vm3
.pdfстаточно взять пять слагаемых ряда (3.57): ln 3 = 1 + |
1 |
+ |
1 |
+ |
|||||
|
|
||||||||
3 · 4 |
5 · 16 |
||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
+ |
|
+ |
|
= 1 + 0,0833 + 0,0125 + 0,0022 + 0,0004 = 1,098. |
|
||||
7 · 64 |
9 · 256 |
|
√
Пример 3.27. Вычислить 3 с точностью до 0,001.
Решение. Для вычисления корней используется биномиальный
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+x)α = 1+αx+ |
α(α − 1)x2 |
+ |
· · · |
+ |
α(α − 1) · · · · · (α − n + 1)xn |
+ |
· · · |
. |
|
2! |
n! |
||||||||
|
|
|
|
|
Этот ряд при всех значениях α сходится в (−1, 1). Если −1 < α < 0, то ряд сходится в (−1, 1], а если α > 0, то ряд сходится в [−1, 1].
Скорость сходимости биномиального ряда уменьшается с приближением значений |x| к единице. Поэтому для приближённых вычис-
лений корней следует x подобрать таким, чтобы он был по модулю
√
много меньше единицы. В данном примере можем записать 3 =
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
1 |
|
|
−1/2 |
|
|
|
|
|
|
|||
49 16 |
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= r |
3 · · |
|
= |
|
r |
|
|
= |
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
. Теперь, используя бино- |
|||||||||||||
49 · 16 |
4 |
49 |
4 |
48 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
миальный ряд при α = − |
|
, x = |
|
|
, получаем |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
48 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
3 |
5 |
|
1 |
|
||||
√3 = 1,75 1 − |
|
|
+ |
|
· |
|
|
· |
|
− |
· |
· |
· 3! |
· |
|
+ · · · . |
|||||||||||||||
2 · 48 |
2 |
2 · 2 |
482 |
2 · 2 |
· 2 |
483 |
Мы получили знакочередующийся ряд, в котором уже третье слага-
емое меньше 0,001. Поэтому с точностью до 0,001
√
3 = 1,75(1 − 0,0104) = 1,75 · 0,9896 ≈ 1,732.
Пример 3.28. Вычислить √e с точностью 0,001.
Решение. Применяем ряд
|
|
ex = 1 + x + |
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
(3.58) |
|||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ · · · + |
|
|
|
+ · · · |
|
||||||||||
|
|
2! |
|
3! |
n! |
|
|||||||||||||||||
|
1 |
√ |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||
при x = |
|
. Получаем |
e = 1+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+· · ·. Для |
|||||||
2 |
2 |
2 · 4 |
236 |
|
2424 |
25120 |
оценки rn(x) остатка ряда (3.58) запишем rn(x) в форме Лагранжа
rn(x) = |
f (n+1)(c)(x − x0)n+1 |
, где 0 < c < |
|
1 |
. При x = |
1 |
получаем |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
, так как ec < 3 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
rn(x) ≤ |
|
|
|
|
при 0 < c < |
|
. При n = 4 |
|||||||||
(n + 1)!2n+1 |
2 |
|||||||||||||||
величина r4 < 0,001. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
√ |
|
= 1 + 0,5 + 0,125 |
+ 0,0208 + 0,0026 = 1,648. |
|
|
|
||||||||
|
|
e |
|
|
|
81
3.5.3. Приближённое вычисление определённых интегралов
b
R
Если подынтегральная функция в интеграле f (x)dx разлагает-
a
ся в ряд Тейлора, то такой интеграл можно вычислить приближённо с любой степенью точности путём интегрирования степенных функций.
1
Пример 3.29. Вычислить I = R cos x2dx с точностью α = 0,001.
0
Решение. Разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням x, по-
лучаем ряд cos x2 = 1 − |
x4 |
x8 |
x12 |
|||
|
+ |
|
− |
|
+ · · ·, сходящийся на всей |
|
2! |
4! |
6! |
оси. Интегрируя почленно этот ряд в пределах от 0 до 1, находим
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
5 |
· |
2! |
+ 9 |
· |
4! |
− 13 |
· |
6! |
|
|
||||||
cos x2dx = 1 − |
|
|
|
+ · · ·. Мы получили знакоче- |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
редующийся ряд, четвёртое слагаемое его |
|
< 0,001. Поэтому |
||||||||||||||
13 · 720 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R cos x2dx = 1 − 0,1 + 0,00463 ≈ 0,905.
