Турунтаев Л.П. Теория принятия решений

101

ний), то в рассмотрение вводится дополнительное отношение — 5 p2 ≤ 2 p1 (но не 5 p2 ≥ 2 p1 , а) и переходим на шаг 2.

5.3.2Принятие решений при отсутствии информации

осостоянии внешней среды

ЛПР не располагает никакой информацией о вероятностях появления различных состояний внешней среды ej , в том числе

и об их соотношении. Простейший способ решения задачи

состоит в использовании точечных оценок неизвестного априорного распределения, причем критерии выбора в таких условиях принимают известный «принцип недостаточного основания», предложенный Даниилом Бернулли, и означают, что если нет данных, позволяющих считать одно состояние среды ej Ε бо-

лее вероятным, чем любое другое, то априорные вероятности всех этих состояний следует считать равными p j = 1n .

Оптимальной по критерию Бернулли—Лапласса считается альтернатива, максимизирующая математическое ожидание полезности, т.е.

Способ, использующий понятие Байесова множества

Рассмотрим множество всевозможных распределений веро-

n

ятностей состояний внешней среды. Так как ∑p j =1, то в каж-

j=1

дом распределении достаточно задать лишь (n −1) вероятность, например, p1, ..., pn−1.

Обозначим p = ( p1, ..., pn−1) . Очевидно, что каждому конкретному распределению вероятностей соответствует точка (n −1) -мерного пространства с координатами p1, ..., pn−1 , лежащая в замкнутой области, определяемой соотношениями:

102

n−1

p j ≥ 0, j =1, n −1 , ∑p j ≤1.

j=1

Область, определяемая таким образом, называется (n −1) - мерным симплексом pn−1 . Если n = 2, то одномерный симплекс p1 — это отрезок [0,1], если m = 3, то двумерный симплекс p2 — треугольник.

Если в распоряжении ЛПР имеется m альтернатив, то этот симплекс можно разбить на m непересекающихся подмножеств, таких, что в любой точке этого подмножества оптимальной по критерию Байеса является одна и та же альтернатива.

Такое подмножество (из p ), соответствующее стратегии xi , называется байесовым множеством этой стратегии. Будем обозначать его p(xi ) или pi .

Понятию байесова множества можно дать простую геометрическую интерпретацию.

Если среда может находиться всего в двух состояниях n = 2 свероятностями p1 и p2 =1− p1 , тосимплекс p1 ( p1 ≥ 0, p1 ≤1) —

есть отрезок.

Математическое ожидание полезности при использовании альтернативы xi

B( p, xi ) = p1 yi1 + (1− p1) yi2 = p1( yi1 − yi2 ) + yi2 .

Таким образом, каждой альтернативе xi соответствует прямая на плоскости с системой координат ( p, B) .

Приведем пример построения байесовых множеств p(xi ) в одномерном симплексе при наличии трех альтернатив (рис. 5.2). Множеству p(xi ) соответствует отрезок симплекса, на котором альтернатива xi обеспечивает максимум математического ожи-

дания полезности.

Можно доказать, что каждое байесово множество образует в (n −1) -мерном пространстве замкнутый выпуклый многогран-

ник (в нашем случае при n = 2 — отрезок, а при n = 3 — многогранник).

103

x3

x1

0

Рис. 5.2 — Пример построения байесовых множеств p(xi ) в одномерном симплексе при наличии трех альтернатив

Объем этого многогранника будем рассматривать как меру байесова множества p(xi ) и обозначим ее µ( pi ) . Назовем инте-

гральным потенциалом альтернативы xi величину

∫B( p, xi )dp

π(xi ) = 1−pµi ( pi ) / µ( pm−1) ,

где числитель характеризует интегральное (средневзвешенное по всем априорным распределениям) байесово значение оценочного функционала;

µ( pm−1) — мера (объем) симплекса, и, следовательно, знаменатель определяет геометрическую вероятность непопадания вектора p в байесово множество альтернативы xi .

Естественно предположить, что ЛПР стремится к увеличению числителя при возможно меньшем знаменателе. Отсюда получаем критерий наибольшего интегрального потенциала:

π(x ) = max π(xi ) .

i

104

Пример

Задана матрица значений оценочного функционала (табл. 5.4). Найдем зависимость B( p1, xi ) математического ожидания по-

лезности от вероятности появления состояния e1 и изобразим ее

на рис. 5.3.

Таблица 5.4 — Исходные данные

p1 : µ( p1) =1.

Рис. 5.3 — Иллюстрация оценки альтернатив

Вычислим значения интегрального потенциала для всех стратегий:

105

1

∫ (3 +8 p1)dp1

Оптимальной альтернативой следует считать x1 .

