Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Омский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовик 2 семестр ч2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.04.2015

Размер:

520.51 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

44	ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

где Rn–1(x) — многочлен степени n – 1 с неопределенными коэффициентами; A — неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты можно найти из тождества, которое получается дифференцированием обе их частей последнего равенства и приравниванием коэф фициентов при одинаковых степенях неизвестной x.

Пример 1.46.

	x2 1 3x 2 4			dx 3 ( A x 2 A ) x2		2 2x 1 5 2 A		dx	.
4							4 x2 2 2x 1 5
	x2 2	2x 1	1		2
			5

Р е ш е н и е. Продифференцируем обе части данного равенства:

4	x2 2 3x 3 4			51	6	4	( A1x 3 A2 )		2	3 2x 2 5	3 A			dx	51
7				dx8		7		x							8 .
	x	2	3 2x 2 5									x	2	3 2x 2 5
9						9

Учитывая, что производная от неопределенного инте грала равна подынтегральной функции (см. следствия из определения 1.2), получаем

x2 3 3x 4 4

6 ( A x 4

A )5

x2 4 2x 3 5 4

x2 4 2x 3 5

4 ( A x 4

A )1

4 2x 3 525 4

;

x2 4 2x 3 5

x2 3 3x 4 4

6 A x2

4 2x 3 5 4

2( A1x 4 A2 )(x 41)

x2 4 2x 3 5

2 x2 4 2x 3 5

x2 4 2x 3 5

Приведем к общему знаменателю в правой части ра венства:

x2 2 3x 1 4			3	A1	(x2 1 2x 25) 1 ( A1x 1 A2 )(x 11) 1 A			.
x2 1	2x 2	5			x2 1	2x 2	5

Две дроби равны, когда равны числители и знаменате ли дробей, знаменатели равны, приравняем числители:

x2 – 3x + 4 = A1(x2 + 2x – 5) + (A1x + A2)(x + 1) + A, x2 – 3x + 4 = A1x2 + 2A1x – 5A1 + A1x2 +

+ A1x + A2x + A2 + A,

x2 – 3x + 4 = 2A1x2 + (3A1 + A2)x + ( – 5A1 + A2 + A),

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

												22A1 11;
												3					4 A2 1 53;
												63A1					4 A2 1 53;
												355A							4 A 4					A 1 4.
		Отсюда										7					1				2
		Отсюда										1 1,						A 1 2 9, A 1 11.
										A		1 1,						A 1 2 9, A 1 11.
											1			2					2			2
		Тогда												2								2
		Тогда
			x2 1 3x 2 4							dx 5		3	1		x 1			9 4			x	2	2 2x 1 5				211						dx					.
												6							7
	x2 2 2x 1 5											6							7											x2 2 2x 1
	x2 2 2x 1 5											8	2 2 9																	x2 2 2x 1							5
		Вычислим интеграл
															3					dx						.
															3			x2 1 2x 2 5								.
		Это случай III из табл. 8. Выполним замену:
										x 1 u 2						b			1 u 21, dx = du,
										x 1 u 2						2a			1 u 21, dx = du,
																2a
которая приведет к табличному интегралу.
	4						dx				1 4										du							1	4	du						1
	4				x	2	2 2x			3 5	1 4				(u		3		1)	2	2 2(u 31) 3						5	1	4	u	2	3		6		1
					x		2 2x			3 5					(u		3		1)		2 2(u 31) 3						5			u		3		6

					1 ln			u 2 u2 3 6						2 C 1 ln							x 21 2 x2 2 2x 3 5										2 C.
		В результате получим, что
													7		x2 3 3x 4 4
																									dx 5
																x2 4 2x 3 5									dx 5
			5 112 x 3 292 x2 4 2x 3 5 4116 ln																					x 41 4 x2 4 2x 3 5											4 C.


		В частности,
6			Mx 3 N						dx 5		M				ax2				3 bx 3 c 3 1N 4								Mb		26					dx					.
6		ax		2	3 bx 3 c				dx 5		a				ax2				3 bx 3 c 3 1N 4								2a		26	ax			2						.
		ax			3 bx 3 c						a																2a			ax					3 bx 3 c

1.8. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Мы познакомились с некоторыми приемами вычис ления неопределенных интегралов. Эти приемы не пре допределяют точно пути, по которому надлежит идти, предоставляя многое искусству вычислителя. Согласно за мечанию 1.1 п. 1.1 всякая непрерывная функция имеет

46 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

первообразную. Если первообразная некоторой элемен тарной функции f(x) является также элементарной функ цией, то интеграл 1 f(x)dx «берется» (или вычисляется).