0
3.5.4. Интегрирование дифференциальных уравнений
Требуется найти решение y = y(x) дифференциального уравне-
ния |
y′′ = F (x, y, y′), |
(3.59) |
|
удовлетворяющее начальным условиям y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Бу-
дем считать, что в окрестности начальных данных уравнение (3.59) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, а также, что решение y = y(x) представимо в виде суммы ряда Тей-
лора
y(x) = y(x0) + y′(x0)(x − x0) + · · · + y(n)(x0)(x − x0)n + · · · . (3.60) n!
Чтобы найти ряд (3.60) нужно вычислить его коэффициенты y(x0), y′(x0), y′′(x0), . . . , y(n)(x0), . . . , причём первые два определены начальными условиями y(x0) = a0, y′(x0) = a1. Укажем два метода
отыскания этих коэффициентов. Значения всех производных функции y(x) в точке x0 можно найти последовательным дифференцированием по x функции F (x, y(x), y′(x)):
y′′′(x0) = dF (x0, a0, a1) , · · · , y(n)(x0) = dn−2F (x0, a0, a1) , · · ·. dx
82
Пример 3.30. Найти пять членов разложением в ряд Тейлора решения y(x) дифференциального уравнения y′′ = xyy′, удовлетворя-
ющего условию y(0) = 1, y′(0) = 1.
Решение. Имеем y′′ = xyy′, y′′(0) = 0; y′′′ = yy′ + x(y′)2 + xyy′′, y′′′(0) = 1; y(IV ) = 2(y′)2 + 2yy′′ + 3xy′y′′ + xyy′′′, y(IV )(0) = 2; y(V ) = 9y′y′′ + 3yy′′′ + 3x(y′′)2 + 4xy′y′′′ + xyy(IV ), y(V )(0) = 3. Сле-
довательно, y(x) = 1 + x + |
x3 |
2x4 |
|
3x5 |
||||
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ · · ·. |
|
3! |
4! |
5! |
Метод неопределённых коэффициентов заключается в следующем. Ищем решение y(x) в виде ряда
∞ |
|
y(x) = X an(x − x0)n |
(3.61) |
n=0
с неопределёнными коэффициентами an, которые требуется найти.
Дифференцируя дважды ряд (3.61) почленно, получаем
∞ |
∞ |
X |
X |
y′ = |
nan(x − x0)n−1, y′′ = n(n − 1)an(x − x0)n−2. (3.62) |
n=1 |
n=2 |
Затем разлагаем в ряд Тейлора функцию F (x, y, y′), используя при
этом ряды (3.62). Пусть
|
|
∞ |
|
|
|
X |
|
F (x, y, y′) = |
bn(x − x0)n. |
(3.63) |
|
|
|
n=0 |
|
Вносим (3.62) и (3.63) |
в |
исходное уравнение. |
Получим |
∞ |
|
∞ |
|
X |
|
X |
|
n(n − 1)an(x − x0)n−2 |
= |
bn(x − x0)n. Приравнивая ко- |
|
n=2 |
|
n=0 |
|
эффициенты при одинаковых степенях (x − x0), мы и получим
необходимые соотношения для определения неизвестных коэффициентов an, причём коэффициенты a0 и a1 находим из начальных
условий. Если эти коэффициенты оставить произвольными, то мы получим общее решение.
Пример 3.31. Найти общее решение уравнения y′′ = y методом
неопределённых коэффициентов.
∞
X
Решение. Ищем решение в виде ряда y(x) = |
anxn, тогда |
||
|
∞ |
∞ |
n=0 |
|
|
||
|
X |
X |
|
y′′ = |
n(n − 1)anxn−2, следовательно, |
n(n − 1)anxn−2 = |
|
∞ |
n=2 |
n=2 |
|
|
|
|
X
=anxn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
n=0
нях x, получаем n(n − 1)an = an−2, n = 2, 3, . . .. Отсюда находим
83
|
a0 |
|
|
|
a1 |
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
a1 |
|||
a2 = |
|
, a3 = |
|
|
, |
a4 = |
|
|
|
, a5 = |
|
|
, · · ·, |
|||||||
1 · 2 |
1 · 2 · 3 |
1 · 2 · 3 · 4 |
1 · 2 · 3 · 4 · 5 |
|||||||||||||||||
a2n = |
a0 |
|
, a2n−1 |
= |
|
a1 |
|
. Таким образом, решение можно за- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(2n)! |
|
|
(2n − 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
x2n |
|
∞ |
x2n−1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
писать в виде y(x) = a0 |
(2n)! |
|
+ a1 |
(2n |
|
1)! |
|
= a0ch x + a1sh x, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
что можно было получить и непосредственно, интегрируя данное линейное уравнение.
