Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

91

Найти оптимальную стратегию, обеспечивающую максимальный средний доход.

Воспользуемся критерием Байеса:

B( p, x1) =100 0,4 + 25 0,3 +80 0,1+ 64 0,2 = 68,3;

B( p, x2 ) = 78; B( p, x3 ) = 62.

Лучший результат дает альтернатива x2 .

Рассмотрим измерение предпочтения альтернатив в порядковой шкале, осуществляемое методами ранжирования или парного сравнения. Пусть результаты измерения предпочтений будут представлены в виде матриц парных сравнений альтернатив

в каждой ситуации с элементами xijk , где i, j =1, m — сравни-

Совокупность матриц парных сравнений (равно числу ситуаций) можно рассматривать как точки в пространстве упорядочения решений. В этом пространстве можно ввести понятие «средней точки» (средней матрицы парных сравнений) с коор-

динатами yij .

Для построения средней матрицы парных сравнений воспользуемся условием минимума суммарного расстояния этой матрицы от матриц парных сравнений для всех ситуаций [6].

где pk — вероятность ситуации k .

Раскроем скобки и упростим выражение, минимизируемое по yij

92

При заданных матрицах парных сравнений xijk первый член

в этом выражении является постоянным. Поэтому необходимо максимизировать L

Максимальное значение L достигается при

Средний выигрыш альтернативы определяется по формуле

Пример

Пусть результаты предпочтений альтернатив в каждом состоянии внешней среды представлены (по данным табл. 5.1) в виде матриц парных сравнений

Определяем элементы средней матрицы предпочтений альтернатив. В ней yii =1, i =1,3,

y12 ={1 0,4 + 0 0,3 +1 0,1+ 0 0,2 = 0,4 + 0,1 = 0,5} =1.

Результаты расчетов будут следующими

Наилучшими альтернативами следует считать x1 и x2 .

5.2.3 Критерий минимума дисперсии оценочного функционала

m

Пусть δ i2 ( p, xi ) = ∑pij [ yij − Bi ( p, xi )]2 .

j=1

Оптимальная стратегия xk выбирается исходя из условия

94

Решение характеризуется минимальным разбросом «полезности» относительно ее математического ожидания.

Пример

Исходные данные приведены выше в табл. 5.1.

δ i2 ( p, x1) = 0,4(100 −68,3)2 + 0,3(25 −68,3)2 + 0,1(80 −68,3)2 + +0,2(64 −68,3)2 = 981,81;

δi2 ( p, x2 ) = 714;

δi2 ( p, x3 ) = 456.

Лучший результат дает альтернатива x3 .

Данный критерий используется дополнительно при одинаковых средних доходах, найденных по критерию Байеса. Если решение реализуется однократно, то понятие среднего дохода теряет смысл. В этом случае для ЛПР более привлекательной может оказаться альтернатива, обеспечивающая максимальную вероятность того, что доход будет не менее некоторого, допустимого минимума.

5.2.4 Критерий максимума уверенности в получении заданного дохода

Зафиксируем величину α , удовлетворяющую неравенствам

Будем рассматривать α как некоторый порог, ниже которого уменьшать полезность нецелесообразно. Обозначим Eα,i —

множество состояний внешней среды, при которых обеспечива-

ется выполнение неравенства yij ≥ α. Eα,i = Uej ( yij ≥ α xi ) .

j

Вероятность выполнения этого неравенства при условии использования стратегии xi :

Pα,i = P( yij ≥ α xi ) = P(ej Eα,i ) = ∑ p j ,

e j Eα,i

95

где p j — вероятность наступления события ej . Оптимальная стратегия определяется условием

Пример

Исходные данные приведены в табл. 5.1. Оценим влияние величины порога на оптимальность стратегии.

Возьмем порог α > 80 . Вероятность выполнения этого неравенства:

а) для стратегии x1 → Pα,1( yij >80 x1) = p1 = 0,4 ; б) для стратегии x2 → Pα,2 = p4 = 0,2 ;

в) для стратегии x3 → Pα,3 = p2 = 0,3 .

Оптимальной стратегией для α >80 будет x1 . Пусть α > 30 , тогда

x1 → pα,1 = P( yij > 30 x1) = p1 + p3 + p4 = 0,7;

x2 → Pα,2 = P( yij > 30 x1) = p1 + p2 + p4 = 0,9;

x3 → Pα,3 = P( yij > 30 x1) = p1 + p2 + p3 = 0,8.

Оптимальной будет x2 и так далее.

Если исследовать диапазоны порогов, то получим оптимальные стратегии со следующими диапазонами:

5.2.5 Модальный критерий выбора альтернатив

Сущность модального критерия выбора альтернатив состоит в том, что ЛПР при выборе альтернативы ориентируется на наиболее вероятное состояние среды.

96

Пусть максимум распределения вероятности приходится на

Если имеется несколько состояний среды, которым соответствуют одинаковые максимальные вероятности { l j 1, l j 2 , ..., l jr },

то альтернатива выбирается таким образом, чтобы обеспечить максимум среднего значения оценочного функционала по всему множеству наиболее вероятных состояний:

Достоинство модального критерия состоит в значительном сокращении объема расчетов.