Очень часто оказывается, что интеграл от элементар ной функции элементарным не является, т. е. не выража ется через элементарные. К числу таких заведомо невы ражающихся в конечном виде или «неберущихся» инте гралов относятся, например, интеграл Пуассона 2e1x2 dx, интегралы Френеля 1 sinx2dx, 1 cosx2dx, интегральная


показательная функция 1					ex	dx, интегральные синус и ко
					x
синус 1	sinx	dx, 1	cosx	dx,	интегральный логарифм 1		dx
	x		x					.
							lnx

Все эти интегралы реально существуют, но представ ляют собой совершенно новые функции и не приводятся к тем функциям, которые мы назвали элементарными (см. Приложение).

1.9.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Что называется первообразной для данной функции?

2.Сформулируйте теорему о множестве первообразных для функции.

3.Что называется неопределенным интегралом?

4.В чем состоит геометрический смысл неопределенного ин теграла?

5.Чему равна производная от неопределенного интеграла?

6.Чему равен дифференциал от неопределенного интеграла?

7.Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала первообразной?

8.Чему равен неопределенный интеграл от суммы несколь ких интегралов?

9.В чем состоит метод линейной замены в неопределенном ин теграле?

10.В чем состоит метод интегрирования подстановкой? Каков порядок замены переменной?

11.Сформулируйте метод интегрирования по частям. Каков по рядок вычислений? Перечислите основные типы интегра лов, берущихся по частям.

12.Вычислим интеграл 1 dxx методом интегрирования по час тям. Обозначим через u 1 x1 , dv = dx. Тогда

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ									47
du 5 (x31 )4dx 5 3x32dx 5 3					1		dx, v 5 x,
du 5 (x31 )4dx 5 3x32dx 5 3					x2		dx, v 5 x,
					x2
dx	1	1						dx
7 x	5 x x 3	7x13		2dx 5		16 7		x	,
7 x	5 x x 3	7x13	x2	2dx 5		16 7		x	,

т. е.	3dxx	1 1 2 3 dxx .

Одинаковые выражения в левой и правой частях этого ра венства взаимно уничтожим. Получим 0 = 1. Где ошибка?

13.Что называется рациональной дробью?

14.Запишите два типа простейших дробей.

15.В чем состоит метод интегрирования рациональных дробей? Каков порядок вычислений?

16.Перечислите основные типы интегралов от тригонометри ческих функций.

17.Укажите общий метод интегрирования иррациональных выражений, содержащих квадратный трехчлен.

18.Укажите метод интегрирования иррациональных выраже ний с помощью дробно линейной подстановки.

19.Расскажите о случаях, когда возможно интегрирование би номиального дифференциала.

20.Опишите метод вычисления

m1 m2 mr

2R(x,(ax 1 b) n1 ,(ax 1 b) n2 ,...,(ax 1 b) nr ) dx,

где R — рациональная функция; m1, n1, m2, n2, ..., mr, nr — целые числа.

21. Какой интеграл называется «неберущимся»?

1.10.

ВАРИАНТЫ ТИПОВОГО РАСЧЕТА «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ»

Вариант 1

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень
а) 1 x5dx;		б) 15cosxdx;			в) 2(4x 1 sinx)dx;		г) 1	x3		dx.
								x5
2 уровень
а) 41x8 3		1		2dx; б) 41	3	3 5cosx2dx; в) 2 x2 13			4 dx.
		2	x		x
	cos						x

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

3 уровень

x 1 x 2 x2

1 x3

а) 3

dx;

б) 848sinx

5dx.

