Atomnaya_fizika_UP

81

где = 0,1,2,3,...,n −1. Формула 4.3.5 определяет закон квантования модуля механического момента импульса.

Сравнение формул 4.3.4 и 4.3.5 показывает, что L2z max > L2

при любом значении > 0, т.к. L2z max = 2 2 , а L2 = 2 ( +1). Этот результат, непонятный в рамках классической физики, легко объясняется в квантовой механике. Исследование показывает, что проекции момента на две различные оси, например Lx и Ly ,

не могут быть одновременно известны; для них существует соотношение неопределенности для координаты и импульса. Зафиксировав состояние с определенным Lz , мы вносим неопреде-

ленность в Lx и Ly . Средние значения L2x и L2y в таких «раз-

В отличие от двух проекций L, L2 и одна из его проекций Lz могут быть определены одновременно. Более того, в кванто-

вой механике доказывается, что задание Lz и L2 полностью определяет вращательное состояние частицы.

4.4 Магнитный момент электрона в атоме

Оказывается, операторы магнитного и механического моментов отличаются только постоянным множителем ( ge ), их

свойства совершенно аналогичны. Механический и магнитный моменты квантуются по одинаковым правилам. Так же, проекции магнитного момента на любые два различных направления не могут одновременно иметь определенные значения. В стационарном состоянии определенные значения могут иметь квадрат (модуль) магнитного момента и одна из его проекций.

Переходя к квантовой механике, как всегда, следует числовые равенства классической физики заменить операторными равенствами:

где me — масса электрона.

Можно строго решать эти равенства (достаточно сложное занятие), но мы воспользуемся приведенными выше утверждениями,

Модуль орбитального магнитного момента найдем так же:

Следует отметить, что в эксперименте определяется только проекция магнитного момента электрона на какую-либо ось, задаваемую внешним магнитным полем.

4.5 Спин электрона

В 1921 г. Штерн и Герлах провели серию экспериментов по измерению магнитных моментов атомов. Идея опыта заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле:

где μa — магнитный момент атома.

Неоднородность магнитного поля была так велика, что ощущалась на расстоянии, равном размеру атома. Источник атомов — серебряный шарик K (см. рис. 4.4, а), атомы серебра летели со скоростью ≈100 мс (тепловая скорость). А — фотопластинка

83

A

Рис. 4.4 — Схема опыта Штерна и Герлаха:

а— схематическое изображение вакуумной камеры; б — конструкция полюсов электромагнита; в — фотография осадков атомов серебра на фотопластинке (экране) А

(экран), B1 и B2 — диафрагмы (щели), размеры которых: у B1

S1 = 3 10−3 мм2 ; у B2 S2 = 0,8 0,03 мм2 .

Чего следовало ожидать? С классической точки зрения, т.к. магнитные моменты атома ориентированы хаотично, равновероятно по всем направлениям, включение магнитного поля должно было приводить к расширению пятна на фотопластинке. С квантовых позиций — магнитный момент имеет 2 +1 проекций, поэтому на экране должно быть нечётное число полос.

В эксперименте с атомами серебра были обнаружены две резкие полосы, находящиеся на равном расстоянии от центра. Это говорит о том, что атомы серебра имеют лишь две проекции магнитного момента.

По величине отклонения была вычислена величина проекции магнитного момента, она оказалась равной магнетону Бора

(см. 4.4.3).

Опыты Штерна и Герлаха подтвердили факт квантования магнитного и, следовательно, механического моментов и что естественной единицей измерения магнитного момента является магнетон Бора.

Но оставались еще два вопроса: почему четное число полос? Магнитный момент чего измерялся? Дело в том, что уже тогда было известно, что магнитный момент элементов, образующих первую группу таблицы Менделеева, т.е. имеющих один валентный электрон, равен магнитному моменту этого электрона. И

84

этот электрон имеет орбитальное квантовое число = 0 . Но тогда: L = ( +1) = 0, μ = ge L = 0 (!). Что же измерялось?

В 1925 г. Студенты Лейденского университета Д. Уленбек и С. Гаудсмит предположили существование у электронов собственных механического и магнитного моментов, обусловленных вращением электрона вокруг «собственной оси». Собственный механический момент назвали спином. Идея о вращении электрона оказалась ошибочной, чтобы собственный магнитный момент электрона был равен μБ , линейная скорость «поверхности»

электрона должна быть равна ≈ 300 С, где С — скорость света в вакууме, что в принципе невозможно. Как показал впоследствии П. Дирак, существование спина и собственного магнитного момента вытекает из решения релятивистского уравнения Дирака (релятивистский вариант уравнения Шрёдингера, см. 3.4). Спин является квантово-релятивистским эффектом, не имеющим классического истолкования. Расчеты Дирака совпали с экспериментом с точностью 0,1 %.

