osnovnye_ponjatija_i_zakony

12 Физика. Основные понятия и законы

численно равная первой производной от скорости или второй производной от смещения по времени:

Знак "минус" означает - ускорение направлено в сторону, противоположную смещению.

Сложение гармонических колебаний одного направления с

одинаковыми амплитудами и частотами (x01 = x02; ω1 = ω2 = ω), но разными начальными фазами (ϕ02 ≠ ϕ01), проводят аналитически.

Уравнение результирующего колебания имеет вид

Биения – возникают при сложение колебаний одного направления, с одинаковыми амплитудами (x02 = x01), начальными фазами ϕ01 = ϕ02 = 0 и круговыми частотами, мало отличающимися друг от друга (ω1 ≈ ω2). Уравнения таких колебаний имеют вид

изменяющееся по гармоническому закону;

Частота и период результирующего колебания:

Частота и период изменения амплитуды в этом случае:

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний приводит к тому, что траектория движения представляет собой замкнутые фигуры, называемые фигурами Лиссажу:

1) сложение колебаний с одинаковыми частотами (ω1 = ω2 = ω), различными амплитудами (x0 ≠ y0) с начальными фазами ϕ1 =

ϕ2 = 0 - результирующее колебание - гармоническое. Траектория

2) сложение колебаний, начальные фазы ϕ1 и ϕ2 которых от-

личаются на π/2 (ϕ1 - ϕ2 = π/2) - результирующее колебание – гармоническое. Траектория движения – эллипс (при равных амплитудах x0 = y0 - траектория результирующего движения – окружность) с по-

3) сложение колебаний, периоды которых относятся как це-

лые числа - через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка возвращается в начальное положение – получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

1.2. Элементы классической динамики материальной точки и твердого тела

Динамика изучает движение и взаимодействия тел совместно с причинами, обусловливающими тот или иной характер движения и взаимодействия.

Основная задача динамики - для данного тела по известной силе найти его ускорение и, наоборот, по известному ускорению найти результирующую силу, действующую на тело.

Масса m - физическая величина, характеризующая количество вещества, инертность, гравитационные свойства и энергию материального тела. Массу тела, определяющую его инертные свойства, на-

зывают инертной массой.

Импульс p (количество движения) - физическая величина, описывающая свойства движущихся тел, равная произведению массы на скорость:

Центр масс (или центр инерции) системы - воображаемая точ-

ка С, положение которой характеризует распределение массы этой системы и определяется радиус-вектором:

где mi и ri - соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки;

n - число материальных точек в системе.

Скорость центра масс

где m0 – масса покоя.

Покой - частный случай равномерного прямолинейного движения со скоростью v = 0.

Инерция - свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Инерциальные системы отсчета – системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона (их уравнения и все следствия).

Неинерциальная система отсчета – система отсчета, движу-

щаяся по отношению к инерциальной системе отсчета с ускорением.

пространства в системах отсчета определяется соотношением

-они абсолютны, т.е. инвариантны:

1)в подвижной –

2) в неподвижной –

Инварианты преобразований - инвариантные величины (рас-

стояния между телами (точками), промежутки времени между событиями, относительные скорости тел, ускорения).

Сила F – векторная физическая величина, характеризующая воздействие одних тел на другие. В результате действия силы изменяется состояние движения тела (тело приобретает ускорение а) или тело деформируется.

Сложение нескольких сил производится геометрически:

Закон независимости действия сил: - при действии на тело не-

скольких сил, каждая из них сообщает телу такое же ускорение, какое она сообщила, если бы действовала одна.

Второй закон Ньютона - изменение импульса пропорционально приложенной силе и направлено вдоль прямой, по которой действует данная сила:

При v<<c - ускорение, с которым движется тело прямо пропорционально приложенной силе и обратно пропорционально массе тела:

Основной закон классической динамики - инвариантен при переходе от одной инерциальной системы к другой, при этом

взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению. Силы действия и противодействия приложены к разным телам и никогда не уравновешивают друг друга:

a – ускорение тела в инерциальной системе отсчета; Fин – сила инерции.

2) силы, действующие на тело, покоящееся во вращающейся

где Fц – центробежная сила инерции;

ω - угловая скорость вращающейся системы отсчета;

r’ – радиус-вектор тела относительно начала вращающейся системы отсчета;

R – перпендикулярная к оси вращения составляющая r’.

3) силы, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета:

где Fк – сила Кориолиса;

v’ – скорость движения тела;

ω - угловая скорость вращающейся системы отсчета.

Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

где F, Fин, Fц, Fк - ранее рассмотренные силы, действующие в неинерциальных системах отсчета.

Основная задача динамики вращательного движения - нахо-

ждение угловых ускорений, сообщаемых известными силами.

Момент силы относительно неподвижной оси вращения -

векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо:

M = F l, (1.49)

где l - плечо силы - кратчайшее расстояние от линии действия силы до центра вращения.

В векторной форме

Главный или результирующий момент сил относительно не-

подвижной оси вращения равен векторной сумме моментов слагаемых сил:

Моменты сил относительно осей, которые перпендикулярны и параллельны оси вращения, равны нулю.

Момент инерции – характеристика инертности тел (материальных точек) при вращательном движении.

Момент инерции материальной точки относительно непод-

вижной оси вращения - физическая величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси или центра вращения:

Момент инерции тела относительно оси z – физическая вели-

чина, равная сумме моментов инерции отдельных материальных то-

где mi - масса i-й точки;

ri - расстояние i-й точки до оси z;

ρ – плотность вещества, из которого состоит тело; V - объем тела.

Теорема Штейнера - момент инерции тела относительно произвольной оси z равен сумме момента инерции того же тела I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями (а):

где m - масса материальной точки; v - скорость материальной точки;

l – плечо (кратчайшее расстояние от направления импульса до оси вращения).

Момент импульса системы относительно неподвижной оси вращения z - проекция на эту ось вектора L (момента импульса системы):

где ri, pi - радиус-вектор и импульс i-й материальной точки; n - общее число точек в системе.

Связь момента импульса тела с вектором угловой скорости ω и моментом инерции:

Основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирующихся) тел, для которых I = const (второй закон

Главные оси инерции – три взаимно перпендикулярных свободных оси вращения тела произвольной формы, проходящие через его центр масс.

Осциллятор – физическая система, совершающая колебания. Система, у которой величины, описывающие ее, периодически меняются с течением времени.

Гармонический осциллятор – механическая система, совер-

шающая колебания около положения устойчивого равновесия, описывающие величины которой изменяются по гармоническому закону (закону синуса или косинуса).

Уравнение движения гармонического осциллятора:

где a = d2x/dt2 = - ω02x - ускорение материальной точки;

F - возвращающая сила, которая стремится вернуть систему в положение равновесия (F = - mω02x = - kx);

x – смещение;

k = mω02 - коэффициент возвращающей силы. Он численно равен возвращающей силе, вызывающей единичное смещение.

Решение уравнения движения гармонического осциллятора:

Примеры гармонических осцилляторов: физический, матема-

тический и пружинный маятники:

а) пружинный маятник - тело массой m, подвешенное на пружине, совершающее гармоническое колебание.

б) физический маятник - твердое тело, совершающее гармоническое колебательное движение относительно оси, не совпадающей с центром масс.