Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vm3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

8.5.1(7Д.5П). f (z) = cos(1 + 2z);			8.5.2(12.5Я). f (z) = z3;
8.5.3(82.ШП). f (z) = z2 + z¯;			8.5.4(3Д.ШЛ). f (z) = sin iz2;
8.5.5(3А.Ш7). f (z) =	z¯	;	8.5.6(1А.57). f (z) =	z	;

	z		z¯
8.5.7(3С.5П). f (z) = ez2 ;			8.5.8(12.ШЛ). f (z) = (¯z)3
8.5.9(БД.5П). f (z) = sin(¯z + 1);			8.5.10(82.ШП). f (z) = (¯z)2 + z.

8.6.1 8.6.10. Проверить, что данная функция является аналитической. Найти значение её производной в заданной точке z0 (см. при-

меры 1.12, 1.13).

8.6.1(641.5П). f (z) = ez2+1, z0 = i; 8.6.2(840). f (z) = sin(z3 + i), z0 = i;

8.6.3(842.5П). f (z) = cos z2 + π2 + 1 , z0 = i;

8.6.4(2С). f (z) = z3 + 2z, z0 = i; 8.6.5(0С1). f (z) = ez3+i, z0 = i;

8.6.6(СС). f (z) = 14 [z − i + cos(z − 1 − i)]2, z0 = 1 + i;

8.6.7(597). f (z) = (iz)3, z0 = 1 + i;

8.6.8(8Б8). f (z) = 2z2 + 4iz, z0 = 1 − i; 8.6.9(84.5П). f (z) = zez+1, z0 = −1 + iπ;

8.6.10(2П9). f (z) = z4 − z3 + 4iz, z0 = i.

8.7.1 8.7.10. Показать, что заданные функции u(x, y) и v(x, y) гармонические. Найти по заданной функции u(x, y) или v(x, y) ей

сопряжённую (см. пример 1.17). При проверке ответа общие множители за скобку не выносить.

8.7.1(С6.5П). u(x, y) = 4x − 2xy, v(0, 0) = 0; 8.7.2(П4.5П). u(x, y) = x3 − 3xy2 + 1, v(0, 0) = 1; 8.7.3(3Д.ШП). u(x, y) = 2xy + y, v(0, 0) = 0; 8.7.4(38.5Л). u(x, y) = e−y cos x + x, v(0, 0) = 0; 8.7.5(32.57). u(x, y) = x3 − 3xy2 − x, v(0, 0) = 0; 8.7.6(РС.57). v(x, y) = e−y sin x, u(0, 0) = 1; 8.7.7(56.5П). v(x, y) = x2 − y2 − 2x, u(0, 0) = 0; 8.7.8(86.5П). v(x, y) = 3x2y − y3 − y, u(0, 0) = 0; 8.7.9(78.5П). u(x, y) = cos x ch y, v(0, 0) = 0; 8.7.10(90.5П). v(x, y) = cos x sh y, u(0, 0) = 0.

8.8.1 8.8.10. Вычислить данный интеграл I = f (z)dz (см. при-

меры 2.1, 2.2, 2.3). В ответе запишите сначала Re I, а затем Im I.

8.8.1(Д01.РП). zdz¯ , AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 2);

181

8.8.2(Д92.РП).			Re z2dz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 3);
B(2, 4);		AB
		R
8.8.3(793.РЛ).		R Im z2dz, AB часть кривой y = x2 от A(0, 0) до
	AB
8.8.4(54.БП).		Re z3dz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 2);
	AB
8.8.5(834.БЛ).R			Im z3dz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 1);
B(1, 1);	AB
	R
8.8.6(94.БП).		R z · zdz¯ , AB часть кривой y = x2 от A(0, 0) до
	AB
8.8.7(37.Б7).	R	zRe zdz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 2);

AB
		R
8.8.8(195.Р7).		zIm zdz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 3);
	AB
8.8.9(Б86.РП).		AB	Re z ·Im zdz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 2);

		R
8.8.10(93.РП).		R (¯z2)dz, AB отрезок от A(0, 0) до B(1, 2).
	AB

8.9.1 8.9.10. Из двух данных интегралов вычислите тот, к которому применима формула Ньютона-Лейбница (см. пример 2.4). В ответ запишите сначала Re I, а затем Im I, общие множители за скобку

не выносить.