3 8x

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

а) 1 sin8xdx;

б) 1 e3xdx; в) 1 ctg4xdx;

г) 2

3x 1 4

2 уровень

а) 2(cos6x 1 e4x )dx; б) 2sin(4 15x)dx;

в) 2

(5 1 4x)3

3 уровень

а) 51

cos(10x 3 5)

475x 3 sh8x2dx;

3 e4x 3

б) 3((5 1 2x)5 2 e12x21 278x24 )dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

	arctgx
а) 2 211 x2 dx;				б) 2x x2 11dx;		в) 1 esin x cosxdx.
2 уровень
а) 2	e1	x		б) 2	cosxdx	в) 2	x
		x dx;			11 sinx;			dx.
							11 x2
3 уровень
а) 2	x2 1 ln2 x		dx;	б) 2	arcsin2 x 1 2	dx; в) 3	x 1 arctgx		dx.
		x			11 x2		1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень
а) 1 xexdx;	б) 1 xcosxdx;	в) 1 xlnxdx.

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2 уровень

а) 1

lnxdx

;

б) 2(x 1 5)sin3xdx;

в) 2arctg 2x 11dx.

3 уровень

а) 1 ex cosxdx;

б) 1 x2 cosxdx;

в) 1ln2 xdx.

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

б) 3

в) 3

;

x2 1 x

x2 1 4x 2 5

(x 11)(x 2 2)

2 уровень

а) 3

x 1 2

б) 2

в) 2

dx;

;

x(x 1 1)2

x2 17x 2 12

x3 1 4x

3 уровень

x 1 4

x 1 1

а) 2

dx; б) 2

dx; в) 2

x3 1 6x2 1 11x 1 6

x3 1 2x2 1 5x

x4 1 x2

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций:

1 уровень

а) 1 sinxsin9xdx;

б) 2

в) 1 cos2 xsinxdx.

;

9 1 sinx

2 уровень

а) 1 cos4 3xdx;

б) 1 sin3 xcos4 xdx;

в) 2

3sinx 1 4cosx

3 уровень

sin3 x

а) 2(11 cos3x)3 dx;

б) 1 tg45xdx;

в) 1

cosx dx.

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

; б) 4

в) 2

;

dx.

1 2x 1

x 3

(x 1 1) x 1 2

50 ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

2 уровень

а) 3

3x 1 5

dx;

б) 3

3 1 x2 2 2xdx;

9 2 6x 1 3x2

в) 3

(x 1 3)

2/3

2 (x

1/2

1 3)

3 уровень

а) 2

; б) 3

11 1 1 x

3 1 1 4 x

12 3 11 x dx; в) 2

dx.

24 4x 11 1 4x 11

Вариант 2

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри

рованием:

1 уровень

а) 12x dx;

б) 12tgxdx;

в) 2(x4 1 cosx)dx;

г) 1

dx.

2 уровень

а)

dx;

б)

42sinx 3

5dx;

sin2 x 2

в)

5dx.

6 x2

3 уровень

x3 1 x 2 x3 2 x7

а) 3

dx;

б) 95 35

6dx.

3 25x

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной

замены:

1 уровень

а) 1 cos3xdx;

б) 143x dx;

в) 1 tg5xdx;

г) 2

3 1 4x

2 уровень

а) 2(sin4x 1 e3x )dx;

б) 2cos(4 1 4x)dx;

в) 2

11 2x

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ			51
3 уровень
1	ctg(7x 3 5)
а) 51553x 3		4 e5x 3 ch5x2dx;
а) 51553x 3	3	4 e5x 3 ch5x2dx;

б) 51 (2 3 5x)3 4 e43x 4 24x46 2dx.

3. Вычислить интегралы, используя метод замены пе ременной:

1 уровень

	arcctgx
а) 2 e11 x2		dx;		б) 2x2 x3 11dx;			в) 1 ecosx sinxdx.
2 уровень
а) 1	cos x			б) 2	xdx		в) 2x2 3 (1 1 x3 )2 dx.
		dx;				;
	x				(1 1 x2 )2
3 уровень
а) 2	tgx 1 1			б) 2	arccos3 x 1 x		dx;
			dx;		1 1 x2
	cos2 x
в) 3	2x 1 arctg3x			dx.
	1 2 x2

4. Вычислить интегралы, используя метод интегриро вания по частям:

1 уровень

а) 1 x2x dx;	б) 1 xsinxdx;	в) 1lnxdx.
2 уровень
а) 2(x 1 4)sin3xdx;	б) 2(x2 1 3x)lnxdx;
в) 2arctg 3x 11dx.
3 уровень
а) 1 ex sinxdx;	б) 1 x2 sin2xdx;	в) 1 xln2 xdx.

