СтройМех. чI. Статически определимые системы
.pdf71
72
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ ОТ НАГРУЗКИ
Силовые, температурные и кинематические воздействия вызывают пере-
мещения точек и сечений статически определимых систем ( i p , i t , i c ). Пе-
ремещения различают: линейные по заданному направлению; истинное пере-
мещение точки; взаимное линейное перемещение точек; угловое перемещение сечения; взаимное угловое перемещение сечений.
6.1. Определение перемещений от заданной нагрузки
Перемещения в статически определимых системах от нагрузки находятся по формуле Мора-Максвелла:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ip |
M i M p |
dS |
Qi Qp |
dS |
N i N p |
dS , (6.1) |
|||||||||
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
j1 0 |
|
EI |
j1 0 |
EG |
j1 |
0 |
|
EF |
|
||||||
где m - число участков или стержней; Mр , Qр , Nр – изгибающий момент, попе-
речная и продольная силы в рассматриваемом сечении системы, вызванные действующей нагрузкой; Мi , Qi , Ni – внутренние усилия в том же сечении, вы-
званные единичным силовым фактором, определяющим точку и направление изучаемого перемещения. Единичными силовыми факторами являются: сосре-
доточенная сила P i =1 при вычислении линейных перемещений или сосредото-
ченный момент M i =1 при вычислении угловых перемещений. Для систем,
стержни которых работают в основном на изгиб (балки, рамы), влияние попе-
речных и продольных сил незначительно и ими в практических расчетах пре-
небрегают. Поэтому перемещения выражаются в виде
m |
|
M i M p |
|
|
|
ip |
|
dS . |
(6.2) |
||
EI |
|||||
j1 |
0 |
|
|
Знак перед интегралом на рассматриваемом участке следует принимать поло-
жительным, если обе перемножаемые эпюры расположены по одну сторону от оси стержня, и отрицательным, если эпюры расположены с разных сторон от
73
оси стержня. Для систем, элементы которых работают в основном на централь-
ное растяжение – сжатие (фермы), используют формулу
m |
|
N i N p |
|
|
|
ip |
|
dS , |
(6.3) |
||
EF |
|||||
j1 |
0 |
|
|
а учитывая, что стержни ферм обычно по длине имеют постоянную жесткость и при узловой нагрузке усилия в пределах длины стержня не меняются, формула
(6.3) принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
N |
N |
|
|
|
|||
ip |
|
|
|
i |
|
p |
. |
(6.4) |
|
|
EF |
|
|||||
j1 |
|
|
|
|
||||
6.2. Вычисление интеграла, входящего в формулу перемещений.
Правило А.Н.Верещагина
На прямолинейном участке стержня длиной и постоянной жесткости вы-
числение интеграла в формуле перемещений (6.2) может быть сведено к пере-
множению эпюр, если одна из подинтегральных функций линейная:
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
M |
M |
p |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
i |
|
dS |
|
, |
(6.5) |
||
|
|
EI |
|
E I |
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где – площадь криволинейной эпюры изгибающих моментов; y0 – ордината прямолинейной эпюры изгибающих моментов, взятая в сечении под центром тяжести криволинейной эпюры. Для систем, состоящих из прямолинейных стержней постоянной жесткости на части или всей их длине, подинтегральная функция M i - кусочно-линейная на m участках и перемещения вычисляются по правилу А.Н.Верещагина:
m |
|
j |
y |
0 j |
|
|
|
i p |
|
|
|
, |
(6.6) |
||
|
|
|
|
|
|||
j1 |
EI j |
|
|||||
В таблице 6.1 представлены значения площадей и координаты центров тя-
жести наиболее часто встречающихся эпюр.
Пример 6.2.1.Определить горизонтальное перемещение правого узла рамы т. i1 от нагрузки (рис.6.1 а).
|
74 |
Решение: |
|
Строим эпюры в заданной раме: |
|
1)от нагрузки (рис. 6.1 б); |
|
2)от силы P i |
=1, приложенной в т. i1 по направлению перемещения |
|
1 |
(рис.6.1 в). |
|
Эпюры только на двух участках (1), (2). Для упрощения расчетов, предста- |
|
вим эпюру на участке (2) в виде двух табличных эпюр (рис. 6.1 г). Суммарная эпюра двух последних должна быть эквивалентна исходной.