3.5.5. Применение рядов Тейлора к отысканию пределов и производных
Используя известные разложения в ряд Тейлора, можно находить некоторые пределы и производные.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x − √ |
|
sin √ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Пример 3.32. Найти |
lim |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение. Разложим в ряд Тейлора числитель и знаменатель дан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ной дроби: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x cos x − √x sin √x = |
x − |
|
|
|
+ |
|
|
− · · · − x − |
|
|
+ |
|
|
|
|
− · · · ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
4! |
3! |
5! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x − |
√ |
|
sin |
√ |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
1 |
− |
cos x = |
|
|
− |
+ |
· · · |
. Поэтому |
|
lim |
x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
→ |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
x3 + · · · |
= |
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
x + · · · |
= |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
= |
3! |
2! |
5! |
|
lim |
|
6 |
2 |
5! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→+0 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.33. Найти f (V )(0), если f (x) = e2x sin 3x.
Решение. Ряд Тейлора для f (x) можно получить как произведение рядов для функций e2x и sin 3x:
f (x) = 1 + 2x + |
22x2 |
|
3x3 |
|
|
|
24x4 |
|
|
|
33x3 |
35x5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
+ · · · 3x − |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− · · · . |
||||||||||||
2! |
3! |
4! |
|
|
3! |
|
|
5! |
|
||||||||||||||||||||||
Коэффициент a |
|
|
при x5 |
равен |
35 |
|
22 · 33 |
+ |
24 · 3 |
= |
81 |
|
|
|
9+2 = |
|
199 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
5! − |
3! · 2! |
|
40 |
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
− 40 |
||||||||||||
Следовательно, |
|
f (V )(0) |
= |
− |
|
199 |
, т.е. f (V )(0) = |
−199 · 120 |
= |
− |
597. |
|
|||||||||||||||||||
|
5! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
84
3.6. Ряды Лорана
Если в точке z0 функция f (z) неаналитична, то для изучения
поведения функции в окрестности этой точки ряды Тейлора не применимы. В этом подразделе мы рассмотрим обобщения степенных рядов, когда допускаются не только целые положительные степени, но и целые отрицательные. Такие ряды применяются для изучения функций в окрестности её точек неаналитичности.
3.6.1. Строение области сходимости ряда Лорана. |
||
Теорема о представимости функции рядом Лорана |
||
Ряд вида |
∞ |
|
|
|
|
X |
|
|
|
an(z − z0)n |
(3.64) |
n=−∞ |
|
|
называется рядом Лорана. |
|
|
По определению будем считать, что |
∞ |
|
∞ |
−1 |
|
X |
X |
X |
an(z − z0)n = |
an(z − z0)n + |
an(z − z0)n. |
n=−∞ |
n=−∞ |
n=0 |
∞ |
|
|
X |
|
|
Ряд an(z − z0)n называют правильной частью ряда Лорана. Его
n=0
областью сходимости является круг |z − z0| < R (включая случаи
R = 0, R = ∞).
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим ряд |
an(z − z0)n или |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a−n(z − z0)−n, |
|
|
|
|
|
(3.65) |
||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
называемый главной |
частью ряда |
Лорана. Если |
обозначить |
||||||||
1 |
, то (3.65) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z − z0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∞ |
tn. |
|
|
|
|
|
|
(3.66) |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
< r′. Тогда |
Ряд (3.66) относительно t сходится в некотором круге |
|
t |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
||
ряд (3.65) сходится в области |z − z0| |
> |
1 |
. Пусть |
|
1 |
|
= r. Если |
||||
r′ |
r′ |
r > R, то ряд (3.64) является расходящимся всюду, если же r < R, то областью сходимости является кольцо r < |z − z0| < R с центром в точке z0. Случаи r = 0 и R = ∞ не исключаются.
