Типовик 2 семестр ч2

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

55

1 уровень

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

3

dx

.

2 x2 1 5x

3 x2

1 2x 2

2

(x 1 3)(x 2

2)

2 уровень

а) 3

4x 15

б) 2

dx

в) 3

dx

.

dx;

;

(x 1 2)(x 21)2

x2 1 4x 2 5

x3 1 x

3 уровень

а) 2

3x3 1 2

б) 3

3x3 1 9x2 1 10x

1 2

dx;

dx;

(x 21)(x 1 1)3

x3 1 x

а) 1 cosxcos3xdx;

б) 2

dx

;

в) 1

cosx sinxdx.

5 1 3cosx

2 уровень

а) 1 cos3 3xdx;

б) 1 cos4 xdx;

в) 2

dx

.

1 1 3cos2 x

3 уровень

sin3 x

а) 2(3 1 cos2x)sin2 xdx;

б) 1 tg5

x

2 dx;

в) 1 4 cosx dx.

а) 3

dx

; б) 3

6 x 11

в) 3

x 1 1

dx;

dx.

9 1 6x 2 x2

6 x7 2 6 x5

x x 2 2

2 уровень

а) 3

2x 11

dx;

б) 2 2x 1 x2 dx;

x

2

1 4x 2

1

в) 2

xdx

.

1

2/3 1

1

1/2

(x

1)

(x

1)

56

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

3 уровень

а) 2

x2dx

1 1 x

(1 1 x2 )3

;

б) 3

1 2 xdx; в) 3x12/3 1

2 xdx.

28

а) 17 x3 dx;

б) 2

dx;

x2 11

в) 4

1x1 3 4tgx2dx;

г) 1

9x8

dx.

5x x

2 уровень

б) 414sinx 3

2dx;

а) 4

1ex 3

cosx

2dx;

8

2

x2 3 1

в) 512x 4

x2 3 3

2dx.

x

3 уровень.

x 1 x 2 x3 2 x7

1

x

4

2

а) 3

dx;

б) 943

3

5dx.

4 6 4x

4

2

x

7

8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

а) 1

dx

;

б) 1 e4xdx;

2

cos 4x

в) 1 ch4xdx;

г) 2

dx

.

(1 1 2x)2

2 уровень

б) 2

dx

в) 2

dx

а) 2(sin4x 1 e3x )dx;

;

.

(11 4x)3

sin2 (2 1 3x)

58

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а)

dx

;

б)

dx

;

в)

3

dx

.

2 x2 1 3x

2 x2 1 4x

(x 1

2)(x 2

4)

1 21

2 уровень

а) 3

x 1 2

б) 2

dx

в) 2

dx

dx;

;

.

x(x 1 3)2

x2 25x 1 6

x3 1 8

3 уровень

а) 2

3x3 1 25

dx;

б) 3

x3 1 6x2 210x 110

dx;

x2 1 2x 1 2

(x 21)(x 1 2)3

в) 3

2x3 1 4x2 1 2x 21

dx.

2

2

1 2x 1 2)

(x 1 1) (x

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а)

sinxsin5xdx;

б)

dx

;

в)

sin2 xcosxdx.

1

2 5cos2 x

1

11

2 уровень

а) 1 cos4 xdx;

б) 1 sin2 2xcos3 2xdx;

в) 3

dx

.

3sinx 1 5cosx 2 4

3 уровень

а) 2(11 sin2x)3 dx;

б) 1 ctg4

x

dx; в) 2

sin3 x

dx.

3

cos

2

x 1

9

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

б) 4

dx

;

в) 2

dx

;

.

x 14 x 3 12

11 x 1 x2

2 1 x 1 4

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

59

2

уровень

а) 2

2x 1 8

dx;

б) 2

x2 1 4

dx;

1

1 2x 1 x

2

x

в) 3

dx

.

(3x 1 1)

2/3

2

1/2

(3x 1 1)

3

уровень.

а) 2

9 1 x2

б) 3

3 1 1 1 2x

в) 2

1 1 5 x

dx;

5 2 3 11 2x dx;

dx.

x

x x

а) 15x dx;

б) 14cosxdx;

в) 2(x5 1 tgx)dx;

г) 1

x5

dx.

x

2 уровень

а) 41

1

3

1

2dx;

б) 2(5ex 1 3cosx)dx;

x2

sh2x

в) 5

12 3 x 4

3

2dx.

2

x

x

cos

3 уровень

3 1 sinx 2 2tg2x

1

1

2

а) 3

dx;

б) 95

32sinx 4

6dx.

8 3

sin

2

x

8x

2

7

8

а) 1 sin5xdx; б) 2

dx

в) 1

dx

г) 2

dx

;

;

.

(5 1 x)3

9 1 4x2

cos2 5x

60

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 3

б) 2tg(4 1 5x)dx;

в) 2

dx

(cos5x 2 e1x )dx;

.

3 2x 1 7

3 уровень

9

2

1

sin(x 4 5)

3

а)

5

4

1 5513x 4 ctg5x6dx;

1 25x2

7 5 1

5

8

а) 2

2xdx

;

б) 1

lnx

dx;

в) 2e

1x2

xdx.

11 x2

x

2 уровень

а) 1

exdx

;

б) 2

x2dx

;

в) 27 x7 1 2x9 dx.

(1 1 x3 )4

cos2 ex

3 уровень

а) 2

sinxdx

;

б) 2

2 1 arccosx

dx;

11 2cosx

11 x

2

в) 2

2x 1 arctg2x

dx.

1 1 x2

1 уровень

а) 1 x5x dx;

б) 2(x 1 5)cosxdx; в) 1 x5 lnxdx.

2 уровень

а) 2(2x 1 5)sin5xdx; б) 2ln(x 1 5)2 dx;

в) 2arcсtg

5x 11dx.

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

61

3 уровень

а) 1 coslnxdx;

б) 2(x2 1 3)e4xdx;

в) 1 x2 ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

dx

б) 2

dx

в) 3

dx

;

;

.

x2 1 2x

x2 1 x 1 20

(x 1 5)(x 2 2)

2 уровень

а) 2

x 11

б) 2

dx

в) 2

dx

dx;

;

.

x(x 1 8)2

x2 17x 112

x3 1 3x

3 уровень

а) 3

2x3 11

dx;

б) 3

x3 1 6x2 213x 1 7

dx;

(x 21)(x 1 2)3

x2 2 2x 1 5

в) 2

x3

1 4x2 1 3x 1 2

dx.

2

(x

2

11)

(x 11)

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sin4xsin6xdx;

б) 2

dx

; в) 1 sinx cosxdx.

5 1 4sin2x

2 уровень

а) 1 sin4 2xdx;

б) 1 sin7 xdx;

в) 2

dx

.

5 1 4sinx 1 3cosx

3 уровень

а) 2(1 1 cosx)3 sinxdx;

б) 1 ctg5 2xdx;

cos2x

в) 1 cos4 x dx.

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

dx

;

б) 2

3 xdx

;

в) 2

dx

.

1 2x 1 x

1

2

3

x 1 x

x x 1 2

62

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 2

xdx

;

б) 3

3 1 x2 2 6xdx;

в) 2

x3

dx.

4x2 1 2x 1 5

11 x2

3 уровень

а) 2

dx

б) 4

dx

в) 2

1 1 5 x

;

;

dx.

x2 x2 1 14

x 13 x 3 x 2

x x

5

25dx

в) 2(6x 1 ctgx)dx; г) 1

x6

а) 1

7 x5dx;

б) 21 1 x2

;

dx.

x

2 уровень

а) 4

1

6

3

5

2dx;

б) 5135sinx 4

102dx;

2

2

x

x

cos

x

9

1

6

3

25

x 2

в)

4

5dx.

6

x2

7 x2

1

8

3 уровень

9

2 x5

1 6x

ex

3

б) 9

1

36cosx 4

1

2

а)

5

4

6dx;

5

6dx.

x2

2x

36x2 4 36

7

8

7

8

а) 2

dx

в) 1 ctg6xdx; г) 2

dx

; б) 126x dx;

.

cos2 (x 1 4)

3 1 6x

2 уровень

а) 2(sin6x 1 e6x )dx; б) 2

dx

; в) 2(3 1 2x)4 dx.

1 1 25x2