ПРАКТИКУМ И ЗАДАНИЯ ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ

5. Вычислить интегралы от рациональных дробей:

1 уровень

а) 2

в) 2

;

б)

;

x2 1 x

x2 1 4x 25

(x 11)(x 1 2)

2 уровень

а)

3x 1 2

dx;

б)

;

в)

2 x(x 1 2)2

3 x2 2 7x 2

2 x3 11

3 уровень

а) 3

2x5 1 8x3 2 3

dx;

б) 3

x3 1 6x2 1 4x 1 24

dx;

x2 1 2x

(x 2 2)(x 1 2)3

в) 3

13x3 213x2 113x 21

dx.

(x 1

1 x 21)

2) (x

6. Вычислить интегралы от тригонометрических функ

ций.

1 уровень

а) 1 sin3xcosxdx;

б) 2

в) 1 sin2 xdx.

;

2 1 sin2x

2 уровень

а) 1 cos2 xsin2 xdx;

б) 1 sin3 2xdx; в) 2

5 1 sinx 1 3cosx

3 уровень

а) 2

;

б) 1 tg5 x dx;

в) 2

sin

dx.

3sin

x 1

4cos

cosx 1 3

7. Вычислить интегралы от иррациональных функций:

1 уровень

а) 2

;

б)

;

в) 3

x 11

dx.

10 1 6x 1 x

x 1

2x 2 3

2 уровень

а) 2

x 1 2

dx;

б) 2x2 11 x2 dx;

x2 1 4x 1 6

ГЛАВА 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

в) 2				dx				.
в) 2	(x 1		2/3		1 (x 1	1/2		.
	(x 1		1)		1 (x 1	1)
3 уровень
а) 2	x2dx			;		б) 3	2 1				5 2 x	dx;	в) 2			dx		.
									2	3	5 2 x			x	2	(1 1 x	2 3
	x	2	11				1			3					2		2 3
	x		11				1										)

Вариант 3

1. Вычислить интегралы непосредственным интегри рованием:

1 уровень


а) 1 x3	2dx;
в) 41	x 3 sinx2dx;
2 уровень
а) 413 x2 3		1	2dx;
		x2 31

в) 41x 3 2 3 2 2dx. x x2 3 1

3 уровень

б) 15cosxdx; г) 1 3x2x dx.

б) 8	1	5shx 3	2		2
	4				5dx;
	4		x	5	5dx;
	6		x		7

			3			3		5	7			1		x		1			2
а)	3	x		1	3x		2 x		2 x	dx;	б) 9	5	35e		4				6dx.
		x		1	3x		2 x		2 x							36 4	36x	2
					x4													2
					x4							7							8

2. Вычислить интегралы, используя метод линейной замены:

1 уровень
а) 1 sh5xdx;	б) 124x dx;
в) 1 cos3xdx;	г) 2	dx
			.
		11 x	.
2 уровень
а) 2(tg2x 1 2e5x )dx;	б) 2sin(4 1 x)dx;			в) 2	dx
						.
					11 9x2	.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.04.201569.31 Кб22Тест_БЖД_ОБРАЗЕЦ.rtf
#
10.04.201518.46 Кб22тестовые вопросы на конкурс мастерства.docx
#
10.04.2015925.14 Кб211тесты конкурс мастерства.docx
#
09.04.2015203.26 Кб608Технол карты тек рем обор подст.doc
#
10.04.20151.02 Mб89Технологическая карта 2.2.docx
#
10.04.2015520.51 Кб16Типовик 2 семестр ч2.pdf
#
10.04.2015354.1 Кб17Типовик 2 семестр ч3.pdf
#
10.04.2015360.76 Кб5Типовик 2 семестр ч4.pdf
#
10.04.2015496.81 Кб6Типовик 2 семестр ч5.pdf
#
28.04.201946.59 Кб2ТИПОВОЕ ПОЛОЖЕНИЕ о мол. спеце Дочерних иЗависи....doc
#
09.04.2015354.82 Кб31Типовой расчёт 3.doc