5.3Принятие решений в условиях неопределенности

5.3.1 Принятие решений при линейной упорядоченности состояний внешней среды

ЛПР не знает закона распределения вероятностей состояний внешней среды, но располагает информацией, позволяющей упорядочить эти состояния по вероятности их появления.

Последовательность принятия решения в рассматриваемой ситуации описывается следующим алгоритмом.

Шаг 1. Установить отношение порядка E1 на множестве Е состояний внешней среды.

Шаг 2. Найти точечную оценку распределения вероятностей состояния внешней среды, т.е. некоторое конкретное рас-

пределение p0 = ( p1, ..., pn ) , удовлетворяющее введенному на

первом шаге отношению порядка E1 .

Шаг 3. Для найденной точечной оценки найти оптимальную альтернативу по одному из критериев (или их группе), используемых для ПР в условиях риска.

97

Шаг 4. Проверить, является ли найденное решение оптимальным для всех других распределений p ≠ p0 , но удовлетво-

ряющих данной системе отношений порядка E1 . Если «да», то решение принимается, иначе — перейти к следующему шагу.

Шаг 5. Наложить на распределение p0 дополнительные ус-

ловия (их характер рассмотрен ниже) и проверить их выполнение. Если эти условия выполнены, то решение принимается,

иначе — ввести дополнительные отношения порядка в E1 и вернуться к шагу 2.

Рассмотрим алгоритм более подробно.

На шаге 1 ЛПР устанавливает отношение порядка на множестве Е. Простейший способ упорядочения — введение на множестве Е отношения предпочтения следующим образом:

ej f ek p j ≥ pk ; ej ,ek E; p j ,

где pk p — вектор распределения вероятностей внешней среды; p j — вероятность появления состояния ej . Если такое упорядочение выполнено для всех пар ( ej ,ek ) , то получаем линей-

ное отношение частичного порядка и будем считать, что состояния внешней среды перенумерованы таким образом, что p1 ≥ p2 ≥... ≥ pn .

Шаг 2. Вычисление точечных оценок распределений вероятностей, удовлетворяющих введенным отношениям порядка, может быть выполнено различными способами. Один из них предложен П. Фишберном. Оценки Фишберна p j образуют

убывающую арифметическую прогрессию вида

= 2(n − j +1) =

p j n(n +1) , j 1,n.

Другие способы можно найти в работе [30].

98

Шаг 3. Находим оптимальную альтернативу, например, по

решением не только для найденного распределения p j , но и для любого другого распределения, удовлетворяющего введенному

на шаге 1 отношению порядка E1 .

При использовании критерия Байеса xk f xi , i можно гарантировать тогда и только тогда, когда

n

(B( p, xk ) − B( p, xi ) ≥ 0 или ∑p j ( ykj − yij ) ≥ 0 для всех i, p P,

j=1

(5.1)

где Р — множество распределений, удовлетворяющих заданно-

му отношению порядка E1 .

Очевидно, что для выполнения (5.1) необходимо и достаточно, чтобы

n

min ∑p j ( ykj − yij ) ≥ 0, i =1,m . (5.2)

p Ρ j=1

Поскольку выражение p P представляет собой в рассмат-

риваемом случае не что иное, как систему линейных ограничений, накладываемых на компоненты вектора Р, то выражение (5.2) определяет множество задач, состоящее из (m −1) задач

линейного программирования (при i = k условие 5.2 выполняется).

Шаг 5. Этот шаг и последующие удобнее рассмотреть на примере.

99

Пример

Пусть таблица значений оценочного функционала задана (табл. 5.2). Предположим, что на первом шаге алгоритма на множестве состояний среды E ={e1,e2 ,e3} введено отношение

частичного порядка с помощью неравенств p1 ≥ p2 ≥ p3, p1 + p2 + p3 =1.

Таблица 5.2 — Исходные данные

Вычислим по формуле Фишберна точечные оценки: p1 = 12 ; p2 = 13; p3 = 16 .

Для выбора оптимальной стратегии воспользуемся критерием Байеса. Математическое ожидание полезностей

B( p, x4 ) = 3 54 .

Наилучшей стратегией по Байесу является стратегия x2 .

Проверим, для любого ли распределения вероятностей, удовлетворяющего заданному отношению порядка, эта стратегия оптимальна.

x2 f xi для всех альтернатив i, кроме второй, на любых допустимых распределениях вероятностей, если

100

p1 ≥ p2 ≥ p3;

p1 + p2 + p3 =1.

Таким образом, мы имеем 3 задачи линейного программирования (табл.5.3).

Таблица 5.3 — Задачи линейного программирования

ние. Оно не противоречит ранее введенной системе ограничений (есть общая область допустимых решений и при этом условии). Если ЛПР считает, что последнее ограничение выполняется (а это так), то x2 оптимальна для любого распределения вероят-

ностей, которое может иметь место. Если бы ограничение не выполнялось (т.е. не было общей области допустимых реше-