- •7. Интегральное исчисление функций одной переменной (24 часа)
- •1. Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •1.4. Интегрирование методом замены переменной
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Интегралы, берущиеся "по частям"
- •1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •1.9. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Понятие определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •2.2. Основные свойства определенного интеграла
- •2.3. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Теорема Барроу
- •2.4. Формула Ньютона – Лейбница
- •2.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.7. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.8. Несобственные интегралы
- •7. Интегральное исчисление функций одной переменной (18 часов)
- •Основная
- •Дополнительная
a
Положим в этом равенстве x = a , тогда ∫ f (t)dt = F(a) +C . Поскольку a
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
∫ f (t)dt = 0 , то 0 = F(a) +C C = −F(a) . Тогда ∫ f (t)dt = F(x) − F(a) . |
|
|||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
Положим в |
последнем |
равенстве |
x = b , |
получим |
∫ f (t)dt = F(b) − F(а) или, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
заменив обозначение переменной интегрирования на x , ∫ f (x)dx = F(b) − F(a) . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
ЗМЕЧАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
разности |
|
значений |
первообразной |
обычно |
применяют |
||||||
обозначение: F(b)− F(a)= F(x) |
|
b . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
xdx |
|
1 d(x2 +1) |
|
|
a |
1 + x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
= 2 −1. |
|
|
||||||||
Пример: ∫ |
|
= ∫ |
|
|
|
|
||||||
0 |
1 + x2 |
|
0 2 1 + x2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2.5. Замена переменной в определенном интеграле b
Пусть дан интеграл ∫ f (x)dx , где f (x) - непрерывна на [а;b]. Введем новую a
переменную t по формуле x = ϕ(t) . Если:
1)ϕ(α) = a ; ϕ(β) = b ;
2)ϕ(t) и ϕ′(t) - непрерывны на [α; β];
3)f (ϕ(t)) - определена и непрерывна на [α; β];
b |
β |
|
то ∫ f (x)dx = ∫ |
′ |
|
f (ϕ(t))ϕ (t)dt . |
||
a |
α |
|
Доказательство. |
Пусть F(x) - первообразная |
′ |
||||
для f (x) , т.е. F (x) = f (x) . |
||||||
Рассмотрим сложную функцию F(ϕ(t)). Найдем ее производную |
||||||
|
d |
|
′ |
′ |
′ |
|
|
dt F(ϕ(t)) |
|||||
|
= F (ϕ(t)) ϕ (t) = |
f (ϕ(t))ϕ (t) . |
||||
Значит F(ϕ(t))- первообразная для |
′ |
|
||||
f (ϕ(t))ϕ (t) . Тогда |
||||||
β |
|
|
β |
|
|
b |
′ |
|
|
|
|
|
|
∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t)) |
α |
= F(ϕ(β))− F(ϕ(α))= F(b) − F(a) = ∫ f (x)dx . |
||||
α |
|
|
|
|
|
a |
Пример.
3
∫x x +1dx
0
x +1 = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = t 2 −1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
= dx = 2tdt |
|
|
|
= ∫(t2 −1)t2tdt = 2∫(t4 −t2 )dt = |
|||||||||||||||||
x = 0 |
t |
=1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
x = 3 |
t |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
t |
3 |
|
|
2 |
|
31 |
|
7 |
|
11 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
= 2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
− |
|
|
= 7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
5 |
|
3 |
|
|
5 |
|
3 |
|
15 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
ЗАМЕЧАНИЯ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
1). Если f (x) - четная функция, т.е. |
f (−x) = f (x) , то ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
a |
0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Действительно, |
∫ f (x)dx = ∫ f (х)dх+ ∫ f (х)dх. |
Сделаем |
подстановку |
в первом |
|||||||||||||
|
|
|
−a |
|
−a |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= −t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
интеграле |
x |
= −a t = a |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
= 0 |
t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
а |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||
∫ f (х)dх = −∫ f (−t)dt = −∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt = |
|
t = x |
|
|
= ∫ f (x)dx . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
−a |
а |
|
|
а |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
∫ |
f (t)dt = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
−а |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|||
2). Если f (x) - нечетная, т.е. f (−x) = − f (x) , то |
∫ f (x)dx |
= 0 . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
x |
= −t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx =(подстановка |
|
|
|
x |
= −a t = a |
в |
первом |
||||||||||
−a |
−a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 0 |
t = |
0 |
|
|
0 |
|
a |
0 |
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
интеграле) = −∫ f (−t)dt + ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt + ∫ f (t)dt = ∫ f (t)dt = 0 . |
|
|
|
||||||||||
a |
|
0 |
a |
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле |
|
|
|
||||||||||
Пусть u(х) и v(х) - дифференцируемые функции. |
Тогда (u v) |
′ |
′ |
′ |
. |
||||||||
|
= u v +uv |
|
|||||||||||
Интегрируя обе части тождества в пределах от a до b , получим: |
|
|
|
|
|||||||||
b |
′ |
|
b |
b |
|
b |
b |
|
|
|
|
||
|
|
′ |
|
|
|
|
′ |
∫udv , |
|
|
|
|
|
∫(u v) |
dx = ∫u vdx + |
∫uv dx = ∫vdu + |
|
|
|
|
|||||||
a |
|
|
a |
a |
|
a |
a |
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как ∫(uv)′dx = uv +C , то ∫(uv)′dx = (uv) |
|
ba . Получили формулу |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫udv = uv |
|
ba − ∫vdu , |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
которая называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.
Пример.
2π
∫x cos x dx
0
|
u = x |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dv = cos xdx |
|
|
2π |
|
2π |
|
|
= |
= |
xsin x |
− ∫sin x dx = 0 + cos x |
|
= |
|||
du = dx |
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
v = sin x |
|
|
|
0 |
|
|
|
= cos 2π−cos 0 =1 −1 = 0 .
24