3. Статические моменты массы системы

Введем понятие статических моментов инерции массы. Из формул (3.1) и (3.2), получим

- статический момент массы системы относительно полюса О,

- статический момент массы системы относительно плоскости yOz,

- статический момент массы системы относительно плоскости xOz,

- статический момент массы системы относительно плоскости xOy.

Примем центр масс системы C за полюс. Обозначим радиус-вектор точки системы массойотносительно полюсаC (рис. 9).

Тогда для статического момента массы системы относительно центра масс, получим

,

так как . Таким образом, статический момент массы системы относительно ее центра масс равен нулю.

Статический момент массы системы относительно любой плоскости, проходящей через ее центр масс, также равен нулю. Введем определение центра масс системы. Центром масс системы называют точку, относительно которой статический момент массы системы равен нулю.

4. Моменты инерции

При решении многих практических задач динамики системы, часто используют понятия моментов инерции системы относительно точки, оси или плоскости. Моменты инерции характеризуют распределение массы системы по отношению к выбранному полюсу, плоскости или оси.

4.1. Определения и общие формулы

Моментом инерции массы системы относительно точки (полюса) O называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо точки O. Момент инерции массы системы относительно точки определяют по формуле

(3.3)

Моментом инерции массы системы относительно оси Oz называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо осиOz. Момент инерции массы системы относительно оси определяют по формуле

(3.4)

Моментом инерции массы системы относительно плоскости xOy называется сумма произведений масс точек на квадраты их расстоянийдо плоскостиxOy. Момент инерции массы системы относительно плоскости определяют по формуле

(3.5)

Моментом инерции массы твердого тела относительно какой-либо оси Oz является предел суммы произведений всех элементов массы тела на квадраты соответствующих расстоянийдо этой осиOz при условии, что каждый элемент массы стремится к нулю. Момент инерции массы твердого тела относительно плоскости определяют по формулам

,(3.6)

.(3.7)

В Международной системе единиц момент инерции измеряется в кг · м²,

.

При решении задач момент инерции твердого тела относительно оси представляют как произведение массы тела на квадрат некоторого расстояния, называемым радиусом инерции,

. (3.8)

где –радиус инерции тела относительно оси,

. (3.9)

Учитывая зависимость радиус-вектора точки от ее координат , для момента инерции механической системы относительно начала координат по формуле (3.3) получим,

,

где - массаk-й точки системы,

- радиус вектор k-й точки системы,

- координаты k-й точки системы.

Осевые моменты инерции системы можно выразить формулами

; ;.

Складывая осевые моменты инерции, получим

. (3.10)

Формула (3.10) выражает связь между моментами инерции относительно осей координат и моментом инерции относительно начала координат.