85
Из теоремы об аналитичности суммы функционального ряда (см. теорему 3.23) и теоремы Абеля (теорема 3.26) следует справедливость утверждения: “Сумма ряда (3.64) аналитична в кольце r < |z − z0| < R его сходимости”.
Далее будем решать задачу, в некотором смысле обратную этому утверждению. Если функция аналитична в кольце, то возникает вопрос о возможности представимости её в виде суммы ряда Лорана.
Теорема 3.36. Всякая функция, аналитическая в кольце
|
|
r < |z − z0| < R, |
(3.67) |
|||
может быть представлена в этом кольце в |
виде суммы f (z) = |
|||||
∞ |
1 |
|
f (t)dt |
; Cρ любая окруж- |
||
= n= |
|
an(z − z0)n, где an = 2πi I |
(t − z0)n+1 |
|||
X |
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
Cρ |
|
|
ность с центром в точке z0, лежащая в кольце (3.67). Доказательство. Пусть z любая точка, лежащая в кольце
(3.67). Точку z зафиксируем. Проведём окружности C′ и C′′ с центром в точке z0 в кольце (3.67) так, чтобы точка z оказалась между ними. Символом γ обозначим окружность с центром в точке z, целиком лежащую в кольце C′ − C′′. К функции
ϕ(t) = tf−(t)z , аналитичной в трёхсвяз-
ной области, ограниченной контурами C′, C′′, γ, применим интеграль-
ную теорему Коши для многосвязной области:
1 |
|
(t )dt |
1 |
|
1 |
|
f (t )dt |
2 |
|
1 |
|
|
f (t )dt |
3 |
|
|
|
|
CI′ |
f 1 |
= |
|
CI′′ |
2 |
+ |
|
|
|
Iγ |
3 |
. |
(3.68) |
|||
2πi |
t1 − z |
|
2πi |
t2 − z |
|
2πi |
t3 − z |
|
Функция f (z) аналитична внутри контура γ, поэтому по интеграль-
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(t )dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной формуле Коши |
|
|
Iγ |
f 3 3 |
|
|
= f (z). Из (3.68) |
получаем |
|
||||||||||
2πi |
|
t3 − z |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
f (t )dt |
1 |
1 |
|
(t )dt |
2 |
|
|
||||
|
|
f (z) = |
|
|
CI′ |
|
1 |
− |
|
CI′′ |
f 2 |
. |
(3.69) |
||||||
|
|
2πi |
t1 − z |
|
|
2πi |
t2 − z |
|
|||||||||||
Дробь |
1 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
разложим по степеням (z − z0). |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
t1 − z |
(t1 − z0) − (z − z0) |
86
На C′ справедливо соотношение |
|
z − c0 |
|
= q1 < r1 < 1, поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
t1 − z0 |
|
|
(z |
|
|
z0) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
− |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
. |
|
|
(3.70) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
||||||||||||||||||
|
t1 z |
t1 z0 |
|
|
|
|
|
|
n=0 (t1 |
|
|
z0) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
− t1 − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На C′′ справедливо соотношение |
|
|
|
− |
|
= q2 < r2 |
|
< 1, следова- |
|||||||||||||||||||||||||||||
z |
z0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
· 1 |
− |
|
|
|
= |
|
||||
|
t2 − z |
|
(t2 − z0) − (z − z0) |
z − z0 |
|
|
t2 − z0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− z − z0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
(t2 − z0)n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.71) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
− |
z0)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ряды (3.70) и |
(3.71) |
|
равномерно сходятся |
|
на |
соответствующих |
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
= r1n и |
X |
|||||||
окружностях, так как они можорируются рядами |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
r2 . Поэтому возможно их почленное интегрирование.