ABZ			2z		2				ABZ
ABZ			2z						ABZ
8.9.1(А06.5П). I1 = 8	cos		3			dz, I2 =				z¯3dz, AB отрезок
от точки A(0, 0) до B(1, 3);
8.9.2(287.5П). I1 =	Re z2dz, I2					= 2			e(2/3)z dz, AB часть
R							3 R
AB								AB
кривой y = sin x от точки A(0, 0) до B								π, −1 ;
кривой y = sin x от точки A(0, 0) до B							2	π, −1 ;
8.9.3(288.5П). I1 =	cos	4		zdz,		I2	=		ze¯ z dz, AB часть

		3
AB								AB
окружности x2 + y2 = 1R, расположенной в									Rправой полуплоскости
от точки A(0, −1) до B(0, 1);
8.9.4(1А9.ШЛ). I1 =	z sin z2dz, I2 =									cos(Re z)dz, AB
	AB								AB
часть окружности x2 + y2R= 1, расположеннаяR										в первом квадран-

182

те от точки A(1, 0) до B(0, 1);
8.9.5(661.РП). I1 =		Im z cos zdz, I2 = 2						zez2 dz, AB часть
	AB					AB
параболы y = x2 от точкиR			A(0, 0) до B(1, 1);				R
	B(1,	R			R
8.9.6(962.РП). I1 = 2AB z cos z2dz, I2 = AB \|z\|2dz, AB отрезок
от точки A(0, 0) до		1);
	R				AB	dz
8.9.7(153.РЛ). I1 = AB \|z\|2Re zdz,				I2 = Z			z2	, AB часть пара-
болы y = x2 от точки A(1, 1) до B(2, 4);
8.9.8(7Р4.БП). I1 = 4			sin2 zdz, I2 =		ezz¯dz, AB отрезок от
		AB			AB
точки A(1, 0) до B(0, 1);		R			R
	R				zdz
				AB
				AB	(z2 + 4)2 , AB отрезок от
8.9.9(Т05.БЛ). I1 = AB \|z\|dz, I2 =				Z	(z2 + 4)2 , AB отрезок от
точки A(0, 0) до B(1, 2);
8.9.10(ПА6.57). I1 =			\|z\|2dz, I2	=	zez dz, AB отрезок от
		AB		AB
точки A(0, 0) до B(1, 1). R					R

8.10.1 8.10.10. Применяя интегральные формулы Коши, вычислить следующие интегралы по заданному замкнутому контуру γ,

пробегаемому против часовой стрелки (см. примеры 2.5 2.9). Нецелые рациональные числа записывать в виде несократимой обыкновенной дроби, не выделяя целой части.

8.10.1(1Д2). I =

Zγ

sin 3tdt

, γ : |t| = 5;

πi

(t − 4)3

Zγ

8.10.2(081). I =

, γ : |z − i| = 5;

2πi

z2(z − 3)

8.10.3(6С3). I =

Zγ

, γ : |z − 1| = 2;

2πi

(z + 2)(z − 2)3

Zγ

z6dz

8.10.4(885). I =

, γ : |z − 3| = 4;

2πi

(z − 1)3

183

8.10.5(282). I =

Zγ

z5dz

, γ : |z| = 4;

2πi

(z − 2)(z − 1)3

8.10.6(84.ШЛ). I =

Zγ

cos 3tdt

, γ : |t| = 7;

πi

(t − 4)2(t − 6)

Zγ

e2z dz

8.10.7(56.5П). I =

, γ : |z − 1| = 3;

2πi

(z − 2)5

Zγ

cos 2tdt

8.10.8(Б05). I =

, γ : |t| = 5;

πi

(t − 4)(t − 2)

8.10.9(Д21). I =

Zγ

cos 3(z − 2)dz

, γ : z

= 1,5;

πi

(z − 4)(z − 2)3

−

8.10.10(058). I =

Zγ

zdz

, γ : |z| = 3.

2πi

(z − 1)(z − 2)2

Контрольная работа № 9

9.1.1 9.1.10. Исходя из определения, найти сумму следующих рядов (см. пример 3.3).

∞

+ n

−

2 ;

+ 2n + 3/4 ;

9.1.1(956).

9.1.2(507).

n=2

n=1

∞

−

4n + 3

;

−

(7/5)n + 6/25 ;

9.1.3(919).

9.1.4(8Я8).

n=4

n=2

∞

−

8n + 15 ;

−

(3/2)n + 5/16 ;

9.1.5(5Д7).

9.1.6(385).

n=6

n=2

∞

;

−

6n + 8

−

2n + 3/4

9.1.7(818).

9.1.8(258).

n=5

n=2

∞

n2 + 6n + 8 ;

−

(1/7)n

−

12/49 .

