vm3

функции f (z), а потому все особые точки лежат внутри γ. Теперь

(4.13) следует из (4.12).

Применяя основную теорему о вычетах, можно вычислить многие интегралы по замкнутому контуру.

4.3. Приложение вычетов к вычислению интегралов

4.3.1. Вычисление интегралов по замкнутому контуру

Применяя основную теорему о вычетах, можно вычислять многие контурные интегралы.

|z|=5

В некоторых случаях вычисление интеграла удаётся упростить применением вычета в ∞.

101

окружность |z| = 1 в положительном направлении. Следовательно,

I|z|=1

=R1(z)dz.

|z|=1

Через R1(z) обозначена некоторая рациональная функция от z. По

n

X

основной теореме о вычетах I = 2πi Res[R1(z); z = zm], где

m=1

zm полюсы функции R1(z), попавшие внутрь окружности |z| = 1.

полуплоскости, кроме конечного числа особых точек, и аналитична

zm все особые точки f (z), расположенные в верхней полуплоскости, т.е. Im zm > 0.

102

Возьмём окружность столь большого радиуса R, чтобы все особые точки f (z) попали внутрь неё. Составим контур L из верхней полуокружности′ и части вещественной оси (−R, R).

Тогда

R ′

Решение. Ясно, что для функции f (z) = (z2 + 1)(z2 + 9) все усло-

−∞

Часто используется следующая лемма.

Лемма (Жордана). Пусть дано некоторое семейство дуг окружностей CR : |z| = R, Im z > −a (R → ∞, a > 0 фиксировано).

103

при 0 ≤ ϕ ≤ 2 справедливо неравенство sin ϕ ≥ π ϕ. Теперь из (4.16)

R AB

Если на дуге CB отсчитывать полярный угол от отрицательной оси по часовой стрелке, то для интеграла R eiαz f (z)dz получается

CB

такая же оценка, и утверждение леммы в случае a = 0 доказано.

В операционном исчислении применяется лемма Жордана в несколько видоизменённой форме.

Пусть дано некоторое семейство дуг окружностей CR : |p| = = R, Re p < a. Для любой функции F (p) такой, что величина

M (R) = sup |F (p)| → 0, p CR при R → ∞, и любого вещественного положительного t

CR

Справедливость этого утверждения следует из доказанной леммы, если положить в ней iz = p.

Теорема 4.10. Пусть функция f (z) аналитична в верхней полуплоскости, кроме конечного числа особых точек zm, аналитична на

вещественной оси и удовлетворяет условиям леммы Жордана. Тогда

+∞

интеграл R eiαxf (x)dx, α > 0 сходится и

−∞

X

I = 2πi Res eiαz f (z); z = zm , Im zm > 0.

m

104

Доказательство. Пусть L замкнутый контур, образованный верхней частью CR окружности |z| = R и интервалом (−R, R). Величину R возьмём столь большой, чтобы все особые точки zm по-

105

5. Интегралы, зависящие от параметра.- и B- функции. Функции Бесселя

m

X

Слагаемые в сумме f (n, y) представляют собой функции двух

n=1

аргументов: аргумента n, принимающего целые положительные значения, по которому производится суммирование, и аргумента y, выступающего как параметр. В результате суммирования по n получаем некоторую функцию ψ(y) параметра y. В интегралах, зависящих

от параметра, понятие суммы обобщается на случай, когда индекс суммирования меняется непрерывно в конечных или бесконечных пределах. Многие неэлементарные функции можно задать в виде подобных интегралов. Две из таких функций - и B-функции,

изучаются в этом разделе. Важный для приложений класс бесселевых функций, в выражение которых входит -функция, рассмотрен

также в данном разделе.

5.1. Свойства функций, заданных собственными интегралами, зависящими от параметра

Пусть в прямоугольнике П:{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} задана функция z = f (x, y), интегрируемая по x на [a, b] при любом значении y из [c, d]. Тогда на [c, d] определена функция

a

Говорят, что функция I(y) задана интегралом, зависящим от параметра. В тех случаях, когда интеграл (5.1) удаётся вычислить, получим явно заданную функцию I(y), и никаких новых задач не возникает. Мы будем изучать свойства функции I(y), исходя из свойств подынтегральной функции f (x, y), считая явный вид функции I(y)

неизвестным. Заметим, что интеграл (5.1) представляет собой новый способ задания функциональных зависимостей, широко применяемый в различных областях математики и её приложениях.

