Вступ до аналізу. Ч. 2

lim

sin x

= 1.

(25.1)

x→ 0

x

. 3 % (24.1). "

y = cos x

:

sin kx

t = kx → 0

sin t

sin t

1.

lim

=

t

= lim

= k lim

= k 1

= k .

x

x =

t

t

x→0

t →

t →0

k

k

2.

lim

tg x

= lim

sin x

1

= lim

sin x

lim

1

= 1 1 = 1.

x→0

x

x→0

x

cos x

x→0

x

x→0 cos x

3.

lim

arcsin x

=

t = arcsin x → 0

= lim

t

= lim

1

=

1

= 1.

sin t

x→0

x

x

= sin t

t →0 sin t

t →0

1

t

4.

lim

arctg x

= 1 (" # %).

x→0

x

lim(1 + x) x

= e .

(25.2)

x→ 0

. . 12 " ' (12.4):

1 n

lim 1

+

= e ,

n → ∞

n

lim nk

= ∞ ,

(25.3)

k → ∞

1

nk

lim

1

+

= e .

(25.4)

k → ∞

nk

97

1 n

xn = 1 +

.

n

# (25.2) :

ε > 0 N (ε) : n > N (ε) | xn − e | < ε .

(25.5)

(25.3) :

E > 0 K (E ) : k > K (E) nk > E .

(25.6)

lim ϕ( x) = lim ϕ( x) = e ,

(25.7)

x→ + 0

x→ − 0

ϕ( x) = (1 + x)1 x . {x

} – "% " % ,

lim x = 0 ,

k

k → ∞

k

n ≤

1

< n + 1,

(25.8)

k

xk

k

1 +

1

< 1 + x ≤ 1 +

1

.

(25.9)

nk + 1

k

nk

, "% (25.9)

$"%' 1, (25.8), (25.9)

", :

1

nk

1

1

nk +1

x

1 +

< (1

+ xk ) k

< 1 +

.

(25.10)

nk

nk + 1

xk

→ + 0 k → ∞ ", nk → + ∞ . ,

(25.4), :

1

nk

1

nk +1

1

−1

lim

1 +

= lim 1

+

1

+

=

k → ∞

nk + 1

k → ∞

nk + 1

nk + 1

1

nk +1

1

−1

= lim 1 +

lim 1

+

= e 1 = e ,

nk +

k → ∞

nk + 1

k → ∞

1

1 nk +1

1

nk

1

lim

1 +

= lim 1 +

1

+

= e .

k → ∞

nk

k → ∞

nk

nk

(25.10) " :

1

lim (1 + x ) xk

= e .

k → ∞

k

{xk } – "% " % , lim xk = 0 , xk < 0 k . -

k → ∞

, " yk = − xk , yk > 0 , lim yk = 0 . ,

k → ∞

1

1

1

−

yk

yk

(1 + xk ) xk = (1 − yk ) yk =

1

+

.

1 − yk

:

zk =

yk

,

1 − yk

zk

> 0 ,

lim zk = 0 . ,, # %:

k → ∞

1

1+

1

lim (1 + x ) xk = lim (1 + z

zk

= e .

k

)

k → ∞

k

k → ∞

, (25.7) .

" (25.2).

.

#. / δ > 0 , x ( x0 − δ, x0 + δ) : α( x) ≠ 0 ,

lim α(x) = 0 ,

x→ x0

1

lim (1 + α( x)) α( x) = e .

(25.11)

x→ x0

1

x

lim

1

+

= e .

(25.12)

x→ ∞

x

lim

ln(1 + x)

= 1 .

(25.13)

x→ 0

x

. * #" :

1

+ x)

x

, x ≠ 0,

f ( x) = (1

e, x = 0.

x → x0

, $ lim α ( x) = lim β( x ) = 0 .

x→ x0

x→x0

x → x0 ,

lim

α ( x )

= A,

A

(0; + ∞) .

x→x0 β(x )

/, ,

A = 1 , " α ( x ) β( x )

%

x → x0 . ': α ( x ) β( x )

x → x0 .

