vm3

любом порядке, также абсолютно сходится и его сумма равна про-

Теорему примем без доказательства.

В практических приложениях наиболее часто встречаются абсолютно сходящиеся ряды. В подразделах 3.1.4 3.1.10 приведены некоторые достаточные признаки абсолютной сходимости.

3.1.4. Признак сравнения абсолютной сходимости в конечной форме

значать соответственно символами (A), (|A|), (B), (|B|).

Теорема 3.7. Если для всех n > n0 ≥ 1 выполняется неравенство

|an| ≤ |bn|, (3.15) то из сходимости ряда (|B|) следует сходимость ряда (|A|), т.е. из аб-

солютной сходимости ряда (B) следует абсолютная сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (|A|) следует расходимость ряда (|B|).

Доказательство. Справедливость теоремы 3.7 непосредственно

следует из критерия Коши (см. теорему 3.2). Действительно, если ряд (|B|) сходится, то для него выполнен критерий Коши, но тогда в силу неравенства (3.15) он и подавно выполнен и для ряда (|A|), т.е.

иряд (A) также сходится абсолютно. Если же ряд (|A|) расходится,

то для него не выполнен критерий Коши, но тогда он не выполнен

идля ряда (|B|), т.е. ряд (|B|) расходится.

Замечание 1. Если ряд (|A|) расходится, то из теоремы 3.7 следует, что ряд (B) либо расходится, либо сходится условно. Нужны дополнительные исследования. Если же ряды (A) и (B) содержат лишь вещественные положительные члены и 0 < an ≤ bn, то из расходимости (A) следует расходимость ряда (B). Для таких рядов

понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

∞

X 1

Пример 3.6. Ряд n=1 ns исследовать на сходимость (этот ряд на-

зывается обобщённым гармоническим).

Решение. При s ≤ 1 данный ряд расходится на основании тео-

ремы 3.7, так как в этом случае n ≤ ns , а ряд n=1 n расходится (см. пример 3.4). Пусть s > 1 и s = 1 + σ, где σ > 0. Ряд

51

ственными членами. Имеет место следующее утверждение.

∞∞

Доказательство. Справедливость теоремы 3.8 следует из очевид-

ных неравенств |αn| ≤ |an|, |βn| ≤ |an|, |an| ≤ |αn| + |βn| и теоремы

3.7.

гармонический при s > 1. Поэтому на основании теоремы 3.8 данный

52

ряд сходится абсолютно.

3.1.5. Предельный признак сравнения

Теорема 3.9. Пусть существует

Если q [0, +∞) и ряд (|B|) сходится, то сходится и ряд (|A|). Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то расходится и ряд (|A|).

Доказательство. Пусть 0 ≤ q < ∞ и ряд (|B|) сходится. Из (3.16)

3.7 сходится и ряд (|A|).

Если q > 0 и ряд (|B|) расходится, то в этом случае существует

конечный предел lim |bn| . Ряд (|A|) должен расходиться, так как в

n→∞ |an|

противном случае по доказанному выше сходился бы и ряд (|B|).

Замечание 2. Если в (3.16) q = ∞, то тогда lim |bn| = 0, и по

n→∞ |an|

теореме 3.9 из абсолютной сходимости ряда (A) следует абсолютная сходимость ряда (B).

Замечание 3. Если в (3.16) q 6= 0, q 6= ∞, то ряды (|A|) и (|B|) либо оба сходятся, либо оба расходятся. Для рядов (A) и (B) нуж-

ны дополнительные исследования. Каждый из них, независимо от другого, может либо сходиться условно, либо расходиться. Если же члены этих рядов вещественны и положительны, то при q 6= 0, q 6= ∞ ряды (A) и (B) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

53

∞

X 1

из сходимости ряда n=1 n3/2 следует сходимость данного ряда.

Как мы видели, для сходимости ряда (A) необходимо, чтобы

lim an = 0, т.е. чтобы величина |an| была бесконечно малой при

n→∞

n → ∞. Как следует из предельного признака сравнения и сходи-

∞

X 1

мости ряда n=1 ns при s > 1, для абсолютной сходимости ряда (A)

необходимо и достаточно, чтобы порядок малости величины |an| был

был конечен при α > 1. Если же этот предел конечен при α ≤ 1,

Таким образом, исследование ряда на абсолютную сходимость сводится к определению порядка малости модуля его общего члена.

В признаках сравнения для исследования данного ряда нужно привлекать другой ряд. Существуют признаки сходимости, основанные на исследовании только данного ряда. К таковым относятся признаки Даламбера и Коши. В них происходит сравнение членов ряда с геометрической прогрессией.

3.1.6. Признак Даламбера в конечной форме

Теорема 3.10. Если, начиная с некоторого номера n, справедливо

Доказательство. Пусть неравенство (3.17) выполняется для всех

номеров. Тогда |a2| ≤ q|a1|, |a3| ≤ q2|a1|, . . . , |an| ≤ qn−1|a1|, . . . .

∞

X

Так как ряд qn−1|a1| сходится как геометрическая прогрессия со

n=1

знаменателем 0 < q < 1, то по признаку сравнения ряд (A) сходится

абсолютно.

Если же |an+1| ≥ 1, то |an+1| ≥ |an| при любом n, и общий член an

|an|

не может стремиться к нулю, т.е. не выполнен необходимый признак

54

то ряд (A) сходится абсолютно при q < 1, при q > 1 расходится. (При q = 1 никакого вывода о сходимости ряда (A) сделать нельзя.

Нужны дополнительные исследования.)

