Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вступ до аналізу. Ч. 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

! # « "» " " ( . . 10) ", lim f ( xn ) = A . & # #

n → ∞

0 , lim		f ( x) = A .
	x → x0
$% 6.	/	δ > 0 : 0 < \| x − x0 \| < δ f (x) ≤ g (x) ( $
f (x) < g( x) ), lim	f ( x) = A ,	lim g( x) = B , A ≤ B .
x → x0		x → x0

)" " % #-

0 " # % ". $% 7 ( , ' -

). ( , ' A y = f ( x )

x → x0 , * , ' f ( x ) = A + α ( x ) ,

α ( x ) – x → x0 .

. lim f ( x ) = A .

x→x0

ε > 0 δ = δ (ε) > 0 : 0 < x − x0 < δ f ( x ) − A < ε . 2 , -

α ( x ) = f ( x ) − A " x → x0 . !

f ( x ) = A + α ( x ) , α ( x ) – " x → x0 .

, f ( x ) = A + α ( x ) , α ( x ) – "

x → x0 . ε > 0 δ (ε) > 0 : 0 < x − x0 < δ α ( x ) < ε . $

f ( x ) − A < ε , , lim f ( x ) = A . .

x→x0

" .

!. + * ! lim f ( x ) = A ,			lim g ( x ) = B . ,
	x→x0		x→x0
)	lim ( f ( x ) ± g ( x )) = A ± B ,
	x→x0
)	lim f ( x ) g ( x ) = AB ,
	x→x0
) ' B ≠ 0 , lim		f ( x)	=	A	.
) ' B ≠ 0 , lim			=		.
	x→x0 g ( x)			B

. % :

f ( x ) = A + α ( x ), g ( x ) = B + β( x ), α ( x ), β ( x ) – "

x → x0 . :

f( x ) ± g ( x ) = A ± B + (α ( x ) ± β ( x )),

: lim ( f ( x ) ± g ( x )) = A ± B .

x→x0

) ": f ( x ) g ( x ) = ( A + α ( x ))(B + β ( x )) = AB + Bα ( x ) + Aβ ( x ) + α ( x )β ( x ).

" Bα ( x ) , Aβ ( x ), α ( x )β ( x ) – " x → x0 ,

lim f ( x ) g ( x ) .

x→x0

)" :

f ( x)	=	A + α ( x)	=	A	+	Bα ( x) − Aβ( x)
							.
g ( x)		B + β ( x)		B		B (B + β ( x))

, # % # " x → x0 .

), "% α ( x ) , β ( x ) – " x → x0 ,

ε > 0 δ1 = δ1 (ε) > 0 : 0 <

x − x0

< δ1

α ( x )

< ε ,

ε > 0 δ2 = δ2 (ε) > 0 : 0 <

x − x0

< δ2

β ( x )

< ε .

δ = min (δ1 , δ2 ) , $ ε < | B | 2 . -

0 <

x − x0

< δ

$ :

B (B + β ( x ))

B + β( x )

≥

(

−

β( x )

) >

(

− ε) >

−

Bα ( x ) − Aβ( x)

Bα ( x)

Aβ( x)

ε +

2 (

)

ε .

B (B + β( x))

B2 2

! "% ε – $% # " ", #

" 2 ( B + A ) ε $ # ", $ -
	B2
', $% , ". 2 $ . ,
lim	f ( f )	= A .
x→x0	g ( x)	B

, y = C – " , # lim y = C , $

x→x0

". % # # $

" " %:

lim	(Cf ( x )) = C lim f ( x ) ,
x→x0	x→x0

$ ! .

. ,$"

lim	3x2		− 5x + 6
				.
		3
x→2	x		+ x + 1

- :

− 5x + 6

lim (3x2 − 5x + 6)

3lim x2 − 5 lim x + lim 6

lim

x→2

(

)

x→2

x3 + x +1

lim

+ x

lim x3 + lim x + lim1

x→2

3 22

− 5 2 + 6

+ 2 + 1

21. .