.

1.

sin x x x → 0 ( ' " #).

2.

log

(1 + x)

x

x → 0 ; ln (1 + x) x

x → 0 ( -

a

ln a

lim

α ( x )

= 0 .

x→x0 β( x)

+ % ': α( x) = o(β( x))

x → x0 .

", x2 = o ( x )

x → 0 . # " a > b > 0 : xa = o (xb )

x → 0 , x−a = o (x−b ) x → + ∞ .

, 1 − cos x = o ( x) x → 0 . ):

2sin

2 x

sin

x

sin

x

lim

1 − cos x

= lim

2

= lim

2

sin

x

= lim

2

lim sin

x

= 1 0 = 0

x

x

x

2

x→0

x

x→0

x→0

2

x→0

x→0

2

2

sin x x , tg x x , arcsin x x ,

arctg x x ,

ln(1 + x) x ,

log

(1 + x)

x

,

ex −1 x , a x −1 x ln a , (1 + x)α − 1 αx .

a

ln a

/ % lim f ( x) = A , lim g ( x) = B , B ≠ 0 # A B .

x→ a

x→ a

" lim

f ( x)

" lim f ( x) lim g ( x) .

x→ a g ( x)

x→ a

x→ a

1.

lim ( f ( x ) − g ( x)) ,

" lim f ( x) = ∞ , lim g (x) = ∞ . 2 -

x→a

x→a

x→a

% ∞ − ∞ .

2.

lim f ( x) g ( x), " lim f ( x) = 0 , lim g (x) = ∞ . 2 %

x→a

x→a

x→a

0 ∞ .

3.

lim f ( x )g( x) , "

lim f ( x ) = 1,

lim g (x) = ∞ . 2 % -

x→a

x→ a

x→a

1∞ .

4.

lim f ( x )g( x) , "

lim f ( x) = ∞ ,

lim g ( x ) = 0 . 2 % -

x→a

x→a

x→ a

∞0 .

5.

lim f ( x )g( x) , "

lim f ( x) = 0 ,

lim g (x) = ∞ . 2 %

x→a

x→a

x→a

0∞ .

6. lim f ( x )g( x) , " lim f ( x) = 0 , lim g ( x ) = 0 . 2 %

x→a

x→a

x→ a

0

∞

.

0

∞

lim

Pn ( x)

,

Qm ( x )

x→x0

( x ),

( x ) ,

Pn ( x ) = ( x − x0 ) Pn−1

Qm ( x ) = ( x − x0 )Qm−1

( x ) – "

n − 1

( x ) – " m −1 . -

Pn−1

, Qm−1

x − x0 ≠ 0 , :

( x )

lim

Pn−1

.

x→x0 Qm−1

( x )

( x ),

( x ) x0

/ $ " Pn−1

Qm−1

( x0 ) = 0 , $

$". / Pn−1

( x0 ) = Qm−1

.

".

) lim

x2 − 9

.

x→3

x2 − 3x

lim

x2 − 9

= lim

( x − 3)( x + 3) = lim

x + 3

=

6

= 2 .

x→3 x2 − 3x

x→3

( x − 3) x

x→3 x

3

lim

x3 − x2 − x + 1

= lim

x2 ( x −1) − ( x −1)

= lim

(x2

−1)( x −1)

=

(

)(

)

x→1 x3 + x2 − x −1

x→1 x2 ( x +1) − ( x + 1)

x→1

x

2

−1

x + 1

= lim

x −1

=

0

= 0 .

x→1 x + 1

2

) lim

x3 + 3x2

− 4

.

x→ −2 x3 + 5x2 + 8x + 4

lim

x3 + 3x2 − 4

= lim ( x + 2)2

( x −1) = lim

x −1

= 3 .

x→ −2 x3 + 5x2 + 8x + 4

x→ −2 (

x + 2

)2

(

) x→ −2

x + 1

x + 1

104

)

lim

x + 4 − 2

.