Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Диференціальне числення ФОЗ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.05.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

(ex )′ = ex .

# ! " y = ex ', * " '. + ( -

*. 6 * , ( ( , " ( ' * -

" " . )

" * ! " ! + * «" '-

"»: ' . ) 4 " +-

* ( ( ! 3 ( . % 3 ( -

* ! , *: «8 ! ''!» (

,: « " ! ! ' ". 8 ex ». 3. % .

& . 2 , (ln x )′ =					1		. 6 ,,
					x

′	ln x ′		1	′		1
(loga x)	=	=		(ln x) =				.
			ln a
	ln a						x ln a

4. % (. 8 . 2: (sin x)′ = cos x . 6:

′		π ′		π		π ′
(cos x )	= sin x +		= cos x +		x +		= − sin x 1 = −sin x .

		2		2		2

' * ' " , ,:

′	sin x ′		(sin x)′ cos x − sin x (cos x )′
(tg x )	=	=	cos2	=

	cos x			x

cos x cos x − sin x (− sin x)

cos2 x + sin 2

= 1 + tg2

x =

cos2 x

cos2

(ctg x )′ = −

sin2

5. % ! (.

' * ' ! , -

" (

y = arcsin x, y = arccos x,

y = arctg x, y = arcctg x .

" y = arcsin x (x [−1;1], y [− π 2; π 2]) ! ' , "

x = sin y , ! * " " + [− π 2; π 2] . # - ,:

(arcsin x )′ =

(sin y )′

cos y

1 − sin2 y

1 − x2

* cos y ≥ 0 y [− π 2; π 2] .

(arccos x)′ = −

1 − x2

" y = arctg x

(x , y (− π 2; π 2 )) ! ' , "

x = tg y , ! * " " + (− π 2; π2 ) . #:

(arctg x)′ =		1	=		1	=	1	.

		′			1 + tg2 y		1 + x2
	(tg y )
,:
(arcctg x ) = −		1		.

		1 + x2

6 , !.

# ! " (.

C′ = 0

x′ = 1

(xα )′ = αxα−1

(a x )′ = a x ln a

(ex )′ = ex

(log		x)′ =	1
	a
			x ln a

(ln x )′ = 1 x

(sin x )′ = cos x

(cos x )′ = −sin x

(tg x )′ =

cos2 x

(ctg x )′ = −

sin2 x

(arcsin x )′ =

1 − x2

(arccos x)′ = −

1 − x2

(arctg x)′

1 + x2

(arcctg x )′

= −

1 + x2

8. % & . #

$" : ( y = x x ( x > 0) . 8 (-? 6 ! " , ', * x

(, y = xα – (. 0

+. ! " "

, ( ', * x + ,

y = a x a > 0 . 0 -

+ , .

# ' * " $ – . 0

* ' -

. % " , . $" ' y = u (x ) , Eu = (0; + ∞) . & * , * ( - ', ':

(ln u ( x ))′ =	1	u′(x ) =	u′( x)	.

	u ( x )		u ( x)

6 ,: u′(x ) = u ( x)(ln u ( x))′ .

5 ( , ' ". & + ,,

', ( ( , " + -

* . "

" 3, + .

1. 6 ( y = x x ( x > 0) . 6 ( , :

(ln xx )′ = ( x ln x)′ = x′ln x + x (ln x )′ = ln x + x 1 = ln x + 1 . x

) + 3 ' ':

(xx )′ = xx (ln x + 1).

2. $" ! *3 * ( , (

y = (u ( x))v( x )	(u ( x ) > 0).
/ ,:

(ln uv )′ = (v ln u )′ = v′ln u + v (ln u )′ = v′ln u + vu′ . u

(uv )′ = uv v′ln u + vu′ .

6, :

	cos x	′	cos x		cos2 x
((sin x )		) = (sin x )		− sin x ln sin x +		.

					sin x

2 ' " , " 3 -

3. 6 (

y =	x3	(x2 + 1)7 ex
			.