& & ' .

!. & ' y = f ( x) [a,b] ,

x0 (a, b)

lim

f ( x) ,

lim

f ( x) ,

x→ x0 +0

x→ x0 −0

lim

f ( x) , lim

f ( x) .

x→ b−0

x→ a +0

. " y = f ( x)

[a,b] .

x0 (a, b] . x [a, x0 ) :

f ( x) < f ( x0 ) . ,

% y = f ( x) "

[a, x0 ) $ , -

% #

sup

f ( x) = M , M ≤ f ( x0 ) .

[a, x0 )

# % # :

) x [a, x0 ) : f ( x) ≤ M ,

$) ε > 0 xε [a, x0 ) : M − ε < f ( xε ) .

δ = x0 − xε > 0 . / x ( xε , x0 ) , x ( x0 − δ, x0 ) , "% -

y = f (x) , f ( xε ) < f ( x) . ε > 0 δ > 0 :x ( x0 − δ, x0 ) f ( x) (M − ε, M ) . # # "

,	lim f ( x) = M . ! " # %
	x→ x0 −0
lim f ( x) , lim		f ( x) = inf f ( x) .
x→ x0 + 0	x→ x0 + 0	( x0 ,b]

. 6 , y = f (x) "%

x = x0 " #, " x0 ,

", $ , x0 , , #

ε > 0 δ > 0 x′, x′′ : 0 <| x′ − x0 | < δ, 0 < | x′′ − x0 | < δ | f ( x′) − f ( x′′) | < ε .

$ % $" % % # x0

# $ #

$" %.

(. + * ! δ > 0 , ' y = f ( x) δ-

x0 , , x0 , * !

{xn} , , , '

lim xn = x0 , { f ( xn )} . ,
n → ∞
{xn} .
. " {x′										}, {x′′} , " %
									n	n
",			lim x′			= lim x′′ = x . + " %:
			n → ∞		n	n → ∞	n	0
			n → ∞			n → ∞
′	′′ ′	′′	′	′′
x1,	x1, x2	, x2 ,..., xn		, xn ,... .					xk . ,, lim x%k = x0 , ,
k - " "									xk . ,, lim x%k = x0 , ,
									%

k → ∞

#, " " {x%k } " % δ-" x0 . #-

" # lim f ( x%k ) = A . ! "% "-

k → ∞

{ f ( xn )}, { f
	′
lim f ( x′ ) = lim
n → ∞	n
	n → ∞

( xn′′ )} " " { f ( x%k )},

f ( x′′ ) = A .

7 .

! (! " #). ( , '

lim	f ( x) , * , ' y = f ( x) -
x→ x0
x0 " #.
. $%.				lim		f ( x) = A .
				x→ x0
ε > 0 δ > 0 : 0 < \| x − x \| < δ \| f (x) − A \| <					ε	.
ε > 0 δ > 0 : 0 < \| x − x \| < δ \| f (x) − A \| <						.
		0		2
				2
x′, x′′ ,		0 < \| x′ − x	\| < δ, 0 < \| x′′ − x \| < δ .
		0				0
′	′′	′	′′	′		′′		ε		ε


\| f (x ) − f ( x ) \| = \| f (x ) − A + A − f (x ) \| ≤ \|				f (x )		− A \| + \| f (x	) − A \| < + = ε .
								2	2

) %. 5 '. {xn} – "% "-

%, , xn ( x0 − δ, x0 ) ( x0 , x0 + δ) , lim xn = x0 . , -

n → ∞

" % { f ( xn )} #, " % $ -

" {xn} .