Доказательство. Если q < 1, то найдётся такое ε > 0, что q = 1 − 2ε, т.е. q + ε = 1 − ε. По определению предела из (3.18) для выбранного ε > 0 N (ε) такое, что при n > N имеет место

|an+1| < q + ε = 1 − ε < 1. Отсюда и из теоремы 3.10 следует абсо-

|an|

лютная сходимость ряда (A).

Если же q > 1, то найдётся ε > 0 такое, что q = 1 + 2ε, т.е.

q − ε = 1 + ε. Из (3.18) следует, что |an+1| > q − ε = 1 + ε > 1. По

|an|

Доказательство. Пусть (3.19) выполняется для всех номеров. Тогда |a1| ≤ q, |a2| ≤ q2, . . . , |an| ≤ qn, . . . Отсюда, из признаков

55

ный ряд расходится.

3.1.9. Радикальный признак Коши в предельной форме

p

Теорема 3.13. Если существует lim n |an| = q, то при q < 1 ряд

n→∞

(A) сходится абсолютно, при q > 1 этот ряд расходится. (При q = 1

ряд может как сходиться, так и расходиться. Нужны дополнительные исследования.)

Доказательство теоремы 3.13 сводится к теореме 3.12 аналогич-

признаку Коши в предельной форме данный ряд сходится абсолютно.

3.1.10. Интегральный признак Коши

В некоторых случаях исследование ряда на абсолютную сходимость можно свести к исследованию несобственного интеграла. Основанием для этого является следующая теорема.

Теорема 3.14. Пусть неотрицательная на луче [1, ∞) функция f (x) монотонно убывает при x → +∞ и такова, что при целых n = 1, 2, . . . имеет место

56

∞

R

I = f (x)dx, ряд (|A|) расходится, если расходится указанный ин-

1

теграл.

Доказательство. Пусть x любое из сегмента [n − 1, n], т.е. n − 1 ≤ x ≤ n. Очевидно, f (n) ≤ f (x) ≤ f (n − 1), так как f (x)

монотонно убывает, или в силу (3.20)

монотонной ограниченной последовательности следует, что последо-

∞

вательность {Sn} и интеграл I = f (x)dx сходятся или расходятся

Решение. Согласно интегральному признаку Коши, исследование этого ряда на сходимость можно заменить исследованием ин-

тому сходится и данный ряд.

Заметим, что при исследовании рядов на сходимость иногда полезно сочетать признаки сравнения с признаками Даламбера и Коши.

57

n=2 n=2

одновременно. Применяя интегральный признак Коши к исследова-

3.1.11. Признаки Лейбница и Дирихле

Пусть дан ряд с вещественными членами, знаки которых чередуются. Такой ряд можно записать в виде

∞

X

a1 − a2 + a3 − a4 + · · · + (−1)m+1am + · · · = (−1)n+1an. (3.23)

n=1

Здесь величины an вещественны и an > 0.

Теорема 3.15 (признак Лейбница). Если члены знакочередующе-

гося ряда (3.23) монотонно убывают по абсолютной величине, т.е.

и стремятся к нулю, т.е. lim an = 0, то ряд (3.23) сходится, его

n→∞

остаток по модулю не превышает первого члена остатка, а по знаку совпадает со знаком этого члена.

Доказательство. Частичные суммы S2m чётного порядка ряда

(3.23) можно записать в виде

S2m = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2m−1 − a2m).

В силу (3.24) все скобки здесь положительны. Поэтому при любом m величина S2m > 0 и последовательность {S2m} монотонно возрас-

тает. С другой стороны,

S2m = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) − · · · − (a2m−2 − a2m−1) − a2m.

58

Отсюда следует, что S2m < a1. Мы получили 0 < S2m < a1. Таким образом, последовательность {S2m} монотонно возрастает и огра-

ничена сверху. По теореме Вейерштрасса она имеет предел. Обо-

Сходимость ряда (3.23) доказана, оценим его остаток. Пусть α2m =

= a2m+1 − a2m+2 + a2m+3 − a2m+4 + · · · = (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3−

−a2m+4) + · · ·. Отсюда следует, что α2m > 0. Но, с другой стороны, α2m = a2m+1 −(a2m+2 −a2m+3)−· · ·, т.е. α2m < a2m+1, следовательно,

Для остатка α2m−1 находим α2m−1 = −a2m + a2m+1 − a2m+2+

+a2m+3 − · · · = (−a2m + a2m+1) + (−a2m+2 + a2m+3) − · · ·. Каждая из

скобок здесь отрицательна, поэтому α2m−1 < 0. С другой стороны,

α2m−1 = −a2m + (a2m+1 − a2m+2) + (a2m+3 − a2m+3) + · · ·. Следова-

тельно, α2m−1 > −a2m, т.е.

Из неравенств (3.25) и (3.26) следует справедливость второй части теоремы. Теорема доказана.

Замечание 4. Расстановка скобок в рядах α2m и α2m−1 правомер-

на, так как каждый из рядов сходится, а сходящийся ряд обладает сочетательным свойством.

Замечание 5. Из (3.25) и (3.26) следует, что при замене суммы

знакочередующегося ряда его частичной суммой погрешность по модулю не превышает первого отброшенного члена, а по знаку совпадает с ним.

Пример 3.13. Исследовать на сходимость ряд

∞

X(−1)n+1 n1 = 1 − 12 + 13 − 14 + · · ·.

n=1

Решение. Поскольку знаки членов ряда чередуются, а их модули, монотонно убывая, стремятся к нулю, то данный ряд сходится. Так

59

Приведём без доказательства достаточный признак сходимости

Теорема 3.16 (признак Дирихле). Если последовательность ча-

n=1

где числа an образуют монотонную сходящуюся к нулю последова-

тельность.

При исследовании рядов с комплексными членами иногда полезна следующая теорема.

60