4. Сложение гармонических колебаний

4.1. Основные формулы и обозначения

При сложении гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты, например, колебаний иудобно использовать метод векторных диаграмм. Каждое колебание изображается вектором на плоскости (например,и). Длина этого вектора равна амплитуде соответствующего колебания. Угол между вектором и Рис. 5 горизонтальной осью равен фазе соответствующего колебания в данный момент времени. Векторописывающий результирующее колебание, строится по правилам сложения векторов. Частота результирующего колебаниятакже равнаАмплитуда и начальная фаза результирующего колебания определяются по диаграмме для начального момента времени (рис. 5) и вычисляются соответственно по формулам:

(70)

(71)

При сложении гармонических взаимно перпендикулярных колебаний, совершаемых точкой в плоскости , например, колебаний

(72)

уравнение траектории движения содержит только переменные ино не содержит времениСледовательно, уравнение траектории можно найти, если каким-либо образом исключить из формул (72) время, например, выразитьчерезили.

Если при этом отношение частот (периодов) является рациональной дробью (отношением целых чисел), то траектория оказывается замкнутой, а движение – периодическим.

4.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 10. Построить векторную диаграмму в начальный момент времени при сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления. Найти графически и аналитически амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Записать закон результирующего колебания. Законы складываемых колебаний имеют вид: гдесм;см;с^-1;

Дано: с-1; см; см; ; Найти: ;

Решение. Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, можно воспользоваться формулами (70), (71), предварительно заменив по формуле приведения синусоидальную зависимостькосинусоидальной: (73)

где

. (74)

Тогда

. (75)

Подставляя в равенства (75) численные данные и учитывая формулу (74), получим: см;Отсюда°рад. Следовательно, закон результирующего колебания имеет вид:гдесм;с^-1; рад.

Начертим векторную диаграмму сложения колебаний в начальный момент времени (рис. 6). Для этого в соответствии с правилами построения, изложенными в подразделе 4.1, сопоставим колебанию вектордлиной, который направим под угломк горизонтальной оси, т. е. вертикально вверх; колебаниюсопоставим вектордлиной, который направим под угломк горизонтальной оси, т. е. отложим его в направлении оси (см. рис. 6). Результирующее колебание будет описываться векторомдлинойполученным по правилу параллелограмма сложением векторовиУгол, образованный вектороми осьюравен начальной фазе результирующего колебания

Ответ:гдесм;с^-1;     Рис. 6 рад.

З а д а ч а 11. Получить уравнение траектории частицы и построить траекторию в плоскости , если частица одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:гдесм,см.

Дано: Найти:

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки на плоскостинеобходимо из системы уравнений

; (76)

(77)

исключить время. Для этого из уравнения (76) выразим :

. (78)

Отсюда

. (79)

Преобразовав и возведя в квадрат уравнение (77), а затем, последовательно применив формулы приведения и двойного аргумента к тригонометрическим функциям, получим:

. (80)

Используя соотношения (78) и (79), из выражения (80) можно исключить время и получить уравнение траектории:

(81)

Для построения траектории в плоскости выберем наиболее удобные точки. Это точки, имеющие равную нулю, наибольшую и наименьшую из возможных ординату () или абсциссу ().

Таблица 2

Используя уравнение траектории (81), найдем вторые координаты этих точек Рис. 7

(см. Табл. 2).

Траектория, построенная по этим точкам, показана на рис. 7. Координата достигает максимума по модулю четырежды, а– дважды. Это объясняется соответствующим отношением частот: за время одного колебания вдоль оситочка совершает два колебания вдоль оси

Ответ: