Типовик 2 семестр ч2
.pdf34ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Ре ш е н и е. Здесь m = 2, n = 2 — четные неотрицатель ные числа. Воспользуемся формулами понижения степе ни sinx и cosx за счет удвоения угла:
|
|
6sin2 xcos2 xdx 3 6(sinxcosx)2 dx 3 14 6sin2 2xdx 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 4 |
6 |
12 |
4 2 cos4x2dx 3 8 6dx |
4 8 |
6cos4xdx 3 |
8 x 4 |
|
sin4x 5 C. |
|||||||||||||||
32 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 2 7 8 7 |
||||||||
1234536789 68 397 4584989 434 79 72 8 3 8 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 91234 5 672 8 5 9 999 9 9 9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 29 345 9 |
|
4 29 345 9 |
|
4 29 345 9 |
|
|
||||||||||||||
8 |
|
9%9672 59 9 |
|
9%9234 59 9 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
9 |
91&234 59672 89%9 |
91234 59&672 89%9 |
|
9%9"# 59 9 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
%9&91234 59672 859 |
%9&991234 59672 859 |
91&234 59&672 89%9 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
'9 '9! ( |
|
'9 '9! ( |
|
%991234 59672 859 '9 '9 |
|
|||||||||||||||
|
|
9! |
9 |
|
|
|
9 |
|
! ( 9 |
|
|||||||||||||
|
|
9 |
9 |
|
|
9 |
|
929 |
|
|
|||||||||||||
|
|
2 "# 9 |
29 |
|
29 |
|
9234 9 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9672 9 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
$ |
9234 9 |
|
|
|
9672 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1234 672 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
8 |
8 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 69 43 |
|
|
||||||||
|
|
4 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 !9297 73 8 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
234 |
|
|
+ |
|
+ |
672 |
$ |
5 |
|
|
||
|
|
345 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
||||||||
8 |
|
9%9234 59 |
4 29 345 9 |
|
4 29 345 9 |
|
|
|
|
$ |
|
$ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
9 |
|
||||||||||
|
|
9 9 9 |
9%9672 59 9 |
|
|
9%9"# 59 9 |
|
672 |
|
2 |
4 |
672 |
$ |
5 |
|
||||||||
|
|
9 |
9 9 9 |
|
|
9*9 9 9 9 |
|
$ |
$ |
|
|
||||||||||||
|
|
! ) |
! ) 9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
+ 234$ 5 |
|
|
||||||||||
|
|
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
|
234 672 2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
|
||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 59 9 9 ( 9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
9 |
|
|
|||||||
|
|
|
1234 672 5 1672 672 5 |
1234 234 9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
234 672 |
2 |
+ |
2341 |
4 8 4 |
+ |
2341 3 85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
672 672 |
2 |
+ |
6721 |
4 8 4 |
+ |
6721 3 85 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
234 234 |
2 |
+ |
6721 |
3 8 3 |
+ |
6721 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
$ |
|
|
|
$ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
35 |
Все вышесказанное можно свести в одну таблицу (табл. 5).
Учитывая тип интеграла, выбираем подстановку или формулу, позволяющую вычислить данный интеграл.
Пример 1.39.
1 sin5xcos8xdx.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой случая III из таблицы 5:
6sin5xcos8xdx 3 6112 sin13x 4 12 sin3x2dx 3
3 12 6sin13xdx 4 12 6sin3xdx 3 16 cos3x 4 261 cos13x 5 C.
1.7.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
1. Интегралы вида
|
1 |
1 |
3x 4 5 2 |
n 2 |
|
6 |
7 |
||||
6 |
7 |
||||
R6x,m |
|
8x 4 9 |
7dx, |
||
|
|
где R означает рациональную функцию от двух аргумен тов; m, n — натуральные числа; , , , — постоянные.
