3. Свободные незатухающие колебания в идеальном колебательном контуре

3.1. Основные формулы и обозначения

Собственная частота колебаний заряда , силы токаи напряжения в идеальном колебательном контуре (рис. 3) определяется выражением:где– индуктивность;– ёмкость контура. Заряд совершает гармонические колебания:– амплитуда колебаний заряда. Сила тока и напряжение связаны с зарядом соотношениями:иЭнергия электрического и магнитного полей вычисляется по формулам:

(51)

Рис. 3 (52)

3.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 7. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 200 мкФ и катушки индуктивностью 3 мГн. Конденсатор зарядили количеством электричества 70 мкКл и замкнули на катушку. Найти зависимости от времени энергии электрического и магнитного полей и построить графики этих зависимостей в пределах половины периода колебаний заряда.

Дано: Ф; мГн; Кл. Найти и построить графики: и

Решение. Энергия электрического и магнитного полей определяется по формулам: (53) (54)

где – заряд на пластинах конденсатора;

–сила тока, протекающего через катушку.

Так как контур идеальный, заряд совершает гармонические колебания:

(55)

где

– (56)

собственная частота колебаний в контуре;

–начальная фаза, определяемая из закона (51) при с:, откуда

(57)

Согласно условию задачи в момент начала колебаний заряженный конденсатор замкнули на катушку, поэтому заряд на пластинах не может быть больше начального. Таким образом, амплитуда колебаний заряда равна начальному заряду:

(58)

Подставив начальное условие (58) в формулу (57), получим:

(59)

Таким образом, законы (55) и (53) колебаний заряда и энергии электрического поля в контуре с учетом равенства (56) принимают вид:

(60)

(61)

Закон колебаний силы тока найдем, взяв производную по времени от правой части формулы (60):

(62)

поэтому зависимость энергии магнитного поля от времени (50) с учетом равенства (56) принимает вид:

(63)

Таблица 1
	мкДж	мкДж
	мкДж	мкДж
	мкДж	мкДж

Через полную энергию мкДж и период колебаниймс зависимости энергии от времени (61) и (63) представляются в виде:;. Удобство этих формул заключается в значительном облегчении построения графиков и вычисления энергии при выборе значений времени, отвечающих экстремумам гармонических функций. Построим графики. Значения энергии в выбранные моменты времени в пределах половины периода колебаний заряда показаны в табл. 1. Графики зависимости энергии от времени изображены на рис. 4.

Рис. 4

Ответ: ,,

где мкДж;

мс.

З а д а ч а 8. В идеальном колебательном контуре с емкостью 6 мкФ заряд на обкладках конденсатора меняется по закону: гдемкКл;Найти разность потенциалов (напряжение) на обкладках конденсатора спустя четверть периода колебаний.

Дано: Ф; Кл; Найти:

Решение. Напряжение связано с зарядом соотношением: Подставляя в него закон колебаний зарядаполучим зависимость напряжения от времени: (64)

Выразив в формуле (64) собственную частоту колебаний через период получим:

(65)

Подставив в формулу (65) численные данные при найдем:В.

Ответ: ,В.

З а д а ч а 9. В идеальном колебательном контуре с индуктивностью 100 мГн совершаются гармонические колебания с частотой 400 Гц. Найти емкость конденсатора и закон изменения силы тока в контуре, если в начальный момент времени сила тока была максимальной и равной 16 мА.

Дано: Гн; Гц; А; Найти:

Решение. Закон колебаний силы тока в идеальном колебательном контуре имеет вид: , (66) где –(67)

собственная частота;

–начальная фаза колебаний, которая определяется из закона (66) при с в соответствии с начальным условием:

(68)

Подставив выражения (67) и (68) в закон (66), получим зависимость силы тока в рассматриваемом контуре от времени:

. (69)

Емкость конденсатора найдем из выражения полученного подстановкой в соотношение (67) формулыдля собственной частоты колебаний в контуре:ОтсюдаФ.

Ответ: мА;

мкФ.