Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Диференціальне числення ФОЗ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

% ', * " * x = 4 , x = 0 . - 5

! ':

			4	4					4
x	(− ∞; 0)	0	0;								; + ∞
				5
									5
			5						5
							2
y		min = 0		max =	6	4		3
y		min = 0

					5	5

y′	–	,	+		0					–

6). % + .

		4		−		1	5		2	′		4 + 10x
y′′		4		−			5			′		4 + 10x
	=		x			3 −		x 3 = −							.
		3					3

												9 3		x4
6 , II , x = −																		4	= −	2	x = 0 .
6 , II , x = −																			= −		x = 0 .
																	10		5
x					2				−		2		2

	− ∞; −				5						5		− ; 0			0	(0; + ∞)
	− ∞; −												− ; 0			0	(0; + ∞)
													5
y
y′′	+										0			–		,	–

7).

$ . 37.

−	1	x2 +3 x−4
3. y = 3e 2			.

1). )! * " Df = (− ∞; + ∞) . 2). # " .

Oy : f (0) = 3e−4 ;

(0;3e−4 ) .

6 ' Ox , * ex > 0 x .

3). % *, *, *.

" * ". + + " -

+ " , " ! ":

−

x2 +3 x−4

−

(x2 −6 x+8)

−

(x2

−6 x+9)−1

−

(x−3)2 +

−

(x−3)2

y =

3e 2

= 3e 2

= 3e

= 3e 2

= 3e 2 e 2

6 , * !

−

y = 3e 2 e 2

= 3

e e 2

, ( 3 . #

! + ' y1 . > , * Oy

(0;3e ) .

4). .

& * , * " ( -

( " (. , -

* 3 .

f (x )

−

k = lim

= lim

3 e e 2

= ,

e lim

x→ + ∞

xe 2

b = lim ( f ( x ) − kx) =

−

= 3 e lim

= 0 .

lim 3

e e

x→ + ∞

e 2

) + " y = 0 , ' ' ( * ')

5). % + .

−

x2 ′

′ −

−

y ′ = 3 e

= 3 e

−

e 2

= −3 e x e 2 .

@ ' ' ' I , x = 0 . % x > 0 :																				y ′		< 0 , +
																					1
+ (0; + ∞) " ,.
6). % + .
	1			2	′	1					2	1			2				1		2
	xe−		x			= −3		e−		x		− x2e−		x		= 3		(x2 − 1)e−		x
y ′′ = −3 e							e										e
y ′′ = −3 e		2					e		2				2				e		2		.
1

6 , ( , ' ' ' II ,

x = 1. ! ':

x	( )	1	(	+ ∞	)
	0;1		1;	+ ∞

y1
y ′′	–	0	+
y ′′	–	0
1
	7). % ! ,						−	1	x2
							−	1	x2
						y = 3 e e 2 .
						1

$ . 38.

	−	1	x2 +3 x−4
! ,	−		x2 +3 x−4	, 3 y
! ,	y = 3e 2			, 3 y
				1
3 .

$ . 39.

7 ' * + * ( ( -

( " * ,*. & ’"

$ , " , +

" + ". ( "

, * " / 3 ". 4. y = ln (1 − 2 cos x) .

1). )! * " .

&, * , ! , +:

1 − 2 cos x > 0 .

$ ’" , , !’, " "

π		5π		, k	– .
	+ 2πk;		+ 2πk
	+ 2πk;		+ 2πk
3		3

2). # " .

6 ' Oy , * x = 0 * Df . 6 ( ' Ox , " ’"+ " ":

ln (1 − 2 cos x ) = 0 .

# 1 − 2cos x = 1 cos x = 0 x = π2 + πk ( k – ), ! * Ox -

, * " (π 2 + πk; 0).

3). % *, *, * .

" , ' 2π , , , '. #

* ! 3 [0; π] , "

Df – (π3; π] .

4). .

7 " + 3 * , * + , * "

+, ’" " " x

. & * + x = π3 . $"

lim ln (1 − 2 cos x ) = − ∞ .

x→ π +0 3

# " x = π3 – * .

5). % + . / ,:

y′ =	2sin x	> 0	x	π	; π	,

	1 − 2 cos x			3

+ " , (π3; π).

6). % + . 6 (

* 7 (1777–1855) – ( * (

y′′ = 2	cos x − 2	< 0	x D f ,
	(1 − 2cos x )2

+ " ( ! ".

7). .

$ . 40.

20. $* * .

$" ' y = f ( x ) , " [a,b] . 6

' ' & (, 3 ( . «& ») "- , * (! *3 ( 3 *. %

3 " *. 6, + * " " !

" [a,b] , ! , " " * "

, ! (a,b) . 6 , -

+ " (! *3 ( 3 * [a,b] . 1). 6 ( y = f ( x ) .

2). & ! , " " * " (a,b) .

3). )! " . 4). )! " a b .

5) ( * ! (- ! *3 ( 3.

#. 6 ( (! *3 ( 3 " y = x4 − 8x2

[−1;3] .

1). 6 ( :

y′ = 4x3 −16x; 4x3 −16x = 0 x (x2 − 4)		= 0 x = −2, x = 0, x = 2 .
		1	2	3
2). . (−1;3) 3 x2 = 0,			x3 = 2 .
3). f (0) = 0, f (2) = −16 .
4) f (−1) = −7, f (3) = 9 .
5). ) + min f ( x) = −16,	max f ( x) = 9 .
[a , b]	[a , b]
	87

8 " y = f ( x ) * (a,b) , +

" (! *3 ( 3 *. ) '

" * + + " " , !-

'' lim f ( x )	lim f ( x ) + " * -
x→ a+0	x→ b−0
, " + * (a,b) .
#. 6 ( ( 3 (! *3 " y =		1

cos x

(π 2;3π 2) .

" , ' [π2;3π2] ( I

x = π2, x = 3π 2 ), (π 2;3π 2) . 6 (:

			1		= − ∞,	1			= − ∞ .
lim						lim
lim						lim
x→	π	+0 cos x				x→	3π	− 0 cos x
x→		+0 cos x				x→		− 0 cos x
2						2
y′ =				sin x	.
y′ =					.
			cos2 x

. (π 2;3π 2) , x0 = π , y (π) = −1 . % x (π 2; π): y′ > 0 ; x (π;3π2): y′ < 0 . # , -

x0 = π ', ( ' , + x0 = π " , * ( . # , (!- *3 " (π 2;3π 2) ', −1, ( 3

+ " ( 3 (! *3 * * -

* * .

1. % , * " 3 * , ( " ,

! " ( . 46). 9 ', 2a , - ! h . 8 ! α ( . . 41), ! "

! ( 3 '?

$ . 41.

', hsin α . ) + ,

, * ":

f (α ) = 2a +	2h			h
		= 2	a +		.

	sin α			sin α

α (0; π).

6 (:			f ′(α ) = −	2h cos α	. 5" ', ' α = π 2 .

				sin 2 α
6 (:
	π
f		= 2a + 2h, lim f (α ) = + ∞,				lim f (α) = + ∞ .

	2		α→ + 0			α→ π− 0

) +			α = π 2 ( 3 (, ! ( -