# 5 ' :

	ε > 0	′	− x0	\| < δ, 0 < \| x	′′	− x0 \| < δ	′	′′
		δ > 0 : 0 < \| x					\| f ( x ) − f ( x		) \| < ε .
, "%		lim xn = x0 , δ N ,							n > N -
		n → ∞
: \| xn − x0 \| < δ . $				n > N , m > N : \| xn − x0 \| < δ ,				\| xm − x0 \| < δ ,

| f ( xn ) − f ( xm ) | < ε . , " % { f ( xn )} "%, #

5 ' " " #. "

" # " % $ " {xn} . , #

# 0 lim f ( x) .

x→ x0

22. # % .

* #" # "% .

*. 40.

/ #, $ . 40 ($, ,#),

#, $# . 40( )? - , # . 40( ) "% ", , # . 40 ($, ,#) "%

" . & ' ", # . 40( ) , -

" , # . 40($, ,#) $ "-.

/ #" x0 #, ,

y = f ( x) , , x0 " "-

, % " ". ' -

. 33 # %. . y = g ( x) -

% $ x0 . y = h ( x )

% x → x0 . ! y = ϕ( x)

x0 , $ #.

" $% " ,

%. * #" ".

1. " % # p h - % $ ":

p= p0 e− kh ,

p0 , k – ". 0 #"

*. 41.

6, "% ", $ # 40( ).

2. , " % " # " R

T $" " , " T T0 ( " # "). / T < T0 , R -

". 2 % . 3 # %

% , $" % $" # ". " " "-

1, 2 # ' " 5 "%. 6" % % # , " #

( %; ", " # # " " 2,19 # ' " 5 "%) % ’%.

3 " % " # " -

. 42.

*. 42.

3. " % # "% # # T % -

ρ= K ,

K – ". 0 " #":

*. 43.

$ # 40( ). & % 40(#).

% , " $ " -

" ' , " # $ , , "

% " $ . !" " "% , "

. ,

. . y = f ( x) % x0 ,

1)" x0 ,

2)lim f ( x ) ,

x→x0

3) lim f ( x) = f (x0 ).

x→x0

/ # « ε − δ »,

" :

. y = f ( x ) % x0 , -

x0 , ε > 0 δ = δ (ε) > 0: x − x0 < δ f (x ) − f (x0 ) < ε .

% #: # $",

", $" , x ≠ x0 , $ x − x0 > 0 . $ #"

$ x0 . & % , "

, # , , $ ’

f (x0 ). + $" %. .

x0 , # x → x0 -

x0 .

, x0 = lim x ,

x→x0

lim f ( x ) = f (lim x ).
x→x	x→x
0	0

$ .

- ' .

x x − x0 " x0 .

/ x → x0 ,	x → 0 . * %
f ( x) − f ( x0 ) = f	( x0 + x) − f ( x0 ) %
x0 %	y ( . 44).

*. 44.

, "% lim f ( x) = f ( x0 ) , lim f ( x) − f ( x0 ) =
x→x0	x→x0

= lim	f ( x ) − lim	f ( x0 ) = lim ( f ( x ) − f ( x0 )) = lim y = 0 .
x→x0	x→x0	x→x0	x→ 0

, % x0 , -

" # "

0 x0 , "

x0 # "% ".

1. ), y = x2 $% " -

% "% x " x . -

y = ( x + x)2 − x2 = x2 + 2x x + x2 − x2 = 2x x + x2 .

" 2 x x – "		x → 0 $ $
2x "	x , x2	– " $
". ,	y – " -

", % y = x2 x . 2. ),

		1
x sin			, x ≠ 0,

f (x) =		x
	0,	x = 0

x = 0 .

. , x %

0 ≤ | f (x) − f (0) | = | f (x) | ≤ | x | ,

"%	sin	1	≤1 x ≠ 0 . , lim f ( x) = f (0) = 0 , $ -
		x
			x→ 0

x = 0 .

3.),

−1, x < 0,

y = sgn x = 0, x = 0,

1, x > 0

x = 0 .

# x = 0 "

x . :

y = f ( x + x) − f (x ) = f ( x) − f (0) = 1 − 0 = 1,

" " x → 0 . , '

x = 0 .

