Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вступ до аналізу. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

+ % ':

lim f ( x) = A .

x→ x0

% "-

, $ !.*

& # , " # . .8

" # , # " A , #

« $" %» ( $ , % , %)

y = f ( x ) , # x « $" %» (%) "

x0 . , "% ’" « $" %», «$" %», $ -

$" %, $" % # x "

x0 y = f ( x ) " A . ' δ. 2 $ ,

| x − x0 | < δ ,

(18.1)

$ # x " % δ-" x0 . ) #

ε . 2 $ ,

\| f (x) − A \| < ε ,	(18.2)
$ y = f ( x ) " % ε -" A .

# # %? ,, % #

$" % x x0 , % $" %, , -

" ε . & ' " " ε > 0

" δ > 0 , " % ε , , (18.1) $ -

(18.2). 3 -

. 4 " A % y = f ( x ) x → x0

( $ x0 ), " # # " ε -

" δ, " % ε , " $% % x , "% %

% | x − x0 | < δ , x ≠ x0 , % | f (x) − A | < ε .

+ % ': lim f ( x) = A .

x→ x0

+ "% #":

lim f ( x) = A ε > 0 δ(ε) > 0 x : 0 < | x − x0 | < δ | f (x) − A | < ε .

x→ x0

3 $ "%'.

% # « ε − δ », $ " # . 0 # " . 38. % # , # x " %

( x0 − δ, x0 + δ ) , $ 0 < | x − x0 | < δ , y = f ( x) " %

( A − ε, A + ε) , $ | f (x) − A | < ε .

* 0 0 1 (1821–1881) – % . 0 0.

*. 38.

!. $ ! " # .

. A = lim f ( x) 5 '. ε > 0 δ(ε) > 0

	x→ x0
x : 0 < \| x − x0 \| < δ \|	f (x) − A \| < ε . ,$ "% ε > 0	#"
"% " %	{xn} % # x ,	lim xn = x0 .
	n → ∞

" % # ε % N , n > N | xn − x0 | < δ . ! | f ( xn ) − A | < ε . '", ε > 0 N n > N -

: \| f ( xn ) − A \| < ε . 2 , lim	f ( xn ) = A , $ A = lim f ( x)
n → ∞	x→ x0
0.

A = lim f ( x) 0. , " A #-

x→ x0

y = f (x) 5 '. , . ε > 0δ > 0 : 0 < | x − x0 | < δ | f (x) − A | ≥ ε . $ " % {xn} -

% # x , lim xn = x0 .	lim f ( xn ) = A , $ :
n → ∞	n → ∞

δ > 0 N1 n > N1 : | xn − x0 | < δ ,

ε > 0 N2 n > N2 : | f ( xn ) − A | < ε .

ε > 0 δ > 0 : 0 < | x − x0 | < δ | f (x) − A | ≥ ε .

/ x x = xn , . , A = lim f ( x)

x→ x0

5 '.

1. ), lim x2 = 4 . 5 '. -

x→2

"% ε > 0 #":

x2 − 4 = ( x − 2 + 2)2 − 4 = ( x − 2)2 + 4( x − 2) + 4 − 4 ≤ x − 2 2 + 4 x − 2 .

| x − 2 | < δ . | x2 − 4 | < δ2 + 4δ . #, $

$ ', ε ( | x2 − 4 | $"%' $ ', ε ), $ δ2 + 4δ < ε . *’ ( , δ > 0 )

" (0, 4 + ε − 2) . , $ δ < 4 + ε − 2 ( $

ε '" δ ), $ | x2 − 4 | < ε . + δ $% " " (0, 4 + ε − 2) , "

δ= 1 + ε 4 −1.