( x − 3) 3 (5x − 2)4

& +, ' ' + ! ! ' !-

*, ' " !.

+ . * 3 " -

' ". ) +:

ln y = 3ln x + 7 ln (x2 + 1) + x − ln ( x − 3) −

ln (5x − 2),

(ln y )′ =

14x

+ 1 −

−

x x2 + 1

x − 3 3(5x − 2)

y′ =

x3 (x2 + 1)7 ex

14x

+ 1 −

−

( x − 3) 3 (5x − 2)4

x x2

+ 1

x − 3 3(5x − 2)

" + " (, ! ' ".

#. 6 ( (.

1. y = x4 −

− 5 .

4x3

′

− 3x−1 +

x−3

′

y′ = x4

−

− 5

= x4

− 5

4x3

= 4x3 − 3(−1) x−2 +

(−3) x−4 − 0 = 4x3 +

−

4x4

2. y = 5 x3 +

3 4

′

−

5 x3

y′ =

= x5 +

4 +

x 2 =

3 4 x7

−

x 5 +

−

4 +

2 =

−

6 2

5 5 x2

6 4 x11

12 x

y =

ln x

+ x ctg x .

sin x

ln x ′

′

(ln x )′ sin x − ln x (sin x )

′

y′

+ (x ctg x)

sin2 x

sin x

sin x − ln x cos x

+ x′ctg x + x (ctg x )′ =

+ ctg x + x

−

sin 2 x

sin2

=	sin x − x ln x cos x	+	cos x sin x − x		=	sin x − x ln x cos x + x cos x sin x − x2
								.
	x sin2 x		sin2			x sin 2
				x			x

# " !.

" ' " .

4. y = 12 (x1 − x2 + arcsin x).

x′

+ x (

)′ + (arcsin x )′

y′ =

1 − x2

(−2x) +

1 − x2 + x

2 1 − x2

1 − x2

− x2

+ 1

2 − 2x2

− x2 −

= 1 − x2 .

1 − x2

2 1 − x2

5. y = ln (x + 1 + x2 + 2x + 3 ).

′

= x + 1 + x2 + 2x + 3 (x + 1 + x + 2x + 3 ) =

(2x + 2)

2 x2 + 2x + 3

x + 1 +

+ 2x + 3

x2 + 2x + 3 + x + 1

x + 1 + x2 + 2x + 3

x2 + 2x + 3

8 !, * " ' ! -

, ! , " 3 " " ' " ", ! '

'. 0 , 3 * + ! * " "

. . , " z = f (g (h ( x ))), z′ = = f ′(g (h (x )))g′(h ( x))h′( x ) . $" (, * ( -

: ( :

y =

ln(x3 +1)

sin arctg 4

/ ,:

y′ =

ln(x3 +1)

cos arctg 4

ln 4

2 ln(x3

+1)

ln(x3

+1)

+ 4

2 sin arctg 4

3x2 .

x3 + 1

' " ( , :

.. = * ! , " ! "(, " ! , " ! (, " ( , " !. 0 ! ! :,

! ! !, ! ', ! ( ", ! , !

"( 3 . % ! « » -

" ', * " ".

9.# .

, " " , ", -

" " , : y = f ( x ) . # ! + " x , '

', + ( " y . #

, * " . & , ! ' + * y -

x . $ * " 3 -

" . 6, $ . % "- , , + x y ', * " ! "

+ *, + , * " " " * t , " , * " :

x = ϕ(t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .

$" :

1. .( M , * " ( t0

t1 . # , ,' , " " l ( . ( .14). -

M '' * " : ! + t M , . # + , ( x, y )

M , " :

$ . 14.

x = ϕ(t ), y = ψ (t ), t0 ≤ t ≤ t1 .

5 " " ' * " ' l " , '

M . " t , . # ( *-

3 , * " .

