25. Числа обусловленности.

Числа обусловленности вводят в тех случаях, когда хотят оценить точность решения систем линейных уравнений вида Ax=b.(1) Рассмотрим три способа оценки влияния ошибок в задании исходной задачи на ее решение. Итак, пусть имеем исходную задачу(1) и возмущеннуюгдеr- описывает возмущение и правой части и коэффициентов матрицыA. Это означает что если возмущенная матрица имеет видA+δ*A, то член δ*A*xпросто переносится в правую часть системы, однако это не совсем правильно, так как величинаxнам еще неизвестна, что может привести к достаточно грубым оценкам. Наша задача, оценить δ*x=x-черезr, то есть, как ошибкаrв правой части передается в δ*x. Естественно число обусловленности: ИмеемA*x=b. Вычитанием получим:. Возьмем норму от обеих частей этого равенства: ||δ_X||=||A^-1*r||<=||A^-1||*||r||. Чаще всего удобно использовать относительные ошибки, т.е.

Здесь число определяет естественное число обусловленности. Однако оно слабо используется в линейной алгебре, так как это число зависит от ||x||, которое неизвестно априори.

Стандартное число обусловленности. ИмеемAx=bоткуда получает ||b||=||Ax||<=||A||*||x|| или 1/||x||<=||A||/||b||. Подставим это неравенство ранее полученную относительную ошибку:

Здесь в неравенстве величина ||A^-1||*||A|| определяет стандартное число обусловленности.

Отметим, что оба этих числа обусловленности представляют собой только оценки того, насколько могут быть увеличены погрешности в задании b. Они всегда дают завышенную оценку величины погрешности, в разных случаях по-разному.

26. Обусловленность задач и вычислений.

Трудность понимания природы вычислительных ошибок впервые была осознана для линейных систем, а это та область, где такие трудности возникают часто. Однако заметим, что вычислительные ошибки существуют повсюду и не только в линейных системах. Рассмотрим, что означает иметь задачу и ее ответ. «Данные процесса решения задачи содержат всю информацию, которая определяет задачу. Большая часть данных состоит из численных значений, хотя данные включают в себя также математическую модель со всеми ее формулами и предположениями. Поэтому в задаче Ax=bданные представляют собой не только числа в матрицеAи в вектореb, но также и выбор переменных и уравнений для включения в линейную систему при ее формировании. Все эти данные числа, предположения и формулы воздействуют на решение исходной задачи и в своей совокупности образуют то, что называют термином «данные». Ответом задачи может быть число, множество чисел, функция или их сложная комбинация.

Теория обусловленности представляет собой попытку систематического изучения этого вопроса. Говорят, что задача, модель или вычисление плохо обусловлены, если они чувствительны к ошибкам или к неопределенности в исходных данных. Обусловленность является качественным свойством данной задачи. Прежде всего мы оговорим различие между плохо обусловленной задачей и плохо обусловленными вычислениями. Все плохо обусловленные вычисления являются результатом применения численно неустойчивых алгоритмов. Обусловленность связана с процессом решения задачи или преобразованием исходных данных в ответ. Она может так же весьма существенно зависеть от конкретных задач и данных присущих им. Исходя из изложенного, дадим следующее определение: обусловленность задачи «решить систему Ax=B» представляет собой обусловленность преобразованияA^-1в процессе решения задачи численно в окрестности точки В.