10303

Лекция 51. Применение двойных интегралов для вычисления площади поверхности и решения задач механики

51.1. Вычисление площади поверхности с помощью двойного ин-

теграла. Мы умеем вычислять площади поверхности цилиндра и конуса, переходя к их развѐрткам на плоскость (рис. 51.1 и 51.2).

r

Рис.51. 2

Перейдѐм к более сложной ситуации. Рассмотрим в пространстве поверхность, заданную уравнением z f (x, y). Часть этой поверхности, ог-

раниченную линией Г , обозначим Q . Предполагаем при этом, что функция z f (x, y)является непрерывной вместе со своими частными производными. Ставим задачу найти площадь S поверхности Q . Для еѐ реше-

ния можно использовать двойной интеграл. Но вначале нужно определить, что понимать под площадью поверхности в этом случае.

72

Проекцию пространственной линии Г на плоскость xOу обозначим L .Проекцию поверхности Q на плоскость xOу обозначим D –это плоская область, ограниченная линией L .Разобьѐм область D на n частей D1, D2 , ..., Dn . В каждой подобласти Di выберем точку Pi (xi , yi ) . Этой точке соответствует на поверхности Q точка Mi (xi , yi , zi ) (рис. 51.3).

Рис. 51.3

Проведѐм через точку Mi касательную плоскость αi к поверхности Q . Еѐ уравнение имеет вид

кости выделим область Qi , которая проецируется на частичную подобласть Di в плоскости xOу (рис. 51.4). Площадь подобласти Qi обозначим qi . Если для всех частей Di плоской области найти соответствующие им области Qi на касательных плоскостях к исходной поверхности, то сумма

n

их площадей In

i 1

площади.

Рис. 51.4

Ясно, что чем «мельче» будет разбита область D на части, тем точнее сумма In будет соответствовать тому числу, которое следует считать

площадью поверхности Q . За точное значение S площади поверхности Q естественно принять предел сумм In при неограниченном увеличении числа подобластей Di . Как обычно, будем