Введение понятия спина сразу объяснило ряд затруднений, имеющихся к тому времени в атомной физике: опыт Штерна и Герлаха, тонкую структуру, аномальный эффект Зеемана.

Перейдем к количественным соотношениям.

Из общих законов квантовой механики следует, что выражение для модуля собственного момента импульса, т.е. спина, будет

Проекция спина на ось z, задаваемая B — внешним магнитным по-

85

Поскольку в эксперименте измеряются только проекции магнитных моментов, то очень часто именно ms называют спи-

новым квантовым числом, хотя строго S = 1 . 2

Спиновое гиромагнитное отношение не равно гиромагнитному отношению для орбитальных моментов. Из опыта Штерна

4.6 Принцип тождественности одинаковых частиц. Принцип запрета (Паули)

Вклассической механике частицы одинаковой природы (электроны, например) можно различать. Пронумеровав, можно следить за их движением по траектории и в любой момент времени указать местонахождение каждой из этих частиц.

Вквантовой механике, в силу принципа неопределенности, понятие траектории утрачивает смысл. Следить за каждой из одинаковых частиц и тем самым различать их невозможно. Частицы одинаковой природы оказываются неразличимыми. Пове-

дение частицы описывается волновой функцией, ψ 2 определяет

лишь вероятность обнаружить частицу в данной области пространства (см. рис. 4.2). Там, где ψ-функции перекрываются

(частицы расположены близко), нет смысла говорить, какая из частиц где находится. Можно говорить лишь о вероятности нахождения в этой области одной из частиц.

86

Это утверждение и носит название принципа неразличи-

мости или принципа тождественности одинаковых частиц.

Этот принцип в квантовой механике является новым, логически не вытекающим из других положений. Справедливость этого принципа подтверждается всей совокупностью фактов.

Принцип неразличимости одинаковых частиц приводит к глубоким физическим следствиям. Пусть ξ1 и ξ2 — совокупность

параметров, характеризующих 1 и 2 частицы; ψ(ξ1,ξ2 ) — вол-

новая функция системы. Поскольку частицы неразличимы, перестановка ξ1 и ξ2 не должна приводить к изменению вероятности

обнаружения частицы:

ψ(ξ1,ξ2 ) 2 = ψ(ξ2 ,ξ1 ) 2 .

При этом возможны два случая:

ψ(ξ1,ξ2 ) 2 = ψ(ξ2 ,ξ1 ) 2 — симметричная волноваяфункция;

ψ(ξ1,ξ2 ) 2 = − ψ(ξ2 ,ξ1 ) 2 — несимметричная волновая функ-

ция.

В 1940 г. В. Паули показал, что симметричная волновая функция описывает поведение частиц с целым спином (S = 0,1,2,…) — эти частицы называются бозонами, поведение их подчиняется статистике Бозе—Эйнштейна. Несимметричная волновая функция описывает поведение частиц с полуцелым спи-

ном — ( S = 1 , 3 ,...) — эти частицы называются фермионами, они

2 2

подчиняются статистике Ферми—Дирака.

Оказалось, что фермионы подчиняются принципу запрета (принципу Паули): в одном и том же состоянии не может быть двух одинаковых фермионов.

В самом деле, пусть в одном состоянии находятся два фермиона. В силу тождественности их перестановка не может изменить волновую функцию. Но так как поведение фермионов описывается несимметричной волновой функцией, она должна изменить знак. Единственная возможность изменить знак, оставшись

равной самой себе, быть нулем. Но если ψ = 0, то и ψ 2 = 0, т.е.

87

частиц там нет, что противоречит условию. Следовательно, такое состояние невозможно.

Впервые принцип запрета был сформулирован Паули в 1925 г.

Он звучал так: в атоме не может быть двух электронов, обла-

дающих одинаковыми значениями всех четырех квантовых чисел.

Все частицы, из которых состоит вещество (электроны, протоны, нейтроны), — фермионы. Как остроумно заметил М.И. Каганов, «природа напоминает гостиницу, в которой только одноместные номера».

Открытие принципа запрета позволило понять, как располагаются электроны в атомах; позволило понять расположение элементов в таблице Менделеева, повторяемость свойств элементов

ит.п.

4.7Распределение электронов по энергетическим уровням атома

Итак, состояние электрона в атоме определяется четырьмя квантовыми числами:

n =1,2,3,4,... — главное квантовое число, оно определяет энергию электрона в атоме;

S P d f

= 0,1,2,3,...,(n −1) — орбитальное квантовое число, оно

определяет модуль орбитального момента импульса; чтобы отличать от n каждому значению присвоена одна из букв латинского алфавита (S, P, d, f,…);

m = 0,±1,±2,... ± — магнитное квантовое число, опреде-

ляющее проекцию орбитального момента импульса;

ms = ± 1 — спиновое магнитное квантовое число, оно опре- 2

деляет проекцию собственного момента импульса.

