Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Atomnaya_fizika_UP

.pdf

Скачиваний:

103

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

EK =

(1)

т.е. что между EK

и Р зависимость нелинейная, поэтому нельзя

= P2

. Найдем полный дифференциал от обеих частей вы-

2P dP

ражения для EK : dEK

Теперь: η =

P P 2m

mP2

Откуда P =

. Окончательно EK

d η

d 2η2 2m d 2η2m

Произведем расчет:

2 (1,05 10−34 )2

−11

E =

=1,32 10−11Дж=

1,32 10

≈83 МэВ.

(2 10−15 )2 (0,5)2 1,67 10−27

1,6 10−13

Напомним, что 1 ф = 1 фм (фемтометр) = 1 10−15 м.

3.10.5 Пользуясь соотношением неопределенностей оценить минимальную энергию частицы массы m, локализованной в потенциальной яме шириной L.

Решение. Здесь следует использовать то, что Emin = E , т.е

E =1 — минимальная энергия не может быть меньше неопре-

Emin

деленности энергии. Поскольку

P =

E =

, получим:

P P 2m

= P 2 ; 1 =

2 P

;

Emin

mP2

Pmin

= 2 P =

; E

min

mL2

3.10.6 Частица в потенциальной яме шириной

находится в

низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность на-

хождения частицы в интервале 1 , равноудаленном от стенок

ямы.

Решение. Прежде всего — низшее возбужденное состояние, это состояние с n = 2 (см. зад. 2.5.5). Вероятность нахождения

частицы

по ширине ямы в состоянии с n = 2

будет изобра-

жаться следующей кривой (см.рис.). Найдем координаты

1 и

2 ,

ограничивающие искомый интервал:

−

n = 2

1 =

= 0,375

;

2 =

= 0,625 .

ψ -функция,

описывающая поведение час-

тицы в потенциальной яме,

ψ =

n π

Вероятность об-

sin

x .

nπ

наружить частицу в интервале dx: d

sin2

x dx ; окон-

2 2

nπ

чательно:

∫

sin2

x dx.

Из математики известно,

что

∫sin2 (ax)dx =

x −

sin(2a x)

— воспользуемся этой формулой.

2 1

0,625

2 nπ

0,625

−

sin

4 nπ

0,375

(0,625

) −

4π

− 0,375

sin

− sin

8π

−

(1− (−1)) =

−

= 0,091.

8 8π

8 4π

4 2

Итак суммарная вероятность обнаружить частицу в искомом интервале равна 0,091 = 9,1 %.

3.10.7Электрон находится в одномерной потенциальной яме

=0,45 нм в возбужденном состоянии. На ширине ямы в данном

						состоянии укладывается 3 полуволны де
ψ	2					Бройля. Найти энергию частицы в дан-
ψ	2					Бройля. Найти энергию частицы в дан-
				n = 3		ном состоянии (в эВ).
				n = 3		ном состоянии (в эВ).
				n = 2		Решение. Число полуволн де Брой-
				n =1		ля равно номеру соответствующего энер-
						гетического состояния (см.рис.). Следо-
0						вательно, в нашем случае n = 3. Теперь
0						вательно, в нашем случае n = 3. Теперь
						можно использовать формулу (3.6.7):
			π2 2n2			π2 (1,05 10−34 )2 32
		E =		=			=
		E =	2m 2	=	2 9,1 10−31 (0,45 10−9 )2 1,6 10−19		=
		=16,6 эВ.

3.10.8 Частица находится в потенциальной яме шириной в 4-м возбужденном состоянии. Указать минимальную и макси-

мальную координаты в интервале 0 < x < 2 , где вероятность об-

наружить частицу максимальна. Ответ дать в долях . Решение. 4-е возбужденное состояние соответствует n = 5.

На рис. показано распределение вероятности по ширине ямы в

ψ 2 n = 5

0 x1 x2

соответствует x1 = 0,1 ;

данном случае. Поскольку x < 2 , но не x ≤ 2 , то max вероятности, соответствующей границе указанного интервала

2 , не подходит.

Поэтому min значение координаты x1, а max — x2 (см. рисунок):

x2 = 0,3

Следует обратить внимание на полезность рисунков, в некоторых случаях они позволяют решить задачу, не прибегая к громоздким вычислениям.