2.), lim x2 − 1 = 2 .

x→1 x − 1

5 '. "% ε > 0 #"

x ≠ 1:

x2 − 1

− 2

( x − 1)( x + 1)

− 2

x + 1 − 2

x − 1

/ 0 < | x −1| < δ , , $ δ < ε (" δ = ε2 ), $

x2 − 1

< ε , $ $" .

x −1

3. ), y = sin

# x → 0 . 3-

% 0. * #" " % {xn } ,

x =

. ,, lim x = 0 . :

πn

n→∞

lim f (xn ) = lim sin πn = lim 0 = 0 .

n→∞

#" ' " % {xn } ,

xn =

π(4n + 1)

lim xn = 0 . !" % # lim f (xn ) = lim sin

= lim1 = 1.

n→∞

,, " " % #,

", " % % # – 0 1. &

, # 0, ' # x → 0 .

", " ' #

y = f ( x) x0 . 3

# : $ , $ $" x ≠ x0 ; $ , , x − x0 > 0 . " 2 , # , " -

# " x0 , !", % , "

x0 , # $ ’

. * #" "% ' " .8.

1, x ≠ 0, f ( x) =

0, x = 0.

), lim f ( x) = 1. ε > 0 #" " $% x ≠ 0 :

x→0

| f (x) −1| = |1 −1| = 0 < ε $ δ $% - ". * f (0) = 0 .

- $ , " x0 , #

. * #", ", :

		1
f ( x ) = sin			, x ≠ 0,
		x
	1,		x = 0.

2 x = 0 , # ( . - " 3).

# # x "

# " x0 . !" % -

( # %, ", , "

#" % " %).

. 4 " A % y = f ( x) x → ∞ ,

" $% # " ε > 0 " M = M (ε) > 0 , -

| x | > M " % | f (x) − A | < ε .

lim f ( x) = A.

x→∞

2 $" % # ",

$" % #.

3 # $ .

. 5 %, y = f ( x) x → x0

, " $% # # " E

" δ = δ(E) , 0 < x − x0 < δ " -

% f ( x ) > E .

': lim f (x) = ∞ .

x→x0

$ % $" % # x " x0

y = f ( x) $ $" " $"%', $% -

" E .

+ % y = f ( x) %

x0 .
. ), y =	1	"

	x −1

x= 1 .

"% E > 0 #":

f ( x )	=	1	=	1		.
		1		1

		x −1			x −1

/ 0 < | x −1| < δ , | f ( x) | >

. #, $

> E , $ δ <

", δ =

. E '" δ =

0 < | x −1| < δ " %

f ( x )

> E , $

lim f ( x) = ∞ .

x→1

0 , -

. 5 %, lim f ( x ) = +∞						(lim f ( x ) = −∞),
			x→x			x→x
			0			0
E > 0 δ(E) > 0 : 0 < \| x − x0 \| < δ f ( x) > E ( f ( x) < −E ) .
": lim	1	= +∞ ;			= −∞ .
			lim ln	x

x→x0 x2			x→0

". 3 " #

y = f ( x) # x → ∞ , $ lim f ( x) = ∞ .

x→∞

$ # % .

. 4 " A % y = f ( x)

x → x0 , ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : 0 <| x − x0 | < δ, x < x0 | f ( x) − A | < ε .

+ % ': lim f ( x) = A .

x→ x0 − 0

. 4 " A % y = f ( x)

x → x0 , ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : 0 <| x − x0 | < δ, x > x0 | f ( x) − A | < ε .

+ % ': lim f ( x) = A .

x→ x0 + 0

$ ' x x0 , " ' % % - ', x0 , # – " ' % % $"%', x0 .

0 " y = f ( x) x0 %

−1, x < 0,

1. y = sgn x = 0, x = 0,

1, x > 0.

, lim sgn x = −1,	lim sgn x = 1 . 3 #" -
x→−0	x→+0

x < 0 . "% ε > 0 ε δ > 0 , -

−δ < x < 0 $ " % sgn x − (−1) < ε . ),

−δ < x < 0 , sgn x − (−1) = sgn x + 1 = −1 + 1 = 0 , $ δ

$% ". lim sgn x = −1. ! " # -

x→−0

lim sgn x = 1.

x→+0

2. , lim

= −∞ ,

= +∞ .

lim

x→1−0 x −1

x→1+0 x −1

x < 1 .