Внесём (3.70) и (3.71) в (3.69) и выполним почленное интегриро-
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∞ (z |
|
z0)n |
# dt1+ |
|
||||||
вание. Получим f (z) = |
|
|
I′ |
f (t1) |
"n=0 |
|
|
|
− |
|
||||||||||
2πi |
(t1 |
|
z0)n+1 |
|
||||||||||||||||
+ 2πi |
|
f (t2) |
" |
|
|
|
|
C |
# dt2 |
X |
− |
|
(t1 |
|
z0)n+1 |
× |
||||
|
∞ |
(z− z0)n |
= 2πi |
|
∞ |
|
||||||||||||||
1 |
I′′ |
|
|
(t2 |
z0)n−1 |
|
1 |
|
|
I′ |
f (t1)dt1 |
|
||||||||
|
|
|
n=1 |
− |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
− |
|
|
|
|||||
|
C |
|
|
X |
|
|
|
|
|
X |
C |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞
×(z − z0)n + 1 X
2πi n=1
Обозначим
1 I f (t1)dt1
2πi (t1 − z0)n+1
C′
I′′ |
f (t2)(t2 − z0)n−1dt2 |
|
|
1 |
. |
|||
|
(z |
z0)n |
||||||
C |
|
|
|
|
|
− |
||
= an, |
1 |
CI′′ |
f (t2)(t2 − z0)n−1dt2 = a−n. (3.72) |
|||||
|
||||||||
2πi |
По теореме Коши для многосвязной области вместо окружностей C′ и C′′ в (3.72) можно взять любую окружность с центром в точке z0, лежащую между C′ и C′′. Формулы (3.72) можно объединить в
одну и записать an = |
1 |
I |
f (t)dt |
, n = 0, ±1, ±2, . . .. Теперь |
|
|
|
||||
2πi |
(t − z0)n+1 |
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
f (z) = |
an(z − z0)n. Теорема доказана. |
n=−∞
87
Теорема 3.37 (единственности). Если ряд
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
an(z − z0)n, |
(3.73) |
|
|
|
|
n=−∞ |
|
||
сходится к функции f (z) в кольце |
|
|||||
|
1 |
I |
f (t)dt |
r < |z − z0| < R, |
(3.74) |
|
то an = |
, где - любая окружность с центром z0, |
|||||
|
|
|||||
2πi |
(t − z0)n+1 |
лежащая в этом кольце.
Доказательство. Ряд (3.73) сходится равномерно в любой за-
мкнутой области, принадлежащей кольцу (3.74), следовательно, функция f (z) аналитическая. Пусть окружность |z − z0| = ρ,
r < ρ < R. Тогда ряд |
|
f (t) |
|
|
|
∞ |
an(t − z0)n−m−1 сходится |
||||||||||||||||
|
|
|
|
= n= |
|
||||||||||||||||||
(t − z0)m+1 |
−∞ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
равномерно на , а потому его можно интегрировать почленно: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
I |
f (t)dt |
1 |
|
∞ |
an I (t − z0)n−m−1dt. |
(3.75) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
n= |
|
|
||||||||||||
|
|
|
2πi |
(t − z0)m+1 |
2πi |
−∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ранее нами показано (см. примеры 2.2 и 2.3), что |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
I |
(t − z0)n−m−1dt = |
0, |
|
если |
n |
m |
1 = |
|
1, |
|
||||||||||
|
|
|
2πi, |
если n −− m −− |
1 =6 |
−−1. |
|
||||||||||||||||
|
|t−z0|=ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Учитывая |
это замечание, |
|
из |
(3.75) |
получаем |
|
am |
= |
|||||||||||||||
1 |
I |
|
|
f (t)dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
. |
Отсюда и из |
теоремы |
(3.36) следует, |
что |
|||||||||||||||
|
2πi |
(t − z0)m+1 |
f (z) разлагается в ряд Лорана единственным образом. Теорема
доказана.
3.6.2. Разложение функций в ряд Лорана в окрестности ∞
Мы будем говорить, что функция f (z) аналитична в окрестности ∞, если она аналитична в области |z| > R.
Если функция f (z) разложена в ряд Лорана по степеням z
−1 |
∞ |
|
X |
X |
|
f (z) = |
anzn + anzn, |
(3.76) |
n=−∞ |
n=0 |
|
сходящийся к ней в кольце R < |z| < ∞, то мы будем говорить, что функция разложена в ряд Лорана в окрестности ∞.
88
−1 |
∞ |
a |
|
X |
X |
−n |
|
Ряд |
anzn = |
называют правильной частью ряда |
|
n=−∞ |
n=1 |
zn |
|
|
|
(3.76). При z → ∞ члены его стремятся к нулю.