Вычисление перемещения по Верещагину
|
2 |
|
i |
y |
0 |
|
|
i p |
|
|
|
=(1/EI)(1/2) 6 24 (2/3) 6 + |
((1/2) 24 12 (2/3) 6 – (2/3) |
||
EI |
|
||||||
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
36 12 (1/2)) (1/3 EI) = 192/ EI (м).
Здесь знак «-» в скобках при втором слагаемом указывает на то, что пере-
множаемые эпюры расположены с разных сторон стержня.
Пример 6.2.2.Для той же рамы примера 6.2.1. определить угловое переме-
щение левого узла рамы т. i2 от нагрузки (рис. 6.2).
Решение:
Строим эпюру от единичного момента M i 2 =1. Направление момента вы-
бираем произвольно (по часовой стрелке). Определяем перемещение
i p = 1/(3EI)((2/3) 36 12 (1/2) 1 - (1/2) 24 12 (2/3) 1) = 16/ EI (м).
Знак «+» говорит о том, что направление углового смещения узла i2 проис-
ходит по выбранному направлению M i 2 .
Пример 6.2.3.Для заданной рамы определить взаимное линейное смещение
точек от заданной нагрузки. Прикладываем к точкам j1 и j2 взаимно уравнове-
шивающую систему сил и строим эпюру M i (рис. 6.3).
Решение:
Определяем перемещение
|
|
|
75 |
|
|
|
j p = 1/(EI)((1/2) |
3 3 ((2/3) 24 + (1/3) 12)) + (1/2) 24 12 3 1/(3 EI) – (3/2) |
36 |
||||
12 3 1/(3 EI) = - 54/ EI (м). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6.1 |
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
Вид эпюры |
Площадь |
Координаты центра |
|
|||
|
|
|
|
тяжести |
|
|
|
|
|
|
а |
в |
|
h |
|
|
1 hl |
1 l |
2 l |
|
а |
в |
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
а1l |
|
в1 |
1 hl |
|
|
|
h |
|
|
(l+a1 )/3 |
(l+b1 )/3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
||
а |
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
l(H+h)/2 |
l(2H+h) l(H+2h) |
|
|
|
|
3(H+h) 3(H+h) |
|
|||
h |
|
|
|
|
||
а |
|
в |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
2 hl |
1 l |
1 l |
|
а |
|
в |
3 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
|
h |
|
|
1 hl |
1 l |
3 l |
|
а |
|
в |
3 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
|
h |
|
|
2 hl |
3 l |
5 l |
|
|
|
|
|
|||
а |
в |
|
3 |
8 |
8 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
Пример 6.2.4. Определить перемещение точки i в указанном направлении |
||||||
от заданной нагрузки или от изменения температурного режима (рис. 6.4), счи- |
||||||
76
тая жесткости стержней EI постоянными. Результаты решения: 1) i p = 0; 2)
i p =21,33/ EI; 3) i p =640/ EI; 4) i p = 493,33 м.
а)
6
q= 2кН /м
|
|
4кН |
i2 |
3E I |
i1 |
E I E I
1 2
б) |
|
|
24 |
2 |
|
|
||
1 2 |
1 |
|
M p |
||
|
||
4 |
|
|
1 4 |
1 0 |
|
|
в) |
г) |
6 |
Pi = 1 |
M i 1 
0,5 |
0,5 |
24 |
1 2 |
|
24 |
Э п 1 |
|
|
|
Э п 2 |
|
ql 2/8 |
6
|
|
Рис. 6.1 |
|
|
|
|
M i |
= 1 |
|
|
|
|
|
2 |
3E I |
3,0 |
|
|
|
3,0 |
|
|
|
|
|||
1 ,0 |
|
|
|
|
3E I |
|
|
|
Pj |
= 1 |
Pj2 |
= 1 |
|
|
|
|
||||
E I |
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
j1 |
|
|
j2 |
|
|
M i |
|
|
|
||
|
|
E I |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
1 2 |
|
Рис. 6.2 |
Рис. 6.3 |
77
1
E I |
|
|
E I |
E I |
|
|
i |
|
|
|
|
P = 20кН |
|
1 |
|
|
|
E I |
E I |
( i ) |
|
||
|
|
1 |
l= 4 м |
l= 4 м |
|
2 |
q = 2кН /м |
i |
|
|
1 |
м |
E I |
E I |
|
|
( i |
) |
|
4 |
|
||
|
1 |
м |
|
l= |
E I |
E I |
|
|
4 |
||
|
|
|
l= |
м |
|
|
|
4 |
|
|
|
l= |
|
|
|
|
l= 4 м |
l= 4 м |
|
3 |
i |
4 |
q = 20 кН /м |
|
1 |
|
|
P = 40кН |
E I |
|
|
||
|
(i ) |
|
|
1 |
|
|
м |
i |
|
4 |
|
E I |
l= |
1 |
|
||
|
E I |
|
l= 4 м |
l= 4 м |
( i ) |
|
|
1 |
E I |
E I |
E I |
м |
3 |
|
|
l= |
l= 2 м |
l= 4 м |
Рис. 6.4
78
Список литературы
1.Анохин, Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах: ч. I. Стати-
чески определимые системы/ Н.Н. Анохин. – М.: Высшая школа, 1999.
