4.2. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (Теорема Штейнера)

Рассмотрим моменты инерции механической системы относительно осей параллельных систем координат (рис. 10). Рассмотрим две системы прямоугольных взаимно параллельных осей Oxyz и Cx^/y^/z^/.

Пусть начало системы координат Cx^/y^/z^/ находится в центре масс механической системы, в точке С.

Рис. 10. Моменты инерции относительно координатных осей

По определению момента инерции относительно оси, получим

где – масса точки,

, ,– координаты точкиотносительно системы координатOxyz,

, ,– координаты точкиотносительно системы координатCx^/y^/z^/.

Обозначим координаты центра масс механической системы, точки С, относительно осей координат Oxyz как a, b, c. Тогда, для взаимно параллельных осей координаты одной и той же точки связаны следующими соотношениями параллельного переноса:

, ,.

Подставив эти выражения координат в выражение момента инерции после преобразований, получим

,

где – масса системы,

–так как ,

–так как ,

–расстояние между осями Oz и Cz^/.

Учитывая приведенные выражения окончательно, получим

. (3.11)

Формула (3.11) выражает теорему Штейнера, устанавливающую зависимость моментов инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.

Момент инерции системы относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Из теоремы Штейнера (3.11) следует, что для совокупности параллельных осей момент инерции является наименьшим относительно оси проходящей через центр масс.

4.3. Моменты инерции простейших однородных тел

В табл. 1 приведены моменты инерции для простейших однородных тел.

таблица 1

Моменты инерции твердых однородных тел

	Название фигуры	Рисунок	Моменты инерции
1	Стержень
2	Прямоугольная пластина
3	Круговой диск
4	Прямой круговой цилиндр
5	Шар

Тема 3. Общие теоремы динамики механической системы

1. Понятие о внутренних и внешних силах системы

Введем понятие внешних и внутренних сил механической системы.

Внешние силы механической системы - это силы, с которыми действуют на точки рассматриваемой системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему.

Внутренние силы механической системы - это силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы.

Внешние и внутренние силы могут включать в себя как активные силы, так и реакции связей.

Рассмотрим простейшее свойство внутренних сил, сформулированное как теорема о главном векторе и главном моменте внутренних сил системы.

Главный вектор и главный момент всех внутренних сил системы относительно произвольно выбранного центра равны нулю при любом состоянии системы.

Докажем эту теорему.

Рассмотрим систему, состоящую из n точек, где n – любое конечное число точек. Рассмотрим две произвольные точки системы A₁ и A₂ (рис. 11).

Так как силы действия и противодействия всегда равны друг другу по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой линии соединяющей взаимодействующие точки, то для точек А₁ и А₂ справедливо равенство

.

Главный вектор внутренних сил состоит из векторной суммы таких сил действия и противодействия, так как вся система состоит из пар взаимодействующих точек. Следовательно, для главного вектора, получим

. (4.1)

Проецируя на координатные оси, получим:

;

; (4.1^/)

.

Внешние силы тоже являются силами взаимодействия, но для них силы действия приложены к точкам рассматриваемой системы, а силы противодействия приложены к телам и точкам не входящим в эту систему.

Рассмотрим теперь сумму моментов сил иотносительно произвольной точкиO. Очевидно, что

,

так как обе силы имеют одинаковые плечи и противоположные направления векторных моментов.

Главный момент внутренних сил относительно точкиO состоит из векторной суммы таких выражений, равных нулю, поэтому получим

. (4.2)

Проецируя на оси координат, получим

,

, (4.2^/)

.