Указанный интеграл преобразуется в интеграл от ра циональной функции заменой
4 |
1x 2 3 5n |
или tm 6 |
1x 2 3 |
, |
|
t 6 m 7 |
9x 2 |
8 |
9x 2 |
||
|
|
|
|
откуда |
|
2tm 1 3 |
|
|
|
(42 1 35)mtm11 |
|
||
|
x 6 |
, dx 6 |
|
dt. |
|||||
|
4 1 5tm |
|
|
(4 1 5tm )2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 1.40. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
2 1 x |
|
|
|
|
|
3 |
2 2 xdx. |
|
|||
|
|
(2 1 x)2 |
|
36 |
|
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
2 1 x |
|
||||||
|
Р е ш е н и е. К цели приводит замена t |
|
|
. Про |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 3 x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференцируем замену 3t dt |
1 |
|
|
dx, отсюда |
|
||||||||||||||||||||||||
(2 2 x)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx 1 |
3 (2 2 x)2 t2dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
3 2 4 x |
|
|
|
3 |
61 |
2 3 x |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
t3 |
|
|
3 |
|
33 |
|
|||||||
6 |
(2 |
2 |
2 3 x |
dx 5 |
4 |
2 4 x |
|
|
t dt 5 |
4 |
6 6 dt |
5 |
4 |
6t |
|
|
dt 5 |
||||||||||||
|
4 x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 3 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 3 |
8 t32 |
4 C 5 3 8 3 12 4 x |
2 |
|
4 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2. Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2R(x,(ax 1 b) |
m1 |
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
mr |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
n1 |
,(ax 1 b) |
n2 |
,...,(ax 1 b) |
nr |
)dx, |
|
|
|
где R — рациональная функция; m1, n1, m2, n2, ..., mr, nr — целые числа.
Указанный интеграл преобразуется в интеграл от ра циональной функции с помощью подстановки ax + b = ts, где s — наименьшее общее кратное чисел n1, n2, ..., nr, об
щий знаменатель дробей |
m1 |
, |
m2 |
,..., |
mr |
, отсюда |
|||
|
n |
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
||
|
ts 1 b |
1 |
2 |
|
r |
|
|
||
x 2 |
, dx 2 |
sts11dt |
. |
||||||
a |
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.41.
3 x 1 2 2 x 1 2 2 6 x 1 2 dx. (x 1 2)(12 3 x 1 2)
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция является рациональной относительно (x – 2), (x – 2)1/2, (x – 2)1/3, (x – 2)1/6. Здесь n1 = 1, n2 = 2, n3 = 3, n4 = 6. Наименьшее общее кратное s = 6. Следовательно, нужно сделать под становку x – 2 = t6, dx = 6t5dt, t 1 6 x 2 2:
4 |
x 1 2 2 x 1 2 2 6 x 1 2 |
dx 3 4 |
t6 2 t3 2 t |
6t5dt 3 64 |
t5 2 t2 21 |
dt. |
||||||||||
(x |
1 2)(1 |
2 |
3 |
x 1 2) |
t |
6 |
(1 |
2 t |
2 |
) |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 t |
|
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
|||||||||||
Поделив числитель на знаменатель «уголком», |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2t5 |
1t2 11 |
|
t2 11 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t5 1t3 |
|
|
|
|
t3 2 t 11 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
22t3 |
1t2 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2t3 |
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2t2 |
1t 11 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
11 |
|
|
|
|
|
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
65 |
t5 |
1 t2 1 1 |
dt 2 65t3dt 3 65tdt 1 65dt 1 65 |
|
tdt |
2 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
t |
2 |
1 |
1 |
||||||||||||
|
|
11 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
3 t4 3 3t2 1 6t 1 34ln(t2 1 1) 1 C 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
232 3 (x 3 2)2 3 33 x 3 2 1 66 x 3 2 1 34 ln(3 x 3 2 1 1) 1 C.
3.Интегралы вида
4R1x, ax 2 3bx 3 c 2dx,
где R — рациональная функция.
Подстановка x 1 u 2 2ba , dx = du преобразует интеграл
к одному из следующих трех типов (табл. 6). Подстановками из таблицы 6 эти интегралы соответ
ственно приводятся к интегралам вида 1 R(sint,cost)dt.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 2 7 8 7 |
||||||||
|
|
|
|
123456275882659 24 7 9 2 9 9 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
5 7 |
|
|
|
|
17 |
|
27 |
|
|
|
317 |
|
|
|
|
|
||||||
9 824 9 97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
82 5 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
12 |
491 4 |
3 3 3 2 |
2 |
252 678 2 |
5 9 678 2 |
|
252 6 2 |
|
|
|||||||||||||||
|
491 4 |
|
3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
32 |
|
|
6 |
|
|
2 |
252 2 |
5 9 |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
63 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
491 4 |
|
3 |
|
|
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
678 |
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
2 |
5 9 6 |
|
2 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
6 |
|
63 |
|
|
|
6 |
|
1
38 |
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
||||
|
Пример 1.42. |
2 |
dx |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
(x2 1 4x 1 |
7)3 |
||
|
|
|
Р е ш е н и е. Сделаем замену: x = u – 2, dx = du:
4 |
|
|
dx |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
1 4 |
|
|
|
du |
|
|
|
. |
||||||||||
(x |
2 |
2 4x 2 |
7) |
3 |
|
|
((u 3 |
2) |
2 |
2 4(u 3 2) 2 |
|
3 |
|
|
(u |
2 |
2 |
3) |
3 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Получили интеграл вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 R1u, p2 3 u2 2du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(см. табл. 6, строка 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Произведем замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
u 1 |
|
3tgt; du 1 |
|
|
|
3dt |
; |
u2 2 3 1 3 |
tg2t |
21 1 |
|
|
3 |
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
cos t |
|
1 |
3 |
9costdt |
1 |
3 |
sint 2 C 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
(u |
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3) |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 cost |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
u |
4 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
x |
2 |
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
3 |
sin5 arctg |
|
|
|
6 2 C 1 |
3 |
sin5 arctg |
|
|
|
|
6 |
2 C. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
7 |
|
|
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что к подстановке x 1 u 2 2ba ; dx = du мы при ходим, выделяя полный квадрат под корнем:
x2 + 4x + 7 = (x2 + 2 2 x + 4) + 3 = (x + 2)2 + 3, отсюда
u = x + 2; x = u – 2; dx = du.