5.3.3 Принятие решений в условиях противодействия

Имеется активная внешняя среда, которая стремится принять такие состояния, сводящие к минимуму эффективность процесса управления. ПР в таких условиях рассматривается в теории игр. Основными критериями ПР в этой ситуации являются:

1) максиминный критерий Вальда, в соответствии с которым ЛПР выбирает такую стратегию, что при любом состоянии внешней среды обеспечивается доход не меньше некоторой гарантированной величины (принцип наибольшего гарантированного результата):

ij ij ;

2)критерий минимаксный Сэвиджа, при использовании которого минимизируются максимальные значения риска rij=

Пример

Дана матрица доходов yij (табл. 5.5).

Найдем в каждом столбце матрицы максимальный элемент:

βj = max yij , i

где βj — доход, получаемый ЛПР, при условии, что оно знает состояние внешней среды ej .

107

Cij =Uij − mj . Оно определяет дополнительные (относительно mj ) потери ЛПР в случае неудачного для данного состояния ej выбора альтернативы xi .

5.3.4 Принятие решений при наличии неопределенной информации о состоянии внешней среды

ЛПР может установить некоторый уровень пессимизмаоптимизма в отношениях наихудшего и наилучшего для него состояний среды. Критерий Гурвица учитывает в отличие от критерия Вальда и Сэвиджа лишь частичный антагонизм внешней среды

где λ — показатель Гурвица.

max ϕ(xi ,λ) = ϕ(x ,λ).

i

При λ =1 получаем критерий Вальда.

Пример

Дана матрица реализаций (табл. 5.7). При каких значениях λ альтернативы будут наилучшими?

Таблица 5.7 — Исходные данные

x3 f x1 при всех λ .

x2 f x3 , если −λ + 7 > −8λ +11 или λ ≥ 47 (рис. 5.4).

108

Рис. 5.4 — Иллюстрация влияния показателя Гурвица

5.3.5 Принятие решений при нечетком описании множества состояний внешней среды

мация не позволяет четко определить состояние среды. Принятие решения в таком случае осуществляется с использованием теории нечетких множеств [18, 38].

Пусть E = (e1,e2 , ..., en ) порождает нечеткое множество

A ={ µ1(e1) / e1 , µ2 (e2 ) / e2 , ..., µn (en ) / en } ,

где e j E, j =1,n — состояние среды, носитель нечеткого множества A;

известна и множество ее значений для ej E представлено век-

тором µ = (µ1, ..., µn ).

Для оценки альтернатив могут быть использованы критерии принятия решений в условиях вероятностной неопределенности (п. 5.2.2), если вместо вероятности p j использовать взвешен-

n

ную оценку, равную µj / ∑µk . Например, при использовании

k =1

109

критерия Байеса оценка альтернативы xi будет иметь вид

5.4Принятие решений на основе нечеткого отношения предпочтений

Рассмотрим следующую задачу. Пусть задано множество альтернатив Х, каждая из которых характеризуется несколькими

признаками (критериями) с номерами j =1,m. Информация о парном сравнении альтернатив по каждому из признаков j представлена в форме отношения предпочтения Rj на множестве Х.

Задана относительная важность критериев α j .

Задача заключается в том, чтобы по данной информации сделать рациональный выбор альтернатив из множества

(X , R1, ..., Rm ).

Пример

В процессе разработки проекта возникла необходимость привлечь дополнительных сотрудников для скорейшего выполнения одного из этапов. У руководителя есть три возможности преодолеть трудность:

1)обучить своего сотрудника;

2)найти и принять на работу сотрудника, умеющего выполнять требуемые функции;

3)заключить договор с другой организацией о выполнении этих работ.

Руководитель принимает решение, учитывая следующие критерии:

1)быстроту выполнения работы;

2)материальные затраты на ее выполнение;

3)качество выполнения.

Будем считать, что все критерии одинаковы по важности. Каждый критерий порождает отношения предпочтения на множестве альтернатив (возможностей) Х.

110

Пусть отношения предпочтения альтернатив по каждому критерию будут представлены графами (рис. 5.5).

x3 x3

Рис. 5.5 — Графы отношений

Отношения предпочтения альтернатив по трем критериям будут заданы в виде следующих матриц:

В [18] предложен подход нахождения нечетного множества недоминируемых альтернатив. Суть его заключается в том, что вначале строятся нечеткие отношения предпочтения Q1 и Q2 на

множестве исходных альтернатив Х, такие, что функция µQ1 принадлежности нечеткого отношения Q1 определяется через пересечение исходных отношений Rj , j =1,m, а функция µQ2

принадлежности нечеткого отношения Q2 определяется через аддитивную свертку этих отношений. Затем через пересечение нечетких множеств µQ1 и µQ2 определяется множество пред-

почтительных альтернатив с максимальной степенью недоминируемости.

Определение

Пусть X — множество альтернатив, µQ — заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество