Тема 5. Метод кинетостатики

1. Принцип Даламбера для материальной точки

Рассмотрим материальную точку М, массой m, движущуюся с ускорением , под действием активной силыи реакции. Запишем основной закон динамики для материальной точки:

. (6.1)

Перенося все слагаемые в правую часть, получим

. (6.2)

Введем в рассмотрение понятие силы инерции.

Сила инерции – это некоторая фиктивная сила, действующая на материальную точку только при ее движении с ненулевым ускорением, равная по величине произведению массы материальной точки на ее ускорение и направленная противоположно вектору ускорения.

Силу инерции, действующую на материальную точку, определяют по формуле

. (6.3)

Учитывая приведенное определение силы инерциии, выражение (6.2) примет вид

. (6.4)

Формула (6.4) выражает принцип Даламбера для материальной точки. Это принцип формулируют следующим образом: при движении материальной точки активные силы, реакции связей и сила инерции образуют равновесную систему сил.

2. Принцип Даламбера для механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. К каждой точке системы в общем случае приложены равнодействующая активных сил, равнодействующая реакцийи сила инерции. Применяя принцип Даламбера (6.4) для каждой точки системы, получим

. (6.5)

где k = 1,2,3,…,n.

Система n уравнений (6.5) выражает принцип Даламбера для системы, который формулируют следующим образом: при движении механической системы активные силы, реакции связей и сила инерции образует равновесную систему сил для каждой точки системы.

Суммируя (6.5) по всем точкам системы, получим

, (6.6)

где - главный вектор активных сил,

- главный вектор реакций связей,

- главный вектор сил инерции.

Умножая векторным способом все слагаемые выражения (6.6) на радиус-вектор точки , относительно произвольно выбранного центраO, получим

,

или

, (6.7)

где - главный момент активных сил,

- главный момент реакций связей,

- главный момент сил инерции.

Таким образом, для системы материальных точек имеем два векторных уравнения

,

(6.8)

.

Проецируя эти уравнения на оси координат, получим шесть уравнений метода кинетостатики:

;

;

;

(6.9)

;

;

.

Определим главный вектор и главный момент сил инерции.

Разложим главный вектор и главный момент активных сил и реакций связей на главный вектор и главный момент внешних и внутренних сил системы

,

.

Учитывая свойства внутренних сил системы (4.1) и (4.2), получим

,

.

Тогда уравнения (6.8) примут вид

,

.

Выражая главный вектор и главный момент сил инерции, получим

, (6.10)

. (6.11)

По теореме о движении центра масс (4.16), получим

, (6.12)

где - главный вектор сил инерции,

- масса системы,

- ускорение центра масс системы.

По теореме об изменении кинетического момента (4.23) получим

, (6.13)

где - кинетический момент системы относительно центраO.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Oz, по формуле (4.27), получим

, (6.13)

где - главный момент сил инерции,- момент инерции твердого тела относительно сои вращения,- угловое ускорение тела.