"% E > 0 ,

δ = δ(E) > 0 , 1 − δ < x < 1

$ "

< −E . ),

x −1

"% 0 < 1 − x < δ ,

> E , "% δ <

. ! "-

1 − x

< −E , $ $" . ! " # %,

x −1

= +∞ .

lim

x→1+0 x −1

, lim f (x ) = A, lim

f ( x) = B , # " %

x→x0 −0

x→x0 +0

. 39.

*. 39.

!. % lim f ( x ) = A , -

x→x0

x0 , A .

. lim f ( x ) = A. ε > 0 δ > 0 :

x→x0

0 < | x − x0 | < δ | f ( x) − A | < ε . 2 , % f ( x ) − A < ε

% " x (x0 − δ , x0 ) , " x (x0 , x0 + δ ). ! #

$ # % , lim					f ( x) = lim f (x) = A .
				x→x0 −0	x→x0 +0
	lim		f ( x) = lim f (x) = A . ε > 0 δ1 (ε ) > 0 :
	x→x0 −0			x→x0 +0
x0 − δ < x < x0		f ( x ) − A		< ε . ! δ2 (ε ) > 0 : x0 < x < x0 + δ
x0 − δ < x < x0		f ( x ) − A		< ε . ! δ2 (ε ) > 0 : x0 < x < x0 + δ

f ( x ) − A < ε . %

$ % f

δ = min (δ1 ,δ2 ) . 0 < x − x0 < δ ,

( x ) − A < ε , , lim f (x ) = A. -

x→x0

19. # .

# ’ "

. . y = α(x) % x → x0 ,

lim α( x) = 0 .

x → x0

$ , ε > 0 δ(ε) > 0 : 0 < | x − x0 | < δ | α( x) | < ε .

! " # % , " x → ∞ .

", y = (x −1)2 – " x → 1, y = sin x –

" x → 0 , y = 1 – " x → ∞ . x

!. & ' y = α(x) y = β(x) x → x0 ,

y = α( x) ± β( x), y = α( x)β( x) –

x → x0 .

. ) " ' " ("

$ % " #, $% ). ,, "%

y = α (x) – " x → x0 , ε > 0 δ1 (ε ) > 0 :

( x )

. ! "% y = β ( x)

– "

0 <

x − x

< δ

x → x , ε > 0 δ

(ε ) > 0 :

< δ

β ( x )

0 <

x − x

" δ = min (δ1 ,δ2 ) , 0 <

x − x0

< δ $ ",

α ( x )

β ( x )

α ( x ) + β ( x )

≤

α ( x )

β ( x )

= ε ,

y = α ( x) + β (x ) – " x → x0 .

, , ", # " "

"..

". 4 " $ ’ -

". ". * #"

y		= x ,		y	2	= x2 . ,$ "		x → 0 . !"
1
y1		=	x	=		1	" x → 0 .
y	2		x2			x

!. ( -

y = f ( x) $ x → x0 ,

y = α ( x)

– " x → x0 . δ1 -" x0

f ( x )

% %

≤ M , M > 0 . 5 # ε > 0 δ2 > 0:

α ( x )

(δ

) ,

0 <

x − x

< δ

. / 0 <

x − x

< δ = min

,δ

f ( x )α ( x ) = f ( x ) α ( x ) < M ε = ε ,

$ f ( x)α ( x) – " x → x0 .

, $ " " -

!.	& ' y = α ( x) – x → x0 , -
y =	1	– x → x0 . ) , '

	( x)
α
y = f (x) x → x0 , y =			1	– -

f ( x)

x → x0 .

(x)

–

x → x0 .

< δ

α ( x )

< ε . "%

* #-

ε > 0 δ > 0 : 0 <

x − x0

E > 0 .

" 0 <

x − x0

< δ :

= E ,

$ ε =

α ( x )

y =

– " x → x0 .

α( x)

) # % " #.

20. $ % .

