg x ,

2 − x

10)

f (x ) = ctg

11)

f (x) =

12)

f (x) = lg arcsin x .

sin x

8. ) " %, % %.

1) f (x) = 3x4 − x2 + 1, 2) f (x) = x − x3 , 3) f (x) = 6x + 7x2 ,

f (x ) = sin x − cos x ,

f (x ) =

sin x

f (x) = sin

f (x ) = x sin x ,

f (x) = 2x + 2− x

f (x) = cos x3 .

9. $ # :

1) f (x) = x2 − 4x + 3 , 2)

f (x) = x − 2x2 , 3) f (x) =

x2 − 3x + 1

4) f (x) = 5x2 −

− 2 , 5) f (x) =

3x2 +

− 1

, 6) f (x ) = lg (− x),

f (x) = log3

f (x) = lg (x − 2) ,

f (x) =

log 1

f (x) = log5 (2 −

12) f (x ) = 2 − lg x ,

10)

11)

f (x ) =

log 3

x − 1

x+1

14) f (x) = 2x−3

15) f (x) =

13)

f (x) =

3 − log

(1 − x)

− 2

16)

f (x ) = sin

17)

f (x ) =

cos x

18)

f (x) =

1 − sin

19) f (x ) = sin arcsin x ,

20)

f (x ) = arcsin sin x ,

10. 3 " # , :

1) lim f ( x) = ∞ , 2)

lim

f ( x) = + ∞ ,

3) lim f ( x) = − ∞ ,

x→ a

x→ a−0

x→ a

4) lim

f ( x) = ∞ ,

5) lim f ( x) = + ∞ ,

lim f ( x) = − ∞ ,

x→ a+0

x→ a

x→ a+0

lim

f ( x) = ∞ ,

lim

f ( x) = − ∞ ,

9) lim

f ( x) = + ∞ ,

x→ a−0

x→ a+0

10)

lim f ( x) = ∞ ,

11) lim f ( x) = − ∞ ,

12) lim f ( x) = + ∞ ,

x→ ∞

13)

lim f ( x) = ∞ , 14)

lim

f ( x) = − ∞ , 15)

lim

f ( x) = + ∞ ,

x→ − ∞

16)

lim

f ( x) = ∞ ,

17) lim f ( x) = − ∞ ,

18) lim

f ( x) = + ∞ .

x→ + ∞

11. 3 " # , :

1) lim f ( x) = b − 0 ,

lim

f ( x) = b − 0 ,

lim

f ( x) = b − 0 ,

x→ a

x→ a−0

x→ a+0

4) lim f ( x) = b + 0 ,

lim

f ( x) = b + 0 ,

lim f ( x) = b + 0 ,

x→ a

x→ a− 0

x→ a+ 0

7) lim f ( x) = b − 0 ,

lim

f ( x) = b − 0 ,

lim

f ( x) = b − 0 ,

x→ ∞

x→ − ∞

x→ + ∞

10)

lim f ( x) = b + 0 , 11)

lim

f ( x) = b + 0 ,

12)

lim f ( x) = b + 0 .

x→ ∞

x→ − ∞

x→ + ∞

115

12. « ε − δ », :

1) lim

x2 + 1

lim

− 25

= 10

, 3) lim

3x2

− 1

, 2)

+ 1

x→1 x + 2

x→5 x − 5

x→+∞ 5x2

13. #:

1) lim	2 x2	− 3x + 4	, 2) lim			1 + sin 2x	, 3) lim	2 ln x − 3
										.
										.
x→1 3x2 + x + 2			x→	π	1 − cos 4x		x→ e		x − 1
x→1 3x2 + x + 2			x→		1 − cos 4x				x − 1
			4

14. # '" " "%

lim

x3 + 8

lim

16x2

− 1

lim

x3 − 4x2 + 3x

x→−2 x2 + x − 2

x→

4x2 + 3x − 1

x→3 x4

− 6x2

− 7 x − 6

−

(x + 3) 1 − x

x6 − 1

lim

5) lim

, 6)

lim

x→2 x − 2

x3 − 8

x→−3

9 − x2

x→1 2x3 + x − 3

15. # '" # "% -

, "%, $ :

lim

3x − 1 − x + 1

lim

x3 + 27

− 2

2x + 7 − 3x + 10

x→1

x→−3

lim

x + 3

lim

+ 8

lim

2 + 3 x

, 4)

x→−3 1 − x2 + 6x + 10

x→−2 3 x − 6 + 2

x→−8

1 − x − 3

16. # '" " "% x

' , % "% :

lim

3x2

− 2x + 4

, 2) lim

+ 8

lim

9x5 + 6x3 + x + 1

, 3)

2 + x + 3

4x3 − x2

+ 8

x→∞ 2x

x→∞ 5 + 7x2 − x4

x→∞

lim

(x2 + 2)20

5) lim

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5)

(x + 2)40

x→∞

(2x − 3)4

17.# '" # " -

lim (x −

(

− x),

x2 − x + 3

lim

(x + a)(x + b)

x→∞

x→+∞

(

− x),

lim x (

− x),

lim

+ 3x

x2 + 1

x→−∞

x→+∞

(

−

(

−

lim

+ 1

x2 − 4x

lim

x2 + x + 1

x2 − x

x→+∞

x→−∞

18. #, " ":

1) lim	ln (1 + x)	, 2) lim	e−2 x − 1	, 3) lim	(1 + x)3 − 1
					,

x→0 4x − 1		x→0 arcsin x		x→0	sin π x

116

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 76 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018110.08 Кб2восточн_Aziya.doc
#
20.05.20151.43 Mб19ВСЕ ВОПРОСЫ ПО ИСТОРИИ ЭКОНОМИКИ.doc
#
20.05.20153.47 Mб73Всемирная история.pdf
#
12.08.201955.98 Кб2всесв. 10 кл. СРСР.docx
#
20.05.20151.42 Mб4Вступ до аналізу. Ч. 1.pdf
#
20.05.20151.45 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 2.pdf
#
20.05.201520.47 Кб14ВСТУП.docx
#
20.05.201516.14 Кб23Галицько-Волинська держава.docx
#
10.11.201876.29 Кб1Галищько-Волинська держава.doc
#
13.08.2019167.94 Кб2галя doc.doc
#
12.08.2019650.59 Кб1гара м.rtf