., , % ", " %

" " # % ( . . 20). $% 1. & ' y = f ( x) x0 , -

x0 .

$% 2. & ' y = f ( x) x0 ,

f ( x0 ) ≠ 0 , x0 , y = f ( x)

f ( x0 ) .

$% 3. & ' f (x) , g ( x) x0 , -

f (x) ± g( x) , f ( x)g( x) x0 . & ' g ( x0 ) ≠ 0 ,

f ( x) g ( x) x0 .

$% 4 ( ). + * ! y = f (x)

x0 , y0 = f ( x0 ) , z = g ( y)

y0 , z = F (x) = g( f ( x)) x0 .

. x0 x . y = f ( x)

	y = f ( x0 +	x) − f ( x0 ) . . z = g( y) #
	z = g ( y0 +	y) − g ( y0 ) . , "% y = f ( x) -

x0 , lim y = 0 . ! "% z = g ( y) -
	x→ 0
y0	, lim z = 0 . ,
	y → 0
	85

lim	z = lim (F ( x0 +	x) − F ( x0 )) = lim ( g ( f ( x0 + x)) − g ( f ( x0 )) =
x→ 0	x→ 0	x→ 0

= lim ( g ( y0 +	y) − g( y0 )) = lim ( g( y0 +	y) − g ( y0 )) = lim z = 0 ,
x→ 0	y→ 0	y→ 0

$ z = F (x) x0 .

" # $ # % $ -

. . y = f ( x) % x0 ,

δ > 0 , y = f ( x) " ( x0 − δ, x0 ] ,

lim f ( x) = f (x0 ) . . y = f ( x) % -

x→ x0 −0

x0 , δ > 0 , y = f ( x) -

" [ x0 , x0	+ δ) , lim f (x) = f ( x0 ) .
	x→ x0 + 0

23. $ , .

. . y = f ( x) % X ,

X .

, y = f ( x) % (a,b) ,

" (a,b) . . y = f (x) -

% [a,b] , "

(a, b) , , #, a " b .

’%, " , ,

% " , "% " $

) ' $* '. & ' y = f ( x) -

[a,b] , [a,b] .

. ", $ , M > 0

x0 [a, b] : | f ( x0 ) | > M . , M = 1, x1 [a, b] : | f ( x1 ) | >1.

/ M = 2 , x2 [a, b] :| f ( x2 ) | > 2 . & # " n xn [a, b] :

| f ( xn ) | > n .

" % {xn } $ , "% " " %

[a,b] . " 6 "%–' " $ -

" % {xn	} : a ≤ xn	≤ b , lim xn		= c . !" c [a, b] (" 3 -
k	k	k → ∞	k
		k → ∞

4, . 10). , "% y = f (x) [a,b] ,

c ,

lim f ( xn	) = f (c) .			(23.1)
k → ∞	k
k → ∞
!" f ( xn ) > nk . , "% lim nk		= ∞ , lim f ( xn		) = ∞ , % (23.1).
k	k → ∞	k → ∞	k
	k → ∞	k → ∞
		86

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018110.08 Кб2восточн_Aziya.doc
#
20.05.20151.43 Mб19ВСЕ ВОПРОСЫ ПО ИСТОРИИ ЭКОНОМИКИ.doc
#
20.05.20153.47 Mб73Всемирная история.pdf
#
12.08.201955.98 Кб2всесв. 10 кл. СРСР.docx
#
20.05.20151.42 Mб4Вступ до аналізу. Ч. 1.pdf
#
20.05.20151.45 Mб3Вступ до аналізу. Ч. 2.pdf
#
20.05.201520.47 Кб14ВСТУП.docx
#
20.05.201516.14 Кб23Галицько-Волинська держава.docx
#
10.11.201876.29 Кб1Галищько-Волинська держава.doc
#
13.08.2019167.94 Кб2галя doc.doc
#
12.08.2019650.59 Кб1гара м.rtf