Упражнение 1.3.
Для каждой подстановки u из таблицы 6 получите вы ражение для du.
Указание. Учтите, что du = (t)dt, так как u = (t). 4. Интегралы от биномиальных дифференциалов име
ют вид
2xm (a 1 bxn )p dx,
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 2 7 |
8 7 |
|||||||||
|
123456275895285 7358524 87 5865247 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
2 2 95 |
|
|
2 827 |
|
17 72317 |
47 |
|
|
|
|
|
537 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
95274 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
12 |
9232456752 |
|
|
282 92 52 |
|
2 2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
282 92 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
11 232 |
1 2 9 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
31 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
456752 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
1 1 1 9 |
232 |
3 1 2 9 |
2 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
1 31 |
11 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
456752 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1 |
r1 |
|
|
||
где a, b — любые постоянные, не равные нулю; |
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
s1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
||||||
|
m 1 |
, n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
— рациональные числа; |
1 |
, |
|
2 |
, |
|
3 |
|
— несо |
|||||||||||||||||||||
s2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
s |
|
|
s |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
кратимые дроби.
Интеграл
I 1 3xm (a 2 bxn )p dx
выражается через элементарные функции только в трех случаях, сведенных в таблицу 7.
Пример 1.43.
|
|
|
|
|
3 |
|
4 1 x2 |
2 3x |
11 |
(4 1 x |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
)2 dx. |
|
|
|
||||||||||||
|
Р е ш е н и е. Это интеграл от биномиального дифферен |
|||||||||||||||||||||||||||
циала (случай 2 из табл. 7). Здесь m = –1, n = 2, |
p 1 1. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Поскольку m 1 1 |
2 0 — целое число, сделаем замену: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 1 x2 2 t2, x2 2 4 1 t2, dx 2 1 |
dt. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 1 x2 |
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
t2dt |
|
t2dt |
|
|
|
(t2 1 4) 2 4 |
|
|
|||||||||
4 |
|
|
dx 3 14 |
|
|
dt |
3 14 |
|
3 4 |
|
|
|
|
|
3 4 |
|
|
dt 3 |
||||||||||
x |
|
x |
2 |
2 |
t |
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 t |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t 1 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 2 |
|
|
3 4dt 2 44 |
|
|
|
3 t 2 ln |
t 1 2 |
2 C 3 |
4 1 x2 2 ln |
4 1 x |
2 C. |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
t |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
t 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 x |
2 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Пример 1.44. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x2dx |
|
2 4x2 (x2 |
3 9) |
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Р е ш е н и е. Это интеграл от биномиального дифферен |
||||||||||||||||||||||||||||||||
циала (случай 3 из табл. 7). Здесь m = 2, n = 2, p 1 2 |
3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Поскольку |
m 1 1 |
1 p |
2 |
3 |
3 3 2 0 — целое число, сделаем за |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
tx3 |
|
2 |
|
|
|
2 2 |
|
|
||||||
1 2 |
9x |
|
|
3 t |
; |
|
x |
|
|
3 |
|
|
; dx 3 1 |
|
9 dt; x |
|
2 |
9 3 x t , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
t2 11 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
x2dx |
|
1 2 |
1 |
4 |
x2tx3dt |
1 2 |
1 |
4 |
x2 |
dt 1 24 |
|
|
dt |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
(x |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
3 3 |
t |
2 |
t |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
(t 21) |
|
||||||||||
Интеграл 2 |
|
|
|
dt |
|
|
|
вычислим как интеграл от рацио |
||||||||||||||||||||||||
2 |
(t |
2 |
11) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нальной дроби. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби, предварительно разложив на множи тели знаменатель:
t2(t2 – 1) = t2(t – 1)(t + 1).