$% 1. & ' y = f (x) x → x0 ,

. , y = f ( x) x0 #

A B , A ≠ B . A − B > 0 . , "% lim f (x ) = A,

x→x0

ε > 0 δ1(ε) > 0 : 0 < | x − x0 | < δ1 | f ( x) − A | < ε . ! "%

lim f (x ) = B , ε > 0 δ2 (ε) > 0 : 0 < | x − x0 | < δ2 | f ( x) − B | < ε . -

x→x0

δ = min(δ1, δ2 ) . , | x − x0 | < δ , $% -

% | f (x) − A | < ε , | f (x) − B | < ε . , "% - % " $% # # ε , ", ", ε = | A − B |2 .

0 < A − B = A − f ( x ) + f ( x ) − B ≤ f ( x ) − A + f ( x ) − B <

< ε + ε = 2ε =| A − B | ,

$ " A − B ' # $ , ". , -

" ' #.

$% 2. & ' lim f ( x) = A δ > 0 -

	x → x0
, ' ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ)	y = f ( x) .
. lim f ( x) = A .	ε > 0 δ > 0 :	0 < \| x − x0 \| < δ
x → x0
\| f ( x) − A \| < ε . , ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ)		:

| f (x) | = | A + f (x) − A | ≤ | A | + | f (x) − A | < | A | + ε ,

, y = f ( x) $ .

$% 3. & ' lim f ( x) = A , A ≠ 0 , δ > 0 , '

x → x0

( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) y = f ( x) ! , ' !

A .

. , "%	lim f ( x) = A , ε > 0 δ > 0 : 0 < \| x − x0 \| < δ
	x → x0
\| f ( x) − A \| < ε . !$
A − ε < f (x) < A + ε .	(20.1)
, "% A ≠ 0 , A > 0 $ A < 0 . / A < 0 , $ ε "% -
", $ "	A + ε < 0 . (20.1) -
", f ( x) < 0 . / A > 0 , $ ε "% ", $ -
" A − ε > 0 .	" (20.1) ",

f ( x) > 0 . ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ)					y = f ( x)
$# " A .
2 " % % " .
$% 4. & '			lim g ( x) = B , B ≠ 0 , δ > 0 , '
			x → x0
1 g ( x)	( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) .
.	, "%		lim g( x) = B , ε > 0 δ > 0 : 0 < \| x − x0 \| < δ
			x → x0
\| g(x) − B \| < ε .		" ε = \| B \| 2 .		, "% \| g(x) − B \| ≥ \| B \| − \| g(x) \| ,
\| B \| − \| g ( x) \| < \| B \|		2 , \| g ( x) \| > \| B \|		2 , 1 \| g ( x) \| < 2 \| B \| , "%
x ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) , $ 1 g ( x) $

( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) .

$% 5 ( «* »). & ' δ > 0 , '

x ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ)		:
g( x) ≤ f (x) ≤ h( x) ,		(20.2)
'
lim	g( x) = lim h( x) = A ,	(20.3)
x → x0	x → x0

lim f ( x) = A .

x → x0

. 3 % # 0.

{xn} –	"% " % % # x , n :
xn ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) , lim xn = x0 . " (20.3):
	n → ∞
lim g( xn ) = lim h( xn ) = A .
n → ∞	n → ∞

" (20.2) : g ( xn ) ≤ f ( xn ) ≤ h( xn ) .

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018110.08 Кб2восточн_Aziya.doc
#
20.05.20151.43 Mб19ВСЕ ВОПРОСЫ ПО ИСТОРИИ ЭКОНОМИКИ.doc
#
20.05.20153.47 Mб73Всемирная история.pdf
#
12.08.201955.98 Кб2всесв. 10 кл. СРСР.docx
#
20.05.20151.42 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 1.pdf
#
20.05.20151.45 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 2.pdf
#
20.05.201520.47 Кб14ВСТУП.docx
#
20.05.201516.14 Кб23Галицько-Волинська держава.docx
#
10.11.201876.29 Кб1Галищько-Волинська держава.doc
#
13.08.2019167.94 Кб2галя doc.doc
#
12.08.2019650.59 Кб0гара м.rtf