9.1.9(561).

9.1.10(АБ2).

n=1

9.2.1 9.2.10. Исследовать на сходимость следующие ряды (примеры 3.6 3.14). Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) сходится условно; 3) расходится.

184

9.2.1(3Б7.РП).

∞

n + 4

∞

−n2

; 2.

( 1)n

(n!)

; 3.

(−1)

;

n=1

3n(n + 1)!

n=1

−

n=1

n + 1

∞ ( 1)n

2n + 5

n3 ; 5.

∞

(−1)n

; 6.

∞ ( 1)n+1

2n + 3

3n + 1

n=1

−

n=1 n ln2(4n + 2)

n=1

−

n(n + 1)

9.2.2(058.РЯ).

∞

2n(n2 + 1)

∞

ei/n

;

1. n=1(−1)n

(n + 1)!

; 2. n=1(−1)n

1 + n

; 3. n=1(−1)n √n + 4

∞

(−1)n

; 5. ∞ (

−

1)n

; 6. ∞

n=1 n ln2(3n + 1)

n=1

2n + 1

n=2

n ln ln n n2 + 3

9.2.3(439.РЛ).

1. ∞ ( 1)n

10nn!

; 2. ∞ ( 1)n

3n2 + 1

n2 ; 3. ∞

(−1)n

;

(2n)!

n=1

−

n=1

−

+ 1

n=1 (2n + 4) ln2(2n + 1)

∞

(−1)n+1

; 5.

∞

cos πn

; 6.

∞

(−1)n

n=2

n=1 ln(n + 1)

n=1 √n + 4

√n2 + 3

n2 ln n

	9.2.4(640.БП).
	∞	(n + 2)!		∞		n + 5
1.	X		; 2.	X
		n				n!
	n=1	(4n + 3)2		n=1

4.	∞	(−1)n			; 5. ∞
	X					X
	n=1	(n + 5) ln2(n + 7)				n=3

sin

∞

2n ; 3.

n=1(−1)nn3

4n + 5

;

; 6. ∞

(−1)n

ln n

√n3

+ 4

n ln n ln ln n

n=2

9.2.5(6П1.БЛ).

∞ (

−

1)narctg 5/n

∞ nn

∞

2n + 1

(n + 1)2;

1. n=1

; 2. n=1 2nn!

; 3. n=1(−1)n 5n + 2

∞

; 5.

∞

(−1)n n3

; 6.

∞

(−1)n

n=2 (2n − 3) ln(2n − 1)

n=1 n4

+ 2n + 1

n=1 n + 4

n√n + 5

185

9.2.6(892.БЯ).

∞ ( 1)n

; 2.

∞

(−1)nn!

; 3.

∞ (

−

1)nn

2n + 5

n=1

−

4nn!

n=1

(2n)!

n=1

n + 3

∞ ( 1)n

n2 ; 5.

∞

(−1)n

; 6.

∞

(−1)n

(−1)ni

10n + 3

n=1

n3 + 1

n=1

−

n=1 n ln 2n

√3 n + 1

9.2.7(Д93.Б7).

∞ (

−

1)n6n(n2 + 1)

∞ ( 1)nnn

∞

3n + 1

1. n=1

; 2. n=1

−(n!)2

; 3. n=1 n + 4

;

∞

(−1)n

; 5.

∞

(−1)n

; 6.

∞

(−1)n

√4 n + 2

n=1 n ln2(3n + 5)

n=2 (n + 1) ln n

n=1

n3 + 4

9.2.8(С34.Р7).

1 · 4 · 7 · · · · · (3n − 2) ; 3.

( 1)nn sinn 1 ;

∞

(−1)nn2

; 2.

∞

n=1 (n + 3)!

n=1

2n+1n!

n=1 −

∞

n + 2

∞

( 1)n

∞

( 1)n

4. n=1

5n + 1

; 5.n=1 (n +−1) ln 2n

; 6.n=1 n + −√4 2n + 3 + n2 + 2 .

9.2.9(315.РП).

∞

(−1)n32n

; 2.

∞ ( 1)n

n − 1

n; 3.

∞

( 1)n

;

n=1

(2n

−

1)!

n=1

−

n=1 (n +−1) ln 3n

∞

(−1)n−1

; 5.

∞ ( 1)n ln

n + 1

; 6.

∞

(−1)n

n=1

(n + 1)(5/2)n

n=1

−

n=1

sin n

n2 + 1

9.2.10(4Б6.РЯ).

∞

1 · 3 · 5 · · · · · (2n − 1)

; 2.