, тогда стационар-

4 АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

4.1 Энергия и координата электрона в атоме

Во второй главе мы рассмотрели элементарную теорию атома водорода — теорию Бора, базирующуюся на комбинации классических и квантовых законов и не учитывающую волновых свойств микрочастиц. Здесь мы рассмотрим атом водорода с позиции квантовой теории — теории, многократно проверенной экспериментально и способной рассчитывать параметры многоэлектронных атомов.

Решая задачу об электроне в бесконечно глубокой потенциальной яме, мы доказали только, что энергия и положение частицы в яме квантуются, т.е. могут принимать лишь дискретные значения. Решая уравнение Шрёдингера для условий атома (для реальных условий), можно получить выражения для энергии, координаты, момента импульса и других динамических переменных без привлечения каких-либо постулатов.

Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия электрона U = − ze e

4πεor

ное уравнение Шрёдингера в декартовых координатах:

2ψ +	2m		ze2
		E +		ψ = 0 ,	(4.1.1)

	2		4πεor

т.е. мы воздействовали на ψ-функцию оператором полной энергии.

Несмотря на кажущуюся простоту, уравнение 4.1.1 в таком виде не решается. Учитывая сферическую симметрию кулоновского поля, перейдем к сферической системе координат ( r , θ, ϕ):

∂

∂ψ

∂

∂ψ

∂2ψ

sin θ

∂ϕ

r2 sin θ

r2 sin2 θ

∂r

∂θ

(4.1.2)

ze2

E +

ψ = 0.

4πεo r

Уравнение 4.1.2 имеет решение при всех значениях E > 0, что соответствует свободному электрону. При E < 0 получено:

= − mz2e4

E , где n = 1,2,3,... (4.1.3)

n	32π2εo2 2n2

Результат такой же, как в теории Бора, но здесь результат получен без привлечения дополнительных постулатов.

Видим, что энергия электрона квантуется, если электрон находится внутри атома. При E > 0 энергия может принимать любые значения: электрон не принадлежит атому, он свободен. Итак, для водорода и водородоподобных атомов, как и в теории Бора:

= −13,6

(эВ).

Электрон в атоме тоже

в «яме», но стенки ямы не

r вертикальны и

не

беско-

n = 3

нечно высокие (см. рис.

4.1). Чем

больше

тем

n = 2

U (r ) = −

сильнее уровни сгущаются

4πεor

и при n → ∞

= 0

—

n =1

электрон

сво-

становится

Рис. 4.1

бодным. E1 (при n =1) —

основное, стационарное со-

стояние электрона;

все ос-

тальные состояния в атоме водорода являются возбуждёнными: E2 — первое возбуждённое состояние, E3 — второе возбуждён-

ное состояние и т.д.

Поскольку энергия E — главная характеристика частицы

(электрона), то и n называют главным квантовым числом (в

теории Бора n — номер орбиты).

Рассмотрим распределение электронной плотности (плотность вероятности нахождения электрона) при n =1, т.е. в стационарном состоянии. Общее решение сложно, нужно применять рекуррентную формулу. При некоторых упрощениях получим

ψ1 (r ) = e−K1r , где K1 = − z me2 . Вероятность того, что электрон

4πεo 2

находится в объеме dV , dP = ψ1 (r ) 2 dV . В качестве объема сле-

дует взять сферический слой толщиной

dr на расстоянии

r от

ядра

(r )

2 = r2e−2K1r .

dP = 4πr2dr

; dP ~ r2

Результат

расчета

гра-

~ r 2

фически представлен на рис.

4.2. Максимальное

значение

ψ1 (r )

−2K1r

ψ1

(r )

при

z =1

дает зна-

чение r

= 53 10−12 м = 0,53 A .

r Это

совпадает

расчетами

Бора.

Но

принципиальным

Рис. 4.2

отличием

является

то,

что

электрон может находиться как ближе к ядру, так и дальше от него, чем на расстоянии r1. У Бора r1 — точное и единственное значение. Здесь же r1 — наиболее вероятное расстояние от ядра, но

допускается возможность быть ближе или дальше. Область допустимых значений координат — электронное облако с максимальной плотностью на расстоянии r1.