2..

$" R ( .15).

$ . 15.

8 M ( x, y ) – * , " -

’" " ": x2 + y2 = R2 . 6’, , M -

OM t , " ( ( ', -

" Ox . #

x = R cos t, y = R sin t, 0 ≤ t ≤ 2π .

5 ( , " " . 3. ;.

$" " a, b ( . 16). $" " * "-

( ( , ":

x2 + y2 = 1. a2 b2

$ . 16.

8 , ’, , * M OM

t , " ( ( ', -

" Ox . # + " " -

x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π .

& " " y = f ( x ), a ≤ x ≤ b + + (

x = t, y = f (t ), a ≤ t ≤ b .

" " " ( , * " - +. / + , " " x = ϕ(t ) , * " ’"

t : t = Φ ( x ) . # ! ϕ(t ) ( ! Φ ( x ) . #, -

"' " ", ,: y = ψ (t ) = ψ (Φ ( x)) = f ( x ) , ! (3 " " ".

0 ' * , " " " ( 3 , * " (

4. 5. $" " ( (

(0; a ) a > 0 ( . 17).

$ . 17.

# * Ox ! ' * . # ,

* " + Ox . 8 , ' ! ? #- ' , ,' ! ", " , * " . > - " " ' * :

x = a (t − sin t ), y = a (1 − cos t ) .

# " t , . 8 ', * "

+ [0; 2π] , ! , * " 3600 , , * " 3

, " 0 ≤ t ≤ 4π , ' * " .

$" " ' " : x = ϕ(t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β .

!. ( x = ϕ(t ), y = ψ (t ) $ :

1)[α,β] (α,β) ,

2)t (α,β) : ϕ′(t ) ≠ 0 .

) :

y′ = ψ′(t ) . x ϕ′(t )

. 6 , ϕ′(t ) ≠ 0 (α,β) ϕ′(t)

,, (α,β) ! ϕ′(t ) > 0 , ! ϕ′(t ) < 0 . # " x = ϕ(t )

(α,β) , , ! ' t = Φ ( x ) , :

Φ′( x) = ϕ′(t ) .

# y = ψ (t ) = ψ (Φ ( x)), ' " ,-:

y′ = ψ′(t )Φ′( x ) =	ψ′(t )	.

x	ϕ′(t )

#. 6 ( y′	, " x = a cos3 t, y =
x

5 " " ' *

						$ . 18.
/ ,:
y′	=	(b sin3 t )′			=	3b sin 2 t cos t	= −	b sin t
y′	=				=	3a cos2 t (−sin t )	= −
x		(a cos	3	′		3a cos2 t (−sin t )		a cos t
		(a cos		t )

b sin3 t, a > 0, b > 0, 0 ≤ t ≤ 2π . ( . 18).

=− b tg t . a

! " – ( ". # + * + x y , * " " " " ",

" ’" , :

F ( x, y ) = 0 .

! ' ', ! " ! -

* , + ' y ,' x , " "

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.05.20153.05 Mб914ДИПЛОМ.docx
#
12.11.201955.22 Кб4дипломатический протокол самая-самая версия.docx
#
23.11.201968.23 Кб1дипломатия последняя новіе требования.docx
#
20.05.2015278.02 Кб14Дипломна работа Маша Станкова 4-болг332.doc
#
20.05.2015813.81 Кб4Диференціальне числення ФБЗ.pdf
#
20.05.20151.08 Mб8Диференціальне числення ФОЗ.pdf
#
20.05.2015237.57 Кб10ДифференцПсихолЛекции.doc
#
20.05.2015983.01 Кб232Длекции с картинками.docx
#
12.11.2019259.07 Кб2Для 3 курсу _ПС.doc(3 перших заняття).doc
#
23.08.20191.19 Mб25для диплома.doc
#
06.09.201986.02 Кб1Для студ.СОЦ-08.doc