16. Нелинейные косвенные измерения

Для косвенных измерений при нелинейных зависимостях используют метод линеаризации, предполагающий разложение нелинейной функции в ряд Тейлора

где - нелинейная функциональная зависимость измеряемой величиныY от измеренных аргументов ; - первая производная от функцииf по аргументу, вычисленная в точках;- отклонение отдельного результата измеренияj-го аргумента от его среднего арифметического; R - остаточный член.

Функция разложена в ряд Тейлора в точке, знак минус перед членомобъясняется тем, что, а по правилу разложения в ряд Тейлора должно быть.

Метод линеаризации допустим, если приращение функции можно заменить ее полным дифференциаломОстаточным членомпренебрегают,

если . (5)

Отклонения при этом должны быть взяты из возможных значений погрешности и такими, чтобы они максимизировали функцию

Результат измерения при этом может быть определен как

. (6)

С.к.о. результата измерения вычисляют по формуле

. (7)

17. Погрешность прямых равноточных измерений.

Прямые измерения – это такие измерения, когда значение изучаемой величины находят непосредственно из опытных данных. Для нахождения случайной погрешности опыт необходимо провести несколько раз. Результаты таких измерений, сделанных в одних условиях, на одном приборе и имеющих близкие погрешности называют равноточными

Пусть в результате kизмерений величиныx, получен ряд значенийx1,x2,…,xk. Как ранее нами было показано, наиболее близким к истинному значениюx0 измеряемой величиныxявляется среднее арифмитическое значение:. Среднее арифметическое часто называют просто средним значением.

Рассмотрим вычисление абсолютной погрешности i-го измерения : Δxi=x0 –xiсуммируя погрешности, получаем:откуда легко показать, что:. (2)

В (2) второе слагаемое в правой части при большом kможно положить равным нулю, так как всякой положительной погрешности можно поставить в соответствие равную ей отрицательную погрешность тогдаx0=.(3) Когда число измеренийkмало, тогда равенство (3) приближенно.

Иногда вычисляют среднюю арифметическую погрешность: она определяет пределы, в которых лежит более половины измерений. Следовательно, значениеx0 с достаточно большой вероятностью попадает в интервал. Измерения величиныxтем точнее, чем меньше величина. Абсолютная погрешность результатов измерений сама по себе еще не определяет точности измерений. Для более полной картины необходимо оценивать относительную погрешность:δ_X=Δx/.

18. Погрешности прямых неравноточных измерений

При измерениях нередко бывают случаи, когда в одном и том же эксперименте используются различные приборы, меняются условия эксперимента, поэтому различные измерения могут иметь разную точность. Кроме того, при оценке некоторых величин могут проводиться эксперименты с разным количеством экспериментов(серий). Такие измерения уже нельзя обрабатывать, как равноточные, так как информация об искомой величине будет неправильно интерпретирована. Необходимо в этом случае использовать все измерения с учетом их индивидуальной точности. Пусть имеется ряд значений x1,x2,…,xkизмерений, погрешности которых σ1, σ2,…, σk. В этом случае дисперсия наблюдений представима как σ²_i= σ²/giгде σ – неизвестная величина, которую необходимо найтиgi- статический вес, или просто вес измерения. Для данной случайной выборки наиболее вероятное значение измеряемой величины есть:а дисперсия:– взвешенное среднее арифмитическое значение. С учетом этого средняя квадратическая погрешность вычисляется по формулетаким образом в случае неравноточных измерений вместо среднего фрифмитического значения и средней квадратической погрешности одного измерения используются среднее арифмитическое значение и средняя квадратическая погрешность взвешенного среднего значения.