4.2 Классические представления об орбитальных магнитном и механическом моментах электрона

J			Вращающийся по круговой	орбите
	r		электрон, как и любая частица, имеющая
		L

			массу, обладает механическим моментом
μ		υ	импульса L (см. рис. 4.3).
		υ	L = mυ r ,	(4.2.1)
			L = mυ r ,	(4.2.1)
	Рис. 4.3		где υ — скорость электрона, r — радиус
	Рис. 4.3		орбиты. Электрон — заряженная частица,

поэтому движение его по орбите — это круговой ток. Контур с током обладает магнитным моментом (μ).

Т.к. заряд электрона отрицательный, то L и μ направлены в про-

тивоположные стороны (см. рис. 4.3). Магнитный момент кругового тока

μ = J S = J π r2.

Если частота вращения электрона ν, то

J = e ν, где e — заряд

электрона. Частота ν =

, тогда

2πr

eυ r

μ = eν πr2 =

eυ

πr2 =

(4.2.2)

2πr

Гиромагнитное отношение (для орбитальных моментов)

= μ =

eυr

(4.2.3)

L 2

mυ r

Учитывая направление векторов L и μ, можно записать:

μ = −ge

или μ = −

(4.2.4)

4.3 Момент импульса электрона в атоме

Механический момент импульса (или просто — момент импульса L) является одной из важнейших характеристик движения. Единственный электрон атома водорода и водородоподобных атомов движется в кулоновском центрально-симметричном поле ядра. В сложных атомах электрическое поле не является строго центральным, но сохраняется сферическая симметрия, и можно в первом приближении считать поле центральным. Таким образом, закон сохранения момента импульса играет в микромире не меньшую роль, чем в макромире, т.е. в классической физике.

4.3.1 Проекция момента импульса

Найдем собственные (возможные) значения, которые может принимать Lz — проекция момента импульса на произвольную

ось z . Надо решить уравнение		ˆ		Ψ.
		Lz Ψ = Lz
В центрально-симметричном поле можно воспользоваться
сферическими координатами и для них:				∂Ψ
ˆ	∂		−i
Lz = −i	∂ϕ			∂ϕ	= Lz	Ψ.

Решением этого уравнения является функция:

где коэффициент 1 2π

Ψ =	1	ei	Lz	ϕ,
					(4.3.1)
	2π

введен для нормировки Ψ-функции:

2π

∫Ψ Ψdϕ =1.

Функция (4.3.1) будет однозначной в том случае, если при изменении ϕ на 2π она возвращается к своему прежнему значению,

т.е. если Lz 2π = m 2π, откуда

Lz = m

, где m = 0,±1,±2,...

(4.3.2)

Бор чисто интуитивно пришел к этому значению, а здесь этот вывод получается автоматически из решения уравнения.

Итак, проекция момента импульса на любую ось квантуется; она равна целому числу постоянных Планка ( — естественная единица измерения момента импульса).

Исследуем физический смысл полученного результата. На первый взгляд может показаться, что квантование Lz есть след-

ствие того, что L может иметь лишь определенные углы с осью z . (Именно эта трактовка породила термин «пространственное квантование»). Но ось z может быть направлена как угодно! Поэтому эта точка зрения не имеет смысла. Понимать надо иначе. Формула 4.3.2 показывает, что при измерении проекции Lz мы в результате опыта обязательно получим число, кратное . Однако значение Lz до опыта не обязательно равно целому кратному .

До и после опыта Ψ-функции не обязательно должны совпадать.

А отсюда следует, что L может быть направлен произвольным образом и имеют смысл только модуль вектора L и одна из его проекций ( Lz ), которая и измеряется.

Чтобы лучше уяснить смысл этого утверждения, рассмотрим простой оптический опыт. Пропустим луч света через поляризатор (кристалл, обладающий двойным лучепреломлением, например призму Николя). Выходящий из призмы свет разделяется

на два луча: обыкновенный и необыкновенный, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Сумма интенсивности обоих лучей равна интенсивности падающего света, т.е. число фотонов до призмы и после одинаково. Значит ли это, что все фотоны до призмы имели взаимно перпендикулярную поляризацию? Нет, конечно; они были поляризованы произвольно. Что означает результат опыта, состоящий в том, что после прохождения через поляризатор свет разделяется на два луча, плоскополяризованных во взаимно перпендикулярных направлениях?

