27. Основная цель анализа ошибок при решении обратных задач
28. Эффективность решения обратных количественных задач (три теста).
29. Выравнивание методом наименьших квадратов. Пример линейной модели
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ [least-square technique] — математический (математико-статистический) прием, служащий для выравнивания динамических рядов, выявления формыкорреляционной связи между случайными величинами и др. Состоит в том, что функция, описывающая данное явление, аппроксимируется более простой функцией. Причем последняя подбирается с таким расчетом, чтобы среднеквадратичное отклонение (см. Дисперсия) фактических уровней функции в наблюдаемых точках от выровненных было наименьшим.
Напр., по имеющимся данным (xi,yi) (i = 1, 2, ..., n) строится такая кривая y = a + bx, на которой достигается минимум суммы квадратов отклонений
т. е.
минимизируется функция, зависящая от
двух параметров: a —
отрезок на оси ординат и b —
наклон прямой.
Уравнения, дающие необходимые условия минимизации функции S(a,b), называются нормальными уравнениями.
В качестве аппроксимирующих функций применяются не только линейная (выравнивание по прямой линии), но и квадратическая, параболическая, экспоненциальная и др. Пример выравнивания динамического ряда по прямой см. на рис. M.2, где сумма квадратов расстояний (y1 – ȳ1)2 + (y2 – ȳ2)2 .... — наименьшая, и получившаяся прямая наилучшим образом отражает тенденцию динамического ряда наблюдений за некоторым показателем во времени.
30. Корреляционный анализ
Корреляционный анализ— метод обработкистатистическихданных, с помощью которого измеряется теснота связи между двумя или более переменными. Корреляционный анализ тесно связан срегрессионным анализом(также часто встречается термин «корреляционно-регрессионный анализ», который является более общим статистическим понятием), с его помощью определяют необходимость включения тех или иных факторов в уравнение множественной регрессии, а также оценивают полученное уравнение регрессии на соответствие выявленным связям (используякоэффициент детерминации).
Ограничения корреляционного анализа
1.Применение возможно при наличии достаточного количества наблюдений для изучения. На практике считается, что число наблюдений должно быть не менее, чем в 5-6 раз превышать число факторов (также встречается рекомендация использовать пропорцию не менее, чем в 10 раз превышающую количество факторов). В случае, если число наблюдений превышает количество факторов в десятки раз, в действие вступает закон больших чисел, который обеспечивает взаимопогашение случайных колебаний.
2.Необходимо, чтобы совокупность значений всех факторных и результативного признаков подчинялась многомерному нормальному распределению. В случае, если объём совокупности недостаточен для проведения формального тестирования на нормальность распределения, то закон распределения определяется визуально на основекорреляционного поля. Если в расположении точек на этом поле наблюдается линейная тенденция, то можно предположить, что совокупность исходных данных подчиняется нормальному закону распределения.
3.Исходная совокупность значений должна быть качественно однородной.
4.Сам по себе факт корреляционной зависимости не даёт основания утверждать, что одна из переменных предшествует или является причиной изменений, или то, что переменные вообще причинно связаны между собой, а не наблюдается действие третьего фактора.
Область применения. Данный метод обработки статистических данных весьма популярен вэкономикеисоциальных науках(в частности впсихологииисоциологии), хотя сфера применения коэффициентов корреляции обширна:контроль качествапромышленной продукции,металловедение,агрохимия,гидробиология,биометрияи прочие. В различных прикладных отраслях приняты разные границы интервалов для оценки тесноты и значимости связи.
Популярность метода обусловлена двумя моментами: коэффициенты корреляции относительно просты в подсчете, их применение не требует специальной математической подготовки. В сочетании с простотой интерпретации, простота применения коэффициента привела к его широкому распространению в сфере анализа статистических данных.