Имеем |
|
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
D |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
2 |
, |
|||||
|
t2 (t2 3 |
1) |
|
|
t 31 |
t 21 |
||||||
|
|
t t2 |
|
|
приведем правую часть к общему знаменателю и, отбро сив его, получим
1 = At(t – 1)(t + 1) + B(t – 1)(t + 1) + |
|
+ Ct2(t + 1) + Dt2(t – 1). |
(12) |
Полагая в (12) последовательно t = 0, t = –1 и t = 1, получим 1 = –B, 1 = –2D, 1 = 2C, откуда B = –1, C 1 12,
D 1 2 12. Приравнивая в (12) коэффициенты при t3, полу
чаем 0 = A + C + D, подставив в последнее равенство най денные значения C и D, имеем A = 0. Итак, получаем
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
||||||||||||||||||||||
36 |
|
|
dt |
4 31 |
36 |
dt |
5 |
1 |
6 |
|
dt |
|
3 |
1 |
6 |
|
dt |
2 |
4 6 |
dt |
3 |
1 |
6 |
dt |
5 |
1 |
6 |
dt |
4 |
|||||||||||||||
t |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
t 5 |
1 |
2 |
2 |
|
|
t 5 |
1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
(t 31) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t 31 2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
t 31 2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 3 |
1 |
3 |
1 ln|t 31| 5 |
1 ln|t |
5 1| 5 C 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
x2 5 |
9 |
|
5 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 5 9 5 x |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 3 |
|
5 ln |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
5 C 4 3 |
|
|
|
5 ln |
|
|
|
|
5 C. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x2 5 9 |
|
|
x2 |
5 |
9 |
31 |
|
|
x2 |
5 9 |
|
|
|
x2 5 9 3 x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все рассмотренные случаи можно свести в одну табли цу (табл. 8).
Упражнение 1.4.
Для каждой замены из таблицы 7 найдите выражение для dx.
Указание. Продифференцируйте каждую замену (x = ts,
xn 2 ts1 1 a |
, xn 1 |
a |
) и выразите dx (см. пример 1.40). |
b |
|
ts1 2 b |
О других способах вычисления интегралов данного
вида см. в [1, 2].
1 2 3 4 5 6 2 7 8 7
123453678968 397 458498 43 36 8 3 8
8 |
|
397 8 |
|
|
|
|
7 4 73 7 8 73 8 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
1 3 4 5 |
2 |
9 |
2 |
2 22 |
|
|
1 3 4 5 2 |
2 2 |
|
3 4 5 |
1 |
2 |
||||||||
|
6 |
|
7 |
6 |
|
|
7 |
8 4 9 |
||||||||||||||
|
6 1 |
6 |
8 4 9 |
7 |
|
7 1 2 |
|
|
|
|
8 |
4 9 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3452 262 265 24 |
84 2 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8 |
3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 2789 2 24 8 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
38 59 2 129262 |
|
39 58! |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
9 8 9 52 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
3 8 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
3125128129262 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9 52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
2 !22 2#2 2$2 "123452"2629 |
|
|
|||||||||||||
|
4 ! 91 |
1 |
|
|
59 %552 &'552 9 52 5 29 129 12"""129 12 |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
1"""1 |
|
2 |
|
&' (2)9 59 5 24 &5(2 |
1 2 |
1 2"""12 |
|||||||||||||
|
4 ! 92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
||||
|
|
1 |
! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
1 2 |
|
"" |
2 |
|
|
||||
8 4 ! 9 |
|
|
|
1 2 *4 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3452 262 265 24 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 2789 2 129 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
129 12"""12 129 262 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5 57 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
42 |
|
|
ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 3 5 6 7 8 9 7 5 |
|||||||||||||
12 |
|
|
3456789 2 |
|
6 64 6 9 2 9 6492 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 2 1 3 1 2 |
343 567 23 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 567 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
2 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
343 5 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
343 23 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
34 |
4 1 2 |
|
1 6 1 2 5 89 2 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 1 2 1 6 6 2 2 3 |
83 ! 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
51 3 |
||||||||||||
3 3 32 938 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
83 3 |
|
|