Совокупность электронов, имеющих одинаковое значение n — главного квантового числа — образуют слой. Слой подразделяется на оболочки, отличающиеся значением (S-оболочка, P- оболочка и т.д.). Указание n и выглядит так: 1S-состояние, 2S- состояние, 3P-состояние и т.п.

88

Сучетом принципа Паули возможные состояния электрона

ватоме показаны в таблице 4.1.

Таблица 4.1 — Возможные состояния электрона в атоме водорода для первых трех значений n

Из таблицы видно, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии (значение n), находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными. Число состояний с одинаковой энергией называется крат-

ностью вырождения.

89

Без учета спина кратность вырождения n2 . С учетом спина

(фактическая кратность вырождения) равна 2n2 — максимальное число электронов, которое может быть в слое с данным n .

Записывается это так:

1S 2 — максимальное число электронов в слое 2,

2S 2 , 2P6 — максимальное число электронов в слое 8,

3S 2 , 3P6 , 3d10 — максимальное число электронов в слое 18, 4S 2 , 4P6 , 4d10 , 4 f 14 — максимальное число электронов в

слое 32 и т.д.

4.7.1 Периодическая система элементов Менделеева

Д.И. Менделеев составил свою таблицу, ориентируясь на атомные веса элементов. Он гениально предугадал периодическую повторяемость химических свойств элементов, но не мог объяснить, почему свойства периодически повторяются. Принцип запрета Паули ответил на этот вопрос.

Начнем с атома водорода. В атоме водорода имеется один электрон в основном состоянии с произвольной ориентацией спина. Если заряд ядра увеличить на единицу и добавить один электрон, получим атом гелия (He). Оба электрона могут находиться в К-слое (n = 1), но обязательно с антипараллельной ориентацией

спинов.

На атоме He заканчивается заполнение S-оболочки и К-слоя. Третий электрон атома Li может занять лишь S-оболочку во втором слое — 2S-состояние. Распределение электронов в атоме ли-

тия в невозбужденном состоянии можно записать: 1S 2 2S1. Третий электрон занимает более высокий энергетический

уровень, чем остальные два электрона, слабее связан с ядром. Именно этот электрон определяет химические и оптические свойства атома лития, т.е. является валентным электроном.

У четвертого элемента Be полностью заполняется S-обо-

лочка: 1S 2 , 2S 2 . Затем идет заполнение P-оболочки и, когда она насыщается, заканчивается заполнение L-слоя. Это как раз при-

ходится на неон (Ne) — инертный газ: 1S 2 , 2S 2 , 2P6 . И у He, и у

90

Ne полностью заполнены S- и P-оболочки, и оба они — инертные газы.

У натрия (Na) одиннадцать электронов. Поскольку K- и L- слои полностью заполнены, начинается заполнение M-слоя

(n = 3), естественно, с S-оболочки: 1S 2 , 2S 2 , 2P6 , 3S1. Валентный электрон Na находится в том же S-состоянии, что и валентный электрон K, поэтому свойства K и Na очень близки. Итак, периодичность химических и оптических свойств элементов объясняется периодичностью заполнения валентных (последних) оболочек атомов.

Химические реакции эквивалентны обмену электронами между атомами. Атомы обмениваются только наиболее удаленными от ядра, слабосвязанными с ним электронами — валентными. Атомы, имеющие мало валентных электронов (1,2,3), легче их отдают, и свойства таких атомов похожи (щелочные металлы). Атомы, имеющие по 5,6,7 валентных электронов, легче принимают чужие электроны, и свойства их тоже похожи (галогены).

Есть и исключения. В лантанидах происходит заполнение

внутренней 4f-оболочки, а внешняя 6S 2 -оболочка остается неизменной, поэтому химические свойства всех четырнадцати редкоземельныхэлементоводинаковы, ихтрудноотделитьодинотдругого.

Подобно лантанидам ведут себя актиниды: тоже четырнадцать элементов, большинство из которых получены искусственно. В них происходит заполнение внутренней 5f-оболочки при неиз-

менной 7S 2 -оболочке. Отступление от строго последовательного заполнения слоев связано с тем, что для многоэлектронных атомов иногда энергетически выгодно начать заполнение выше лежащего слоя при незаполненном нижележащем слое. Квантовомеханические расчеты подтверждают, что энергия атомов именно при таком расположении электронов оказывается меньше, чем если бы сначала полностьюзаполнялась вэтих случаях f-оболочка.

4.8 Полные механический и магнитный моменты электрона

Электрон в атоме обладает орбитальным и собственным моментами. Следовательно, полный механический момент дол-