sin αx cosβx =

1

(sin(α +β)x + sin(α −β)x);

2

cos αx cosβx =

1

(cos(α +β)x + cos(α −β)x);

2

sin αx sin βx =

1

(cos(α −β)x − cos(α +β)x).

2

− ∫((tg 2 x +1)−1)dx = ∫tg 2 x

dx

− ∫

dx

+ ∫dx =

2

x

2

cos

cos

x

∫tg 2 x d tg x − tg x + x =

tg3 x

− tg x + x +C .

3

ЗАМЕЧАНИЕ

В интегралах вида

∫sin m x cosn x dx

при четных отрицательных

m и n иногда

удобно использовать тригонометрическое тождество sin 2 x + cos2 x =1.

Пример. ∫

dx

= ∫

sin 2 x + cos2 x

dx

=

sin

2

x cos

4

x

sin

2

x cos

4

x

= ∫

1

dx + ∫

1

dx =

∫

1

d tg x + 4∫

1

dx =

4

sin

2

x cos

2

2

sin

2

2x

cos

x

x

cos

x

= ∫(1 + tg2 x)d tg x + 2∫

1

d(2x)= tg x + tg3 x

− 2ctg 2x +C .

sin2

2x

3

На каждом частичном отрезке [xi ; xi+1 ]

разбиения выберем произвольную точку

ξi [xi ; xi+1 ]. В каждой точке ξi

вычислим значение функции

f (ξi ) .

Составим сумму S n

= n∑−1

f (ξi )

xi

, которую будем называть интегральной

суммой функции f

i =0

, соответствующей этому разбиению.

Обозначим через λ =

max

xi

максимальную длину частичных отрезков [xi ; xi+1 ].

0≤i≤n−1

Определение. Пусть

f (х)

непрерывная функция на [а;b]. Если существует предел

последовательности интегральных сумм Sn

при

λ → 0 (и

n → ∞ ),

независящий от

способа разбиения отрезка [а;b]

и от выбора точек ξi , то он называется определенным

интегралом от функции

f (х) на отрезке [а;b]. Функция

f (х) называется при этом

интегрируемой на [а;b].

n−1

b

lim Sn =

lim

Обозначается:

∑ f (ξi )

xi = ∫ f (x)dx ,

λ→0

max

x →0

i=0

a

n→∞

n→∞

i

где a - называется нижним пределом

интегрирования;

а

b -

верхним пределом

интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть

функция

y = f (x)

непрерывна

и

неотрицательна на [а;b]. Произведение

f (ξi )

xi

численно равно площади прямоугольника, имеющего основание [xi ; xi+1 ] и

высоту f (ξi ) .

[xi ; xi+1 ]

Построив на каждом отрезке

такой прямоугольник, получим ступенчатую

n−1

фигуру, площадь которой равна интегральной сумме Sn = ∑ f (ξi )

xi .

λ → 0 , то площадь

i=0

Если

ступенчатой фигуры будет

стремиться

к площади так

называемой криволинейной трапеции, ограниченной кривой

y = f (x) ,

прямыми x = a ,

x = b и осью Ox (рис. 2).