5 3 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 343 3 |
|
|
|
|
|
5 5 2 3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 89 5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 1 2 1 3 1 2 |
|
|
5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
5 |
567 |
5 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||||
|
% & '( )3 &3983 |
|
|
343 "23 3"343 3 "123" !23 |
|
|
|||||||||||||||
|
%9 5 8&'349((7 |
|
3 3 3 |
3"3 #343 3"3 #"23 5 |
" |
2 3 |
|
|
|
||||||||||||
|
278 9 53 3 * +&3, 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 $ 6 # ! 2 3 |
|
|
343" "#$ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
$ 6 $ 3 3 |
6 |
# |
" |
# |
|
" |
3 |
2 |
3 |
|
|
||||||||
|
3 23 3 3 +-) 3 |
|
|
5 1 2 3 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
. /& ) 23 3'(,0 |
|
# |
5 "1 6 # 2 3 5 |
"$ "1 3$ |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||
2 |
) 3 +13 5 )$ 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
# #3$ |
|
|
|
|||||||||
|
|
) |
|
) |
"$ |
|
|
3# 6 5 "1 2 3 # 5 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
||||||
|
$ 5 |
2 3 # 5 |
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
"1 3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
"1 |
|
|
|
$ 6 $ 6 3 |
|
|
|
|
|
" |
6 |
# |
|
|
|||||
|
'( ( 2 ) 33 / (13 |
6 |
# |
# " |
3 5 |
2 |
3 |
||||||||||||||
|
# |
|
5 1 2 |
|
" |
# |
|
||||||||||||||
|
)$ |
)1 |
) |
|
|
|
3 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
"$ 2 3 |
"1 2 3 " 3 3 / 0 |
|
|
5 3 |
"$ " 3$ #6$ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
'(& *) 3 ' - 3 |
|
|
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
Пример 1.45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
x2dx |
x 1 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x 1 3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р е ш е н и е. Хотя интеграл не подпадает ни под один |
||||||||||||||||||||
из случаев I...IV из таблицы 8, тем не менее он сводится к |
|||||||||||||||||||||
сумме интегралов случая II: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
||||||||||||
6 |
|
x2dx |
|
5 6 |
|
|
|
x2 1 x 3 3 4 x 3 5 |
2dx |
|
|
|
5 |
|||||||||||||
|
x 3 3 3 |
x 3 5 |
|
1 x 3 3 3 x 3 521 x 3 3 4 x 3 52 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Имеем |
|
5 12 6x2 x 3 5dx 4 12 6x2 x 3 3dx. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
1 5 2 t2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x 1 5dx 2 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
dt 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
5dx 2 2tdt6 2 |
2 (t 7 |
5) |
|
t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x 2 t2 7 5 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
7 |
|
20 |
5 |
|
|
50 |
3 |
|
|
|||
2 |
2 t |
dt 7 20 t |
dt |
1 50 t dt 2 7 t 7 |
5 t |
1 |
3 t |
|
1 C |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 7 |
(x 1 5)7 7 |
4 (x 1 5)5 1 |
|
3 |
(x 1 5)3 1 C. |
|
|
|||||||||||||||||
Аналогично вычисляется и второй интеграл. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
1 3 2 t2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x 1 3dx 2 |
|
5 |
|
6 |
|
|
|
2 |
3) |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
5dx 2 2tdt6 2 |
2 (t 7 |
|
t dt |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 x 2 t2 7 39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
6 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
7 |
|
12 |
5 |
|
|
18 |
3 |
|
|
|
|||
2 |
2 t dt 712 t |
dt |
1 18 t dt 2 7 t 7 |
5 t |
|
1 |
3 t |
|
|
1 C 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 7 |
(x 1 3)7 7 |
5 |
(x 1 3)5 1 6 (x 1 3)3 1 C. |
|
|
|||||||||||||||||||
Просуммировав их, окончательно получим |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x2dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 3 2 x 2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
1 (x 2 |
5)7 3 2 (x 2 5)5 2 25 |
(x 2 5)3 3 |
1 |
(x 2 3)7 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 |
|
(x |
2 3)5 3 3 (x 2 3)3 2 C. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Интегралы вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Rn (x) |
|
|
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax2 1 bx 1 c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Rn(x) — многочлен степени n, можно вычислить, ис пользуя формулу
4 |
R (x) |
dx 3 Rn11 |
(x) ax2 2 bx 2 c 2 A4 |
|
dx |
|
|
|
n |
|
, |
||||
ax |
2 |
ax |
2 |
||||
|
2 bx 2 c |
|
|
2 bx 2 c |
|