1.2. Примеры решения задач

З а д а ч а 1. Маятник настенных часов можно представить в виде невесомого стержня длиной 30 см, к концу которого припаян диск радиусом 8 см и массой 2,5 кг (рис. 1). Маятник колеблется в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Диск расположен в плоскости колебаний. Найти период малых свободных незатухающих колебаний маятника.

Дано: м; кг; м; м/с2. Найти: .

Решение. Тела, из которых сделан маятник, можно считать абсолютно твердыми, а маятник – физическим. Собственную частоту колебаний физического маятника можно найти по формуле: , (4) в которой – масса;

–момент инерции маятника,

– (5)

расстояние от центра инерции до оси вращения; – ускорение свободного падения.

Период связан с циклической частотой соотношением:

. (6)

Подставив в соотношение (6) формулу (4), получим:

. (7)

Стержень невесом, поэтому масса и момент инерции маятника равны соответственно массе и Рис. 1 моменту инерции диска, который вычисляется с использованием теоремы Гюйгенса – Штейнера¹, так как ось колебаний не проходит через центр инерции диска:

, (8)

где – момент инерции диска относительно оси,перпендикулярной диску и проходящей через его центр.

С учетом равенств (5) и (8) выражение (7) принимает вид:

. (9)

Подставляем данные задачи:

с.

Ответ: ,с.

З а д а ч а 2. Маленькая заряженная дробинка может без трения двигаться внутри вертикально расположенной трубки, прикрепленной нижним концом к заряженному шару (рис. 2). Заряды шара и дробинки одноименные. Когда дробинка находится в состоянии равновесия, расстояние от нее до центра шара – 80 см. Найти собственную частоту малых вертикальных колебаний дробинки.

Дано: м; м/с2. Найти: .

Решение. Собственная частота колебаний системы определяется по формуле: (10) где – обобщенные коэффициент жесткости и масса системы.

Обобщенный коэффициент жесткости системы определяется в соответствии с законом Гука как коэффициент пропорциональности между возвращающей силой и обобщенной координатой:

(11)

Обобщенная масса системы определяется как коэффициент пропорциональности между возвращающей силой и обобщенным ускорением:

(12)

Таким образом, основная цель при решении данной задачи – найти эти обобщенные параметры, используя явный вид возвращающей силы, действующей на выведенный из положения равновесия шарик. Для этого сначала рассмотрим и найдем силы, действующие на дробинку, находящуюся в состоянии равновесия. Результирующая этих сил равна нулю: так как при равновесии механической системы все действующие на нее силы скомпенсированы. Затем найдем результирующую силудействующую на дробинку, находящуюся в неравновесном состоянии в положении с координатойЭта сила и будет возвращающей:

(13)

Считая дробинку материальной точкой, направим ось абсцисс вертикально, например, вниз, а в качестве начала координат выберем положение равновесия дробинки. Тогда координатадробинки Рис. 2 характеризует ее смещение от положения равновесия, т. е. является обобщенной координатой.

В равновесии на дробинку действуют две силы: сила тяжести направленная вертикально вниз, и направленная в противоположную сторону сила электрического отталкиваниягдеи– заряды дробинки и шара соответственно, векторпроведен из центра шара к дробинке (в состоянии равновесия). Согласно принципу суперпозиции силСледовательно, модули силы тяжести и силы электрического отталкивания равны:

(14)

На выведенную из равновесия дробинку действуют те же две силы. Сила тяжести не меняется, а сила электрического отталкивания изменяется: она уменьшается по модулю в случае удаления дробинки от шара и увеличивается в случае ее приближения к шару. Векторпроведен из центра шара к дробинке, причемСогласно принципу суперпозиции сил результирующая силаПроекцияна осьрассчитывается по формуле:

(15)

где при смещении дробинки вниз ипри ее смещении вверх.

При малых колебаниях , поэтому выражениеможно разложить в ряд по степеням, ограничившись линейным приближением, т. е., оставив только два первых слагаемых ряда и пренебрегая остальными слагаемыми в силу их малости относительно двух первых¹:

(16)

Подставив разложение (16) в формулу (15), получим:

. (17)

Объединяя равенства (14), (15) и (17), получим в явном виде выражение для расчета возвращающей силы:

. (18)

Сравнивая формулы (18) и (11), найдем

(19)

С учетом уравнения (14) выражение (19) упрощается и принимает вид:

(20)

С другой стороны, сравнив основное уравнение динамики материальной точки для дробинки записанное с учетом равенства (13), с выражением (12), заметим, что. Используя равенствои выражение (20) для подстановки в формулу (10), получим окончательное выражение для собственной частоты:Подставляем в полученное выражение данные задачи:с^-1.

Ответ: ,с^-1.