∞
X
Ряд anzn называется главной частью ряда Лорана в окрест-
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ности ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
Пример 3.34. Дана функция f (z) = |
|
|
|
|
|
|
. Разложить |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(2 − z)(z + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию f (z) в ряд Лорана в областях: а) D1 : |z| < 2; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
б) D2 : 2 < |z| < 3; в) D3 : |z| > 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение. а) Находим |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
1 |
. В об- |
||||||||||
(2 − z)(z + 3) |
|
5(2 − z) |
5(z + 3) |
||||||||||||||||||||||||||||||
ласти D1: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
|
2 |
− |
z = |
2(1 |
− |
z/2) = |
|
|
2n+1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
При |z| < 3 получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
z |
|
(−1) |
|
. |
|
|
(б) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
X |
|
|
3n+1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
3 + z |
|
3[1 |
( |
z/3)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, в D1 имеет место |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
|
|
n=0 |
|
|
+ (−1)n |
|
zn. |
|
||||||||||||||||||||
(2 |
− |
z)(3 + z) |
5 |
2n+1 |
3n+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В D1 функция f (z) представлена в виде суммы ряда Тейлора.
б) В области D2 разложение (а) не имеет места, разложение (б)
сохраняется. В D2 можем записать |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2n−1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в) |
||
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
zn . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z = z(1 − |
2/z) = − |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В D2 имеем разложение |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ∞ 2n−1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n zn |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
(2 |
− |
z)(3 + z) |
= 5 |
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
zn . |
||||||||||||||||||||
|
n=0 |
3n+1 − 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||
в) В области D3 |
не сохраняется разложение (б), так как в ней |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
n 3n−1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|z| > 3. В этой области z + 3 = |
|
z[1 |
− |
( |
− |
|
|
|
|
|
|
(−1) zn . Раз- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
3/z)] = |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
ложение (в) сохраняется. В D3 |
|
(−1)n+13n−1 − 2n−1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= 1 |
|
∞ |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(2 |
− |
z)(3 + z) |
5 |
|
|
|
|
|
|
zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем случае имеем разложение функции f (z) в ряд Лорана в окрестности ∞.
89
4. Особые точки. Вычеты и их приложения
4.1. Изолированные особые точки
4.1.1. Классификация изолированных особых точек. Устранимые особые точки
Точка z0 называется особой для функции f (z), если функция в
этой точке не является аналитической.
Точка z0 называется изолированной особой, если существует некоторая окрестность точки z0, в которой нет других особых точек, кро-
ме z0.
В основу классификации изолированных особых точек положим поведение предела функции при z → z0.
Изолированная особая точка z0 называется:
1) устранимой особой, если конечен lim f (z);
z→z0
2) полюсом, если lim f (z) = ∞;
z→z0
3) существенно особой точкой, если lim f (z) не существует.
z→z0
Точки, в которых функция аналитична, будем называть правиль-
ными. |
|
|
|
Пример 4.1. Пусть f (z) = |
1 − cos z |
. Функция аналитична вез- |
|
z2 |
|||
|
|
де, кроме точки z0 = 0. Эта точка является изолированной особой.
Найдём lim |
1 − cos z |
= lim |
sin z |
= |
1 |
. Следовательно, точка z0 = 0 |
|||||||||||||||||||
|
|
2z |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
z→0 |
|
|
z2 |
|
|
z→0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
является устранимой особой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Пример |
4.2. |
Точка |
z0 = 1 |
является |
для |
функции |
f (z) = |
||||||||||||||||||
1 |
|
|
изолированной |
особой. |
Выбрав |
|
две |
последова- |
|||||||||||||||||
= sin |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
z − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
тельности: |
z |
|
= 1 + |
1 |
|
|
и |
|
z′ = 1 + |
|
|
1 |
|
, |
видим, |
что |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
n |
|
π/2 + 2nπ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim zn = |
|
lim zn′ |
= 1, |
но |
|
lim f (zn) = 0, |
а |
lim f (zn′ ) = 1, |
т.е. |
||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
||||||||
lim f (z) |
не |
существует, |
следовательно, |
|
точка |
z0 = 1 для |
функ- |
||||||||||||||||||
z→1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ции f (z) = sin |
|
|
является |
существенно особой. Если точ- |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
z − 1 |
|||||||||||||||||||||||||
ка z0 изолированная особая |
для f (z), |
то ряд Лорана |
f (z) = |
||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X
=an(z − z0)n сходится к f (z) в кольце вида 0 < |z − z0| < R,
n=−∞
т.е. во всём круге |z − z0| < R, кроме точки z0.
90