Atomnaya_fizika_UP

41

2.5.3 Найти энергию ионизации Ei и потенциал ионизации

ϕi ионов He+ и Li++.

Решение. Оба этих иона относятся к водородоподобным атомам, следовательно, можно воспользоваться формулой (2.3.8). В стационарном состоянии единственный электрон будет находиться на самой «нижней» — первой орбите.

Для He+ : Ei =13,6 22 (1−0) = 54,4 эВ.

Для Li++: Ei =13,6 32 1 =122,4 эВ.

В атомной физике под потенциалом ионизации понимают именно энергию ионизации, выраженную в вольтах. Поэтому: ϕi = 54,4 В и 122,4 В соответственно.

2.5.4 Чему равны кинетическая, потенциальная и полная энергии электрона на первой боровской орбите атома водорода?

Решение. В задаче 2.5.1 уже отмечалось, что центростремительная сила равна кулоновской:

ства не что иное как потенциальная энергия электрона ( En ). Если разделить обе части равенства на 2, то получим:

(по модулю) меньше потенциальной. Следует обязательно учесть, что потенциальная энергия — энергия притяжения — отрицательна. Полная энергия E = EK + En = EK −2EK . Полная энергия

электрона в атоме водорода (см. 2.3.8) E = −13,6 12 = −13,6 эВ. 12

Таким образом: EK −2EK = −13,6 эВ, откуда EK = 13,6 эВ. Тогда

En = −2EK = −27,2 эВ.

Примечание. Строгое решение этой задачи требует учета уменьшения энергии фотона на величину энергии отдачи атома. Но это уменьшение примерно в 104 раз меньше неопределенности энергии уровня атома, обусловленного соотношением неопределенностей Гейзенберга (см. ниже раздел 3.3.3), поэтому его (уменьшение) можно не учитывать.

43

3 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Впериод с 1914 по 1924 годы были попытки «улучшить» теорию Бора, чтобы ею можно было пользоваться для описания многоэлектронных атомов. Особенно здесь следует отметить А. Зоммерфельда (1868—1951 гг.), который ввел в науку эллиптические орбиты, орбитальное и магнитное квантовые числа, постоянную тонкой структуры и т.д.

Последовательная, строгая теория атомов была начата и завершена в 1925—1927 годах. Первым был В. Гейзенберг (1901— 1976 гг.): в конце 1925 г. появилась его работа «О квантовомеханическом истолковании кинематических и механических соотношений». Это направление, базирующееся на расчетах вероятностей различных переходов электронов внутри атома, получило название матричной механики. Последовательное изложение матричной механики дано в статье М. Борна, В. Гейзенберга и П. Иордана в 1926 г. Матричная механика весьма абстрактна, требует знания специальных разделов математики и в общем курсе физики не рассматривается.

Вфеврале 1926 г. появилась работа Э.Шрёдингера (1887— 1961 гг.) — это направление получило название волновой механики. В том же 1926 г. Шрёдингер доказал, что обе теории, отличаясь по форме, тождественны по содержанию: расчеты по обеим теориям дают совершенно одинаковые результаты.

Сейчас теорию атомов не делят на матричную и волновую, а называют квантовой механикой. Поскольку теория Шрёдингера проще, под квантовой механикой понимают именно ее.

Построению волновой механики Шрёдингера предшествовали работы Луи де Бройля (1892—1983 гг.).

3.1 Гипотеза де Бройля

В 1924 г. де Бройль выдвинул гипотезу, что корпускулярноволновой дуализм, который присущ свету, распространяется и на вещество. По де Бройлю, с частицей вещества связана волна материи, точно так же, как с квантом света связана световая волна. Уравнение плоской монохроматической волны:

44

Корпускулярные свойства частиц характеризуются полной энергией Е и импульсом Р, волновые — частотой ω и волновым век-

тором K .

Полная энергия понимается в смысле теории относительности: E = Eo + EK , где Eo — энергия покоя частицы. Энергия час-

тицы определяется однозначно из требования, чтобы Е и Р образовывали 4-мерный вектор пространства-времени. Частота опре-

деляется из требования, чтобы фаза волны (ωt − K r ) была реля-

тивистски инвариантной величиной. Из этих условий получаются релятивистски инвариантные соотношения:

тонов, но получены из формул специальной теории относительности.

него воздействия адекватно распространению плоской волны, длина волны которой

Во многих случаях известен не импульс, а энергия частицы: т.к.

Если скорость частицы сравнима со скоростью света, то, используя EK + mC2 = C P2 + m2C2 , можно получить:

3.2 Экспериментальное доказательство гипотезы де Бройля

К. Дэвиссон и Л. Джермер, в 1927 г. работающие в США, наблюдали дифракцию электронов на кристаллах никеля. Целью их работы было получить угловое распределение электронов, отраженных от кристалла никеля (рис. 3.1).

