5.6. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью (рис. 17).

Рис. 17. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Из теоремы об изменении кинетического момента (4.23^/), имеем

.

При вращении твёрдого тела, вокруг неподвижной оси Oz кинетический момент определяется по формуле , учитывая это, получим

.

Из кинематики твердого тела известна зависимость

,

где - угол поворота тела относительно неподвижной осиOz.

Окончательно получим

,

. (4.27)

Выражение (4.27) представляет собой дифференциальное уравнение вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

Это уравнение полностью аналогично уравнению поступательного движения твердого тела (4.17^/). В уравнении (4.27) момент инерции I_z является аналогом массы ,играет роль линейного ускорения, а сумма моментов внешних силиграет роль главного вектора внешних сил.

Под действием системы внешних сил в подпятникеА и подшипнике В возникнут реакции и, эти реакции тоже являются внешними силами, но их моменты относительно оси вращенияOz равны нулю, так как их линии действия пересекают эту ось, поэтому при составлении дифференциальных уравнений вращательного движения эти реакции можно не учитывать.

Дифференциальное уравнение (4.27) позволяет решать две основные задачи, которые аналогичны первой и второй задачам динамики точки. Рассмотрим формулировки этих задач.

1. Первая задача. По заданному закону вращения и известному моменту инерции твердого тела относительно оси вращениятребуется определить момент внешних сил относительно этой оси.

2. Вторая задача. По заданным начальным условиям ,и известному моменту внешних сил относительно оси вращения требуется определить закон вращения тела как функцию времени.

Решение первой задачи аналогично решению первой основной задачи динамики материальной точки, решение второй задачи аналогично решению второй основной задачи динамики материальной точки. Методы интегрирования уравнения (4.27) аналогичны методам интегрирования уравнений (2.3^/). На первом этапе интегрирования определяется угловая скорость и её зависимость от времени, на втором этапе определяется закон вращения.

5.7. Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела

Рассмотрим движение твёрдого тела в плоскости Oxy, под действием системы внешних сил . За полюс примем центр масс этого тела точкуС (рис. 18).

Рис. 18. Плоское движение твердого тела

Введём подвижную систему координат Сx₁y₁z₁ в центре масс тела таким образом, чтобы ее оси были параллельны неподвижным осям системы Oxyz.

Плоское движение твёрдого тела рассмотрим как сумму двух движений: движения полюса C (материальной точки) и движения твёрдого тела по отношению к полюсу, которое носит вращательный характер (вращение вокруг подвижной оси Сz₁).

Положение центра масс системы С по отношению к неподвижным осям определяется координатами .

Используя теорему о движении центра масс системы (4.16^/), получим

,

.

Положение произвольной точки B по отношению к полюсу (центру масс C), в любой момент времени характеризуется углом поворота φ, отсчитываемым от положительного направления оси Ox₁

Используя дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела (4.27), получим

,

где - момент инерции твердого тела относительно центральной осиCz₁,

- сумма алгебраических моментов внешних сил относительно центральной оси Cz₁.

Окончательно для твердого тела, совершающего плоское движение (имеющего три степени свободы), получим три дифференциальных уравнения

,

, (4.28)

.

Полученные уравнения (4.28) называют дифференциальными уравнениями плоского движения твердого тела.