∞

(−1)nn!

; 3.

∞ ( 1)n

n + 1

;

n=1

5n(n + 2)!

n=1

nn−1

n=1

−

2n + 3

∞

; 5.

; 6.

n=2

(3n + 1) ln n

n=1(−1)n cos n

n=1 (−1)n sin n

+ 2n2 + 3

9.3.1 9.3.10. Найти

область сходимости

указанных

рядов

(см.

примеры 3.15, 3.16). Ответ записать в виде промежутков (открытых, закрытых или полуоткрытых) и их объединений, например,

−1, −13 [2, 4) (6, +∞). Отрицательные степени не использовать.

186

Если ряд расходится всюду, записывать знак . Если ряд сходится

в отдельных точках, то ввести эти точки.

9.3.1 а) (321.РП).

∞

(−1)n

; б) (452.РЯ).

∞

9nx2n sin(x + πn).

n=1

(x2 + n)2/3

n=1

9.3.2 а) (4А5.БЛ). ∞ lnn

; б) (8С6.БП). ∞

(

1)n(x − 3)n

n=1

−(n + 1)5n

∞

(x + 2)n

9.3.3 а)(Д97.Б7).

n + 1

(3x2 + 4x + 2)n

; б)(859.РП).

(2n + 1)3n

n=1

√n2 − 1

9.3.4 а) (880.РП).

∞

(x2

4x + 6)n ; б) (А82.БП).

∞

−

n=1

n2(5x + 9)2n−1

n=1

9.3.5 а) (6П4.БП). ∞

23nx3n sin(3x+ nπ); б) (Р25.Б7). ∞ e−(1−x√

)2 .

n=1

9.3.6 а) (Т46.Р7).

∞

n + 3

(−1)n

;

n=1

n2 + 1

(27x2 + 12x + 2)n

∞

(36)n

б) (6Т7.РП).

· x2n sin(5x + πn).

n=1

∞

n (25)n

∞

−n2

x2 + 1

9.3.7 а) (1Т0.БЛ).

(

x ; б) (С22.РП).

sin

−

√3n

n=1

∞

n2n

;

9.3.8 а) (А91.БП). n=1

n + 1

(3x2 + 8x + 6)n

∞

9nx2n

б) (493.РЛ).

√

sin(5x − nπ);

n=1

2n + 4

∞

8nx3n sin

9.3.9 а) (С74.РП).

n=1

; б) (Т23.РЛ).

5nxarctg

7nx

n=1

9.3.10 а) (836.РЛ).

∞

(x2 − 6x + 12)n ; б) (Р97.БП). ∞ 32nxn sin x .

n=1

4n(n2

+ 1)

n=1

187

9.4.1 9.4.10. Найти радиус сходимости данного степенного ряда и сумму этого ряда, применяя теоремы о дифференцировании и интегрировании рядов (см. примеры 3.22 и 3.23). В ответ ввести сначала радиус сходимости, а затем сумму ряда либо значение суммы в указанной точке.

∞

(2n + 1)x2n, x0 =

9.4.1(231.РП).

;

n=0

∞

4nx2n

, x0 =

2√

9.4.2(762.РП).

;

n=1

(−1)n(n + 1)xn , x0 = 2;

9.4.3(2П3.РЛ).

∞

n=0

9.4.4(ПС4.БП).

∞

(−1)nx2n

;

−

n=1

∞

2xn+1

, x0 =

;

9.4.5(285.БЛ). ln 2 +

n(n + 1)

n=1

∞

(n2 + n)xn−1

9.4.6(П06.БП).

, x0 = 2;

n=1

3n+1

(−1)nx2n+3

9.4.7(2С0.5П). 2 ∞

;

n=0 (2n + 3)(2n + 2)

∞

nx3n−1, x0 =

;

9.4.8(6Т7.Б7).

n=1

(−1)n+1x2n ;

9.4.9(С41.5П).

∞

n=1

∞

9.4.10(228.Р7).

(2n2 − 2n)xn, x0 =

n=0

9.5.1 9.5.10. Найти три первых члена, отличных от нуля, разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z0 данных функций. В

ответ ввести третий член.