Первый и самый важный вывод заключается в том, что

любое поляризационное состояние фотона может быть представлено как суперпозиция двух (и только двух!) независи-

мых состояний (если бы состояний было больше, то после прохождения через призму число вышедших из нее плоскополяризованных лучей тоже было бы больше). Эти два независимых состояния могут быть выбраны по-разному. Чтобы убедиться в этом, достаточно повернуть призму Николя на некоторый угол вокруг оси, совпадающей с направлением луча: плоскости поляризации лучей повернутся на тот же угол. Возьмем любое направление в плоскости, перпендикулярной лучу, и как бы ни было выбрано это направление, фотон будет поляризован либо по этому направлению, либо перпендикулярно к нему. Или, что то же самое: проекция вектора поляризации фотона (вектора E ) на любое перпендикулярное лучу направление всегда либо равна нулю (вектор поляризации перпендикулярен этому направлению), либо единице (вектор поляризации совпадает с этим направлением).

Нопроявляетсяэто только врезультатеопытас поляризатором.

4.3.2 Модуль момента импульса

Прямой подход к решению этой задачи требует решения уравнения:

		L Ψ = L Ψ.
		ˆ2	2
Оператор	ˆ2	имеет громоздкий вид (см. 3.8.4 и 3.8.5), и решение
Оператор	L	имеет громоздкий вид (см. 3.8.4 и 3.8.5), и решение

требует знания специфических функций (полиномов Лежандра). Попробуем найти решение с другой стороны.

В классической механике L2 = L2						+ L2	+ L2 , в квантовой ме-
					x	y	z
		ˆ2	ˆ2	ˆ2		ˆ2	и средние значения:
ханике это соответствует L			= Lx	+ Ly		+ Lz	и средние значения:
L2 = L2	+ L2 + L2 .
x	y	z
В сферически симметричном поле ни одна из осей ничем не
выделяется, поэтому
		L2	= L2		=	L2 .
		x		y		z
Следовательно,		L2 = 3	L2 .				(4.3.3)
			z
Симметричное решение является суперпозицией решений со
всеми возможными проекциями				Lz .	Более того, все проекции

равновероятны и поэтому представлены с одинаковым статиче-


ским весом. Тогда	L2z	равно среднему из всех возможных зна-
чений Lz = 0,± ,±2	,±3	,...± mmax . Максимальное значение про-
екции момента Lz	по модулю не может превышать		L	. Обозна-
екции момента Lz	по модулю не может превышать		L	. Обозна-

чим mmax =

; — целое положительное число.

Выпишем полный набор возможных значений Lz

и m:

,( −1)

,....(− ) ;

m =

−1),...,1,0,−1,... − .

Чаще записывают так: m = 0,±1,±2,...,± .

(4.3.4)

Мы видим, что при всяком данном

проекция момента Lz может

принимать 2 +1 различных значений: одно нулевое,

положи-

тельных и

отрицательных. Среднее значение L2

равно поэтому

+( −1)2 +...+(−

2 12

+ 22 +...+

2 +1

Из математики известно, что числовой ряд

(

12 + 22 +32 +... +(

−1)2 + 2 =

)(

)

( +1)(2

+1)

поэтому L2

= 2

(

+1).

Подставив полученное значение

в 4.3.3, получим

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.20152.74 Mб136abramov_s_a_lekcii_o_slozhnosti_algoritmov.doc
#
11.05.201523.5 Mб115Access 2007.pdf
#
11.05.20157.97 Mб158ALGEBRA.pdf
#
11.05.20154.88 Mб18All.pdf
#
11.05.20154.31 Mб559Anteny_Fidery.pdf
#
11.05.20151.01 Mб103Atomnaya_fizika_UP.pdf
#
11.05.20151.21 Mб85Bat_File_Manual.pdf
#
10.05.20152.3 Mб49bazy_dannyh.doc
#
11.05.201529.98 Кб32Berger_-_Chelovek_V_Obschestve_1_Chast.docx
#
11.05.20151.21 Mб22BK_na_03_2013.rtf
#
11.05.20152.42 Mб1612bogdanova.docx