5.1.1. Непрерывность и переход к пределу под знаком интеграла

Теорема 5.1. Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике П, то функция I(y) непрерывна на отрезке [c, d].

106

Доказательство. Так как функция f (x, y) непрерывна в ограни-

ченном замкнутом прямоугольнике П, то она равномерно непрерывна в нём. Это означает, что для любого ε > 0 найдётся δ = δ(ε) > 0, не зависящее от выбора точек (x1, x2) и (y1, y2) из П, такое, что если

Пусть x любое из [a, b], а y любое из [c, d]. Дадим значению y приращение y такое, чтобы точка y + y не вышла из [c, d]. Поло-

a

в силу (5.2), то |I(y)−I(y+ y)| < b − a ·(b−a) = ε, если | y| < δ. Это и означает непрерывность функции I(y) на [c, d]. Теорема доказана.

Следствие. Если функция f (x, y) непрерывна в прямоугольнике

где y0 любое из [c, d].

Действительно, в силу доказанной в теореме непрерывности I(y)

в П, то f (x, y0) = lim f (x, y), и формула (5.3) получена.

y→y0

Если выполняется соотношение (5.3), то говорят, что возможен предельный переход под знаком интеграла.

1

Пример 5.1. Найти lim R x2ex2y2 dx.

y→0 0

Решение. Функция f (x) = x2ex2y2 непрерывна в прямоугольнике П:{0 ≤ x ≤ 1, c ≤ y ≤ d}, где c < 0, d > 0. Поэтому справедливо соот-

Заметим, что условие непрерывности функции I(y) в теореме 5.1, является достаточным, но не необходимым, т.е. функция I(y) может

быть иногда непрерывной, хотя иине выполнены условия теоремы.

107

5.1.2. Дифференцируемость. Формула Лейбница

Теорема 5.2 (о дифференцировании по параметру под знаком интеграла). Если функции f (x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в прямоуголь-

b

нике П:{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, то функция I(y) = f (x, y)dx диф-

a

к пределу под знаком интеграла согласно следствию из теоремы

b

I′(y) = R fy′ (x, y)dx. Теорема доказана.

a

Если имеет место формула (5.4), то говорят, что возможно дифференцирование по параметру под знаком интеграла. Формула (5.4) позволяет упростить вычисление некоторых интегралов.

Пример 5.2. Применяя дифференцирование по параметру, вычис-

108

непрерывными в прямоугольнике {0 ≤ x ≤ π, −1 + ε ≤ y ≤ 1 − ε},

π

Для вычисления интеграла I′(y) применим теорию вычетов (см.

I(y) = π arcsin y.

Рассмотрим случай, когда пределы интегрирования также зависят от параметра y. Пусть функция f (x, y) определена на замкну-

109

том множестве D : {a(y) ≤ x ≤ b(y), c ≤ y ≤ d}, причём кривые x = a(y) и x = b(y) не выходят за пределы прямоугольника П:{a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, и интегрируема по x на отрезке [a(y), b(y)] при любом фиксированном значении y из [c, d]. Тогда на сегменте

a(y)

ставлена интегралом, зависящим от параметра, пределы интегрирования которого также зависят от параметра y.

Теорема 5.3. Если функции f (x, y) и fy′ (x, y) непрерывны в прямоугольнике П, а функции a(y) и b(y) дифференцируемы на [c, d] и удовлетворяют условию a ≤ a(y) ≤ b, a ≤ b(y) ≤ b при c ≤ y ≤ d, то

a(y)

Доказательство. Функцию I(y) можно считать сложной функцией от y : I(y) = Φ[y, a(y), b(y)]. Дифференцируя эту функцию по

правилу дифференцирования сложной функции от нескольких аргументов, получаем