1 π

9.5.1(2Д0.5П). f (z) = sin z , z0 = 2 ;

9.5.2(9Д1.5П). f (z) = cos z , z0 = 0;

188

9.5.3(3Д2.ШП). f (z) = ez + 1 , z0 = 0;

9.5.4(1А1.РП). f (z) = sin z + 1 , z0 = 0;

1 π

9.5.5(4С3.ШЛ). f (z) = cos z + 2 , z0 = 2 ;

1 π

9.5.6(424.Ш7). f (z) = sin 2z , z0 = 4 ;

9.5.7(505.57). f (z) = cos 2z , z0 = 0;

9.5.8(5С6.5П). f (z) = −z + i , z0 = i; 9.5.9(672.РЯ). f (z) = ez sin z, z0 = 0; 9.5.10(343.РЛ). f (z) = ln(4 + z), z0 = 0.

9.6.1 9.6.10. Пользуясь разложением данной функции в ряд Тейлора, найти значения производных указанного порядка в указанной точке (см. пример 3.33).

9.6.1(С61). f (x) = e−x2/2, f (10)(0);

9.6.2(ТР2). f (x) =			x		, f (5)(0);

		1 + x2

9.6.3(2Д3). f (x) = cos xch x, f (8)(0);
9.6.4(Р44). f (x) =	√		x3			, f (6)(0);

			1 + x3
9.6.5(2Т5). f (x) = x2 √4							, f (4)(0);
				1 + x
9.6.6(136). f (x) = x4 ln 1 +								x	, f (8)(0);

								2
9.6.7(3Б7). f (x) =		81(3x − 5)							, f (4)(0);
	x2 − 4x + 3

√

9.6.8(948). f (x) = 32x2 3 x + 8, f (5)(0);

9.6.9(С09). f (x) = x6 arctg x , f (11)(0);

540 2

9.6.10(100). f (x) = x3 ln(1 − x + x2), f (7)(0).

189

9.7.1 9.7.10. Вычислить приближённо с точностью α = 0,001 сле-

дующие интегралы (см. пример 3.29).

sin x2dx;

0,1

9.7.1(5Т1.ДЛ).

9.7.2(722.Д7).

cos(100x2)dx;

0,1

1 − −

9.7.3(523.УЛ).

e−6x dx;

9.7.4(С54.У7). Z

dx;

0,5

9.7.5(А55.ДЛ). Z0

ln(1 + x/5)

dx;

9.7.6(У21.ДЛ). Z0

;

√

1 + x4

1,5

0,2

9.7.7(022.Д7). Z

√3

;

9.7.8(656.Д7).

e−3x dx;

27 + x3

0,2

0,5

cos(4x2)dx.

9.7.9(Т81.ДЛ). sin(25x2)dx;

9.7.10(822.Д7).

9.8.1 9.8.10. Следующие функции разложить в ряд Лорана в данной области (см. пример 3.34). В ответ ввести указанные коэффициенты полученного ряда.

9.8.1(Б71). f (z) =

z − 2

, 0 < z

, a

;

2z3 + z2

− z

| |

9.8.2(Д40.РП). f (z) =

z − 4

, 1 < z

< 2, a

, a

;

z4 + z3 − 2z2

| |

−4

9.8.3(Д21.РП). f (z) =

3z − 18

< z

< 3, a , a

;

2z3 + 3z2 − 9z 2

| |

3 −3

9.8.4(1Т2.РЛ). f (z) =

5z − 50

< 5, a , a

;

2z3 + 5z2 − 25z 2

3 −3

9.8.5(6Р3.БП). f (z) =

7z − 98

< z

< 7, a

, a

;

−2

2z3 + 7z2 − 49z 2

| |

9.8.6(114.БЛ). f (z) = z2 − 3z + 2 , 2 < |z − 4| < 3, a3, a−3;

9z − 162

9.8.7(452). f (z) = 2z3 + 9z2 − 81z , |z| > 9, a−3;

9.8.8(С93). f (z) = z2 − 5z + 6 , |z + 1| > 4, a−4;

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2119 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2016141.83 Кб43Unit 8 (RC) Informaton Security.docx
#
11.05.2015479.62 Кб59Upravlenchesky_uchet.pdf
#
11.05.2015238.59 Кб14Ustav_universiteta.doc
#
11.05.2015286.23 Кб5VARIANT-22.pdf
#
11.05.20151.89 Mб109vkr.doc
#
11.05.20151.32 Mб24vm3.pdf
#
16.03.2016178.15 Кб10voprosy (1).docx
#
11.05.2015106.18 Кб17Voprosy_1-23.docx
#
11.05.2015127.57 Кб19Voprosy_24-38.docx
#
10.05.2015496.64 Кб13VOPROSY_ZAChETA_s_did_edinitsami.doc
#
11.05.2015187.9 Кб14Vvedenie_Chast_1.doc