Рис. 3.1

а — упрощенная схема эксперимента; б — зависимость тока коллектора от ускоряющего напряжения (U) при различных углах рассеяния ϕ

Узкий пучок моноэнергетических электронов направлялся на поверхность кристалла, сошлифованного перпендикулярно большой диагонали. Отраженные электроны улавливались так называемым цилиндром Фарадея (ц.Ф, рис. 3.1, а). Интенсивность отраженного пучка оценивалась по величине тока; варьировались скорость падающих электронов и угол ϕ. В зависимо-

сти силы тока от величины ускоряющего напряжения (U) и угла ϕ наблюдались максимумы и минимумы (см. рис. 3.1, б). Например, вычисленная по формуле (3.1.5) для ускоряющего напряжения U = 54 В, длина волны де Бройля

Длина волны, вычисленная по формуле Вульфа—Брэгга для дифракции света на пространственной решетке (при известной величине постоянной кристаллической решетки никеля d):

2d sin θ = mλ,

где θ — угол скольжения, θ = 90 −ϕ, оказалась равной λ =1,65A .

Совпадение оказалось настолько разительным, что эти опыты следует признать блестящим подтверждением гипотезы де Бройля.

Втом же 1927 г. уже в Англии Дж.П. Томсон (1892—1975 гг.) получил дифракционную картину при прохождении пучка электронов через металлическую фольгу. В 1949 г. советские ученые Биберман, Сушкин, В. Фабрикант поставили такой же опыт, но интенсивность пучка была так мала, что электроны проходили через фольгу поодиночке. Однако после достаточно длительной экспозиции (≈ 8 часов) дифракционная картина была точно такой же — было доказано, что волновыми свойствами обладает каждый отдельный электрон.

В30-е годы Штерн и Эстерман наблюдали дифракцию нейтронов, протонов, атомов He и даже молекул водорода H2 .

Итак, корпускулярно-волновым дуализмом обладают не только электромагнитные волны, но и любые частицы материи. Как следует понимать это свойство материи? Корпускулярно-

волновой дуализм следует понимать как потенциальную способность микрочастиц проявлять различные свои свойства в зависимости от условий наблюдения.

Например, электроны, проходя через решетку, металлическую фольгу, проявляют свои волновые свойства; эти же электроны, попадая на экран-детектор, реализуют свои корпускулярные свойства (вспышки-сцинтилляции, засвечивание фотопластинки в одной точке).

Природа (частицы) отвечает на те вопросы, которые перед ней ставят (условия опыта).

48

3.3 Принцип неопределенности Гейзенберга

В классической механике состояние материальной точки (классической частицы) определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.п. Перечисленные величины назы-

ваются динамическими переменными. Информацию о микро-

частицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела. Поэтому результаты измерений поневоле выражают в терминах, разработанных для характеристики макротел, т.е. через значения динамических переменных.

Корпускулярно-волновой дуализм вносит ограничения в возможность применять к микрочастицам понятия динамических переменных в их классическом смысле. Например, волновые свойства частиц накладывают ограничения на точные значения координат и импульса. Гейзенберг (1926 г.) доказал, что произведение неопределенностей этих значений удовлетворяют соотношению:

тицы на соответствующие оси. (Никаких ограничений на, например, x Py или y Pz нет).

Для доказательства Гейзенберг пользовался мысленными экспериментами. Один из них. Чтобы определить положение электрона, нужно осветить его светом, причем с возможно меньшей длиной волны λ. Но чем меньше λ, тем больший импульс у фотонов, которыми освещается электрон. Единственная возможность уменьшить передаваемый электрону импульс — ослабить интенсивность света настолько, чтобы с электроном взаимодействовал один фотон. Тогда переданный электрону импульс будет

равен импульсу самого фотона P = λh . К имеющейся неопреде-

ленности импульса электрона добавится импульс фотона, и неоп-

ленность координаты (положения) электрона, определяемая этим фотоном, окажется равной λ фотона. Тогда

Стоящая в правой части (3.3.1) — меньшая из возможных

2

вариантов ( , , h ). Поэтому соотношение неопределенностей

2

звучит так:

Произведение неопределенностей значений двух сопряжен-

ных переменных не может быть по порядку величины меньше

постоянной Планка.

Сопряженными называются переменные, произведение которых имеет размерность h ( Дж с). Кроме (3.3.1), наиболее важными соотношениями являются:

«x», Δϕx — неопределенность угла поворотаотносительнооси «x».

Для примера рассмотрим еще один вывод соотношения неопределенностей, основанный на явлении дифракции фотонов (электронов), который можно проверить экспериментально.

Пусть на пути пучка микрочастиц (фотонов или электронов) поставлен экран с узкой щелью шириной b (рис. 3.2). Ось «x»

перпендикулярна направлению Po — начальному импульсу частиц.

Из волновой оптики мы знаем, что условием для 1-го дифракционного минимума будет:

50

x

1max

Po

ϕ

Рис. 3.2 — К выводу соотношения неопределенностей при дифракции фотонов (электронов)

В формуле (3.3.3) ϕ — угол, на который отклонились бы час-

тицы, летящие в 1-й минимум. Но частицы летят не туда, а в 1-й максимум, т.е. фактическая неопределенность импульса

(для малых углов tgϕ = sin ϕ). Из (3.3.3) выразим sin ϕ и подставим

3.3.1Следствия, вытекающие из соотношения неопределенностей

1. Состояние, в котором частица находится в полном покое, невозможно: x Px ≥ — при уменьшении x с необходимо-

стью увеличивается импульс частицы, т.е. ее скорость. Существование «нулевых» колебаний, т.е. колебаний атомов вблизи ОК, бы-