Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

141

Рис. 6.9 — «Дерево» решений для банка с учетом аудиторской проверки

Приняв решение, корректируем «дерево», проставив чистый ожидаемый доход 1905 ф. ст. над квадратом 2. «Ветвь» — не давать заем — зачеркивается, показано на рис. 6.9.

То же самое с кружками исходов D и Е — результатами решения 3.

Доход, ожидаемый от исхода D:

Е(D) = (17250 ф. ст. × 0,9) + (0 × 0,1)= 15525 ф. ст., чистый ожидаемый доход:

NЕ (D) = 15525 – 15000 = 525 ф. ст.

Аналогично для исхода Е:

Е (Е) = 16350 ф. ст. × 1,0 = 16350 ф. ст., чистый ожидаемый доход:

NЕ (Е) = 16350 – 15000 – 1350 ф. ст.

Если бы мы были в квадрате 3, то максимальный ожидаемый доход был бы равен 1350 ф. ст. и можно было бы принять

142

решение не выдавать заем. Теперь скорректируем эту часть схемы: над квадратом 3 пишем чистый ожидаемый доход и принимаем решение выдать заем.

Наконец приступаем к расчету кружков исходов F и G, которые являются результатами решения 4.

Е(F) = 17250 ф. ст. × 0,96 + 0 × 0,04 = 16560 ф. ст.; NЕ (F) – 16560 – 15000 = 1560 ф. ст.;

Е(G) = 16350 × 1,0 = 16350 ф. ст.;

NЕ (G) = 16350 – 15000 = 1350 ф. ст.

В квадрате 4 максимальный ожидаемый чистый доход составляет 1560 ф. ст., и поэтому принимаем решение выдать клиенту ссуду. Сумма 1560 ф. ст. надписывается над квадратом 4, а альтернативная «ветвь» перечеркивается.

Теперь вернемся к «узлам» А и 1. Используя ожидаемые чистые доходы над квадратами 2 и 3, рассчитаем математическое ожидание для кружка А:

Е (А) = (1905 ф. ст. × 0,75) + (1350 ф. ст. × 0,25) = 1766 ф. ст.

Так как аудиторская проверка стоит 80 ф. ст., ожидаемый чистый доход;

NЕ (А) = 1766 – 80 = 1686 ф. ст.

Теперь можно проставить значения первого решения квадрата 1. Должен ли банк воспользоваться аудиторской проверкой? В этом «узле» максимальное математическое ожидание — 1686 ф. ст., поэтому перечеркиваем альтернативную «ветвь».

На рис. 6.10 стрелками показана последовательность решений, ведущая к максимальному чистому доходу: в квадрате 1 воспользуемся аудиторской проверкой. Если выдача заема рекомендуется фирмой, тогда в квадрате 2 — выдать ссуду, если не рекомендуется, то в квадрате 3 — не выдавать ссуду, а инвестировать эти деньги под стабильные 9 % годовых. «Дерево» окончательных решений для примера 2 приведено на рис. 6.10.

143

Рис. 6.10 — Окончательное «дерево» решений для примера 2

6.5 Аналитическая иерархическая процедура Саати

В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, кото-

рую назвал «Analityc hierarchy process» (AHP). Авторы русско-

го издания перевели это название как «Метод анализа иерархий» (МАИ) [48]. Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение.

Метод анализа иерархий включает два этапа:

•декомпозицию проблемы на составляющие части;

•определение относительной значимости исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии.

Построение иерархической структуры начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине,

144

промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. Иерархия строится с вершины — это общая цель или фокус проблемы. В общем случае целей может быть несколько. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии, за которыми следует уровень альтернатив. Формирование множества альтернатив и критериев осуществляется с учетом рекомендаций ЛПР. Этап является неформализуемым.

Рассмотрим пример декомпозиции проблемы. Пусть при обсуждении проблемы улучшения жилищных условий семьей была сформулирована цель — покупка дома. Обсуждались и другие цели решения этой проблемы (например, ремонт имеющегося жилья). Из каталога были отобраны три наиболее предпочтительных дома (варианты А, В, С), которые и были осмотрены семьей непосредственно. Для выбора окончательного варианта она решила воспользоваться методом анализа иерархий (МАИ). Итогом первого этапа МАИ, который явился результатом семейного обсуждения, стала следующая иерар-

хия (рис. 6.11):

Уровень 1

Рис. 6.11 — Иерархия проблемы улучшения жилищных условий

Иерархия — есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов другой группы и, в свою оче-

145

редь, оказывают влияние на элементы следующей группы. Считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемые уровнем, кластером, стратой) независимые.

На втором этапе устанавливается относительная важность элементов иерархии. Используя суждения ЛПР (эксперта) и определенные алгоритмы их обработки, устанавливают веса дуг и веса объектов первого уровня. Если на первом уровне один объект, то вес его принимается за 1.

Суждения ЛПР являются результатом исследования его структуры предпочтений. При этом исследовании применяется метод парных сравнений с использованием шкалы отношений

(табл. 6.5).

Таблица 6.5 — Шкала отношений по Саати

146

Окончание табл. 6.5

Данная шкала позволяет лицу, принимающему решение, ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должно поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или если этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 — объекты равнозначны; 2 — предпочтение одного объекта над другим.

Описание метода анализа иерархий выполним на конкретном примере выбора автомобиля [12].

Пример.

Дано множество автомобилей (альтернатив):

• Жигули;

147

•Москвич;

•Иж;

•Волга.

Оценка альтернатив производится по критериям:

•стиль;

•надежность;

•экономия топлива. Представим иерархию на рис.6.12.

Рис. 6.12 — Иерархия проблемы выбора автомобиля

Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 2-го уровня «надежность» можно раскрыть уровнем 3 как: 1) надежность двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходовой части. Надежность ходовой части можно далее раскрыть уровнем 4, например, как а) надежность тормозной системы, б) надежность подвески и т.д. Для простоты объяснения ограничимся Уровнем 2.

Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была равна единице. Например, если бы нас интересовал критерий «максимальная скорость» и имелись бы соответствующие данные по каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую таблицу.

148

А как быть с таким критерием, как «стиль», для которого не существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации результата сравнения парыальтернатив воспользуемся таблицей 6.5.

Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно сравнить альтернативы. Пусть результаты парных сравнений альтернатив для критерия «стиль» записаны в виде таблицы 6.6.

Таблица 6.6 — Результаты парных сравнений

Простые дроби в клетках трактуются следующим образом. Например, на пересечении строки «Москвич» и столбца «Жигули» записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что «стильность» Москвича» в 4 раза выше, чем «стильность» Жигулей. Здесь вместо приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие «быть лучше в N раз», что также допустимо.

Далее простые дроби переводятся в десятичные. Получается следующая таблица, в последнем столбце дается сумма оценок альтернатив.

149

Нормируем суммы оценок альтернатив таким образом, чтобы их сумма, в свою очередь, была равна 1. Для этого просто разделим сумму каждой строки на 32,37. Получим:

В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы принимаются в качестве оценок альтернатив по критерию «стиль». Отметим, что полученные оценки отражают исключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо строчных сумм Саати рекомендует использовать собственный вектор матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Для простоты ограничиваются строчными суммами, которые допустимы, но, с точки зрения Саати, менее точны.

Аналогичным образом получаются веса критериев. Предположим, конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их сравнительной важности. Запишем результаты сравнений в виде таблицы.

150

Как и прежде, утверждение типа «надежность в 2 раза важнее стиля» записывается в виде дроби 2/1.

Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, получим веса критериев:

w1 = 0,344 (стиль), w2 = 0,535 (надежность), w3 = 0,121 (эко-

номичность).

Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и оценки альтернатив по критериям. Пусть оценки альтернатив по критериям определены и представлены в следующей таблице:

Далее, применяя линейную свертку (взвешенную сумму), получим следующие интегральные оценки альтернатив (функция полезности):

Жигули 0,116*0,344+0,379*0,535+ 0,301*0,121= 0,2791; Москвич 0,247*0,344+0,290*0,535+ 0,239*0,121= 0,2691; Иж 0,060*0,344+0,074*0,535+ 0,212*0,121= 0,0858; Волга 0,577*0,344+0,257*0,535+ 0,248*0,121= 0,3660.

Если учитывать оценку альтернатив по трем критериям, то следует выбрать автомобиль «Волга». Если добавить в оценку альтернатив другие критерии, то можем поступить аналогично, используя предлагаемую процедуру оценки через взвешенную сумму оценок отдельных критериев.

Пусть имеются данные по показателю «стоимость автомобиля». Дальнейший выбор произведём по критерию «стоимостьэффективность». Воспользуемся отношением полученной интегральной оценки к нормированной стоимости. Наилучшей считается альтернатива, для которой указанное отношение максимально.

Врамках нашего примера, сведем все необходимые данные

вследующую таблицу: