- •7. Интегральное исчисление функций одной переменной (24 часа)
- •1. Неопределённый интеграл
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •1.3. Таблица неопределённых интегралов
- •1.4. Интегрирование методом замены переменной
- •1.5. Интегрирование по частям
- •Интегралы, берущиеся "по частям"
- •1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •1.7. Интегрирование рациональных дробей
- •1.8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •1.9. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •2. Определенный интеграл
- •2.1. Понятие определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •2.2. Основные свойства определенного интеграла
- •2.3. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Теорема Барроу
- •2.4. Формула Ньютона – Лейбница
- •2.5. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •2.7. Геометрические приложения определенного интеграла
- •2.8. Несобственные интегралы
- •7. Интегральное исчисление функций одной переменной (18 часов)
- •Основная
- •Дополнительная
= x x2 + а − ∫ x2 + а dx + a ln x + x2 + а +C .
Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение
2∫ |
x2 + à dx = x |
x2 + à + a ln x + |
x2 + à +C , откуда |
||||||||
∫ |
x |
2 |
+ а dx = 12 |
|
2 |
+ а + a ln x + |
x |
2 |
|
+C . |
|
|
x x |
|
|
+ а |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6. Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробно-рациональная функция или рациональная дробь ― это дробь вида
Pm (x) = B0 xm + B1xm−1 +K+ Bm . Qn (x)
Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней, т.е. дробь сокращена.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. m < n , то дробь называют правильной, в противном случае дробь называют неправильной.
Определение. Правильные рациональные дроби вида:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x −a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
(k |
Z+ ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x − b)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
Mх |
+ N |
|
(дискриминант D = |
|
p2 |
|
− q < 0 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
+ px + q |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
Mx + N |
|
|
|
|
|
|
( |
|
D < 0 и k - целое положительное число). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x2 + px + q)k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называют простейшими дробями 1, 2, 3, 4 типов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдем интегралы от этих дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
∫ |
|
|
A |
|
|
dx = A ln |
|
x −a |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x −a |
|
|
|
|
|
(x − b)−k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
∫ |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
dx = A∫(x − b)−k dx = A |
+ C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x − b) |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Mõ + N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
(2x + p) + (N |
|
− |
Mp |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + px + q |
|
|
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
M |
∫ |
|
|
|
2x + p |
|
|
dx + (N − |
Mp |
)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ px + q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
M |
∫ |
|
d(x2 + px + q) |
|
+ (N − |
|
Mp |
)∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
2 |
|
(x + |
|
p |
|
2 |
+ (q |
− |
p2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
M |
|
x2 + px + q |
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x + |
p |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
ln |
+ (N − |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
2 |
|
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
q |
− |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
q − |
|
p2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей типа 4.
|
|
|
Mх+ N |
|
|
M |
(2x + p) + (N − |
Mp |
) |
|
|||
4. ∫ |
|
|
|
dx = ∫ |
2 |
2 |
dx = |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(x |
2 |
+ px + q) |
m |
|
(x |
2 |
+ px + q) |
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
=M (2x + p)dx 2 ∫ (x2 + px + q)m
Md(x2 + px + q)
=2 ∫(x2 + px + q)m
+ (N − |
Mp |
)∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||
2 |
(x2 + px + q)m |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d(x + |
p |
|
|
|
|
||||||
|
Mp |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
+ (N − |
)∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|||||||||
2 |
|
|
|
(x + |
p |
|
2 |
+ (q |
− |
|
p2 |
|
m |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
) |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
p |
= t |
|
|
M |
|
1 |
|
|
Mp |
|
|
dt |
|
||
= |
|
|
2 |
|
|
= |
|
|
+ (N − |
)∫ |
|
. |
|||||||
q − |
p |
2 |
|
= a |
2 |
2 |
(x2 + px + q)m−1(1 |
− m) |
2 |
(t2 |
+ a2 )m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14243 |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим интеграл Im и получим для него рекуррентную формулу, т.е. формулу позволяющую вычислить интеграл Im , если мы знаем интеграл Im−1 .
dt
Для этого рассмотрим Im−1 = ∫(t2 + a2 )m−1 =
Применим к нему формулу интегрирования по частям:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du = −(m −1) (t2 + a2 )−m |
2t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(t2 + a2 )m−1 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d v = dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
+ 2(m −1)∫ |
|
|
|
|
t2dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2(m −1)∫ |
(t 2 |
+ a2 ) − a2 |
dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
m−1 |
(t |
2 |
|
+ a |
2 |
) |
m |
|
|
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
m−1 |
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
m |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt − а2 ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2(m −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(t |
2 |
|
+ a |
2 |
) |
m−1 |
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
m−1 |
(t |
2 |
+ a |
2 |
) |
m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14424443 |
14243 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, получили: |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im−1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2(m −1)Im−1 − 2(m −1)a2 Im |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t2 |
+ a2 )m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2(m −1) −1 |
Im−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m −1)a2 (t2 |
|
+ a2 )m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m −1)a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. |
∫ |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
2 1 −1 |
I1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(t2 +1)2 |
|
|
2 1 1(t2 +1) |
|
|
2 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ |
1 |
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
+ |
1 |
arctg t +C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(t 2 + |
1) |
2 |
|
(t |
2 +1) |
|
2(t 2 + |
1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. Интегрирование рациональных дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если |
|
Q |
m |
(x) = (x − a)K(x −b)k K(x2 + p x + q ) K (x |
2 + p |
2 |
x + q |
2 |
)m , |
где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x2 + p x + q ) |
и (x2 |
+ p |
2 |
x + q |
2 |
) не имеют вещественных корней, то правильная дробь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x) может быть представлена в виде:
Qm (x)
Pn (x) |
= |
A |
+K+ |
B1 |
+ |
B2 |
+K+ |
Bk |
+K+ |
|
Qm (x) |
x − a |
(x −b) |
(x −b)2 |
(x −b)k |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
+ |
Сx + D |
|
+K+ |
M1x + N1 |
|
|
+K+ |
M m x + Nm |
|
. |
|||||
|
|
|
|
) |
|
)m |
|||||||||
x2 + p x + q |
|
(x2 + p |
2 |
x + q |
2 |
|
(x2 + p |
2 |
x + q |
2 |
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей, которые интегрируются в элементарных функциях.
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Подобное представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей называют разложением ее на простейшие. При этом числа
A, B1, B2 ,...Bk , C,... и.т.д. называют неопределенными коэффициентами.
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Разложение правильной рациональной дроби на простейшие единственно.
Пример. Разложите правильную рациональную дробь |
x2 + 2 |
на простейшие. |
|||||||||||||
(x +1)2 (x − 2) |
|||||||||||||||
Решение. |
Поскольку заданная |
дробь может |
быть |
представлена |
в виде |
суммы |
|||||||||
|
|
x2 + 2 |
|
|
A |
|
|
B |
|
|
B |
|
|
|
|
простейших |
дробей: |
|
|
= |
|
+ |
|
1 |
+ |
|
2 |
|
, то |
нашей |
задачей |
|
|
x − 2 |
x +1 |
(x +1)2 |
|
||||||||||
|
|
(x +1)2 (x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
является подобрать неопределенные коэффициенты |
A, B1, B2 |
так, чтобы это равенство |
|||||||||||||
выполнялось тождественно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножив обе части равенства на наименьший общий знаменатель всех дробей, получим:
x2 + 2 = A(x2 + 2x +1) + B1(x2 − x − 2) + B2 (x − 2) .
Это равенство двух многочленов должно выполняться при всех значениях переменной x , а значит должны быть равны их коэффициенты при одинаковых степенях.
x2 |
|
1 = A + B |
|
|
|
||
x1 |
|
1 |
|
0 = 2 A − B1 + B2 . |
|||
x0 |
2 |
= A − 2B − |
2B |
|
|
1 |
2 |
Из этой системы можно найти неопределенные коэффициенты A, B1, B2 .
Неопределенные коэффициенты A, B1, B2 можно найти и по-другому. Можно подставить любые значения х в правую и левую части равенства и получить систему алгебраических уравнений относительно A, B1, B2 . Ясно, что таких значений х должно
быть выбрано столько, сколько неопределенных коэффициентов входит в разложение дроби. Следует заметить, что самыми удобными для подстановки значениями переменной х являются корни знаменателя заданной рациональной дроби.
х = −1 |
|
3 = −3B |
|
A |
= |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
x = 2 |
|
|
6 = 9A |
B1 = 13 |
|
|
||||||||||||||||
x = 0 |
|
|
2 = A − 2B |
− 2B |
|
B |
|
= −1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 + 2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
= |
|
3 |
|
|
+ |
3 |
|
|
− |
|
|
|
|
. |
||||
(x |
+1)2 (x − |
2) |
x − 2 |
x + |
1 |
|
(x + |
1)2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Теорема 2. Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы рационального выражения (многочлена) и правильной рациональной дроби, то
есть рациональная дробь Pn (x)
Qm (x) Pn (x)
Qm (x)
при n ≥ m представима в виде:
= M (x)+ Tk ((x)), где k < m .
Qm x
Такое представление неправильной рациональной дроби называется выделением целой части.
13
Пусть требуется |
вычислить интеграл |
∫ |
Pm (x) |
dx . Если подынтегральная |
дробь |
||||
Q (x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
неправильная, |
то мы представим её в виде суммы многочлена M (x) |
и правильной |
|||||||
рациональной |
дроби |
|
Tk (x) |
, которая в |
свою очередь представима |
в виде |
суммы |
||
|
|
||||||||
|
|
|
Q (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
простейших дробей.
Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию
многочлена и нескольких простейших дробей. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. ∫ |
x2 +2 |
2 |
∫ |
dx |
|
1 |
∫ |
dx |
−∫ |
dx |
|
||
|
dx = |
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
||||
(x +1)2 (x −2) |
3 |
x −2 |
3 |
x +1 |
(x +1)2 |
=23 ln x − 2 + 13 ln x +1 + x 1+1 +C .
1.8.Интегрирование некоторых иррациональных выражений
1.Если подынтегральное выражение содержит лишь линейную иррациональность
n ax +b (a ≠ 0) , то полезна подстановка t = n ax +b .
Пример. ∫3 xdx |
|
t = 3 x +1 |
= 3∫(t3 |
−1)t2dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
|
x = t3 −1 |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
+ |
1 |
dx |
= 3t2dt |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= 3∫(t 4 −t)dt = 3 |
t |
5 |
|
t |
2 |
|
+ C = 53 |
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
2 |
|
||||
|
−3 |
|
|
(x + |
1) 3 |
|
− |
(x +1) |
3 |
+ C . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
k2 ax +b,K, km ax +b )dx |
|||||||||||
2. В интегралах |
|
вида∫R(x, k1 ax +b, |
|
||||||||||||||||||
подстановку ax +b = t n , где n = НОК(k , k |
2 |
,Kk |
m |
) . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности ∫
надо сделать
dx
ax2 +bx +c с
помощью выделения в квадратном трёхчлене ax2 +bx +c полного квадрата сводится к
одному из двух интегралов ∫ |
dx |
|
2 |
, которые являются табличными. |
||||||||||
|
|
|
|
a ± x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. ∫ |
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
dx |
|
|
= ∫ |
d(x −3) |
= |
||
x |
2 |
−6x +13 |
(x |
−3) |
2 |
+4 |
(x −3) |
2 |
+ |
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
= x −3 = t = ∫ |
dt |
|
= ln t + t2 + 4 + C = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 + 4 |
|
|
|
|
|
= ln x −3 + x2 − 6x +13 + C .
4. Интегралы вида |
∫R(x2n , a2 − x2 )dx , |
∫R(x2n , a2 + x2 )dx ,
∫R(x2n , x2 − a2 )dx ,
где через R(x) обозначена рациональная функция, интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:
14