2.Дарков, А.В. Строительная механика/ А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников.–
М.: Высшая школа, 1986.
3.Киселев, В.А. Строительная механика/ В.А. Киселев. – М.: Стройиздат,
1986. – 520 с.
4.Леонтьев, Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем/
Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.: изд-во АСВ, 1996.
5.Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механи-
ки/под ред. Клейна Г.К. – М.: Высшая школа, 1973.
6.Строительная механика в примерах и задачах/ Под ред. Киселева В.А. –
М.: Стройиздат, 1968. – 386 с.
7.Строительная механика/ Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников Н.Н. – М.: Стройиздат, 1981. – 511 с.
79
Содержание
ВВЕДЕНИЕ................................................................................................................... |
3 |
1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ............................ |
4 |
1.1. О расчетных схемах .............................................................................................. |
4 |
1.2. Классификация стержневых систем.................................................................... |
4 |
1.3. Понятие числа степеней свободы системы и виды связей ............................... |
7 |
1.4. Необходимые условия геометрической неизменяемости стержневых и |
|
шарнирно-стержневых систем .................................................................................. |
10 |
1.5. Способы образования геометрически неизменяемых систем ........................ |
11 |
2. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ ......................................................... |
15 |
2.1. Аналитический расчет рам................................................................................. |
16 |
2.2. Задание для выполнения задачи № 1 «Расчет плоских статически |
|
определимых рам расчетно-графической работы № 1»......................................... |
33 |
3. МНОГОПРОЛЕТНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ................. |
37 |
3.1. Образование многопролетных статически определимых балок .................... |
37 |
3.2. Аналитический расчет многопролетных статически определимых балок на |
|
неподвижную нагрузку.............................................................................................. |
38 |
4. ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ .................................. |
45 |
4.1. Способы расчета ферм........................................................................................ |
45 |
4.2. Задание для выполнения задачи № 2 «Расчет плоских................................... |
54 |
статически определимых ферм расчетно-графической работы № 1» .................. |
54 |
5. ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ .................................................................................. |
63 |
5.1. Расчет на неподвижную нагрузку ..................................................................... |
63 |
5.1.2.Определение изгибающих моментов .............................................................. |
65 |
5.1.3. Определение поперечных сил......................................................................... |
66 |
5.1.4. Определение продольных сил......................................................................... |
66 |
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ ..................................... |
72 |
ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ ОТ НАГРУЗКИ ................................................... |
72 |
6.1.Определение перемещений от заданной нагрузки ........................................... |
72 |
6.2. Вычисление интеграла, входящего в формулу перемещений........................ |
73 |
Список литературы .................................................................................................... |
78 |
80
Владимир Порфирьевич Гущин Владимир Иванович Пашкевич Николай Васильевич Стопкин Надежда Юрьевна Трянина Анна Александровна Юлина Борис Борисович Лампси
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
Часть I. Статически определимые системы
Учебное пособие
Редактор Д.М. Фетюкова
Подписано в печать Формат 60 90 1/16. Бумага газетная.
Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4,1. Усл.печ. л. 4,9. Тираж 400 экз. Заказ №
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет», 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65
Полиграфцентр ННГАСУ, 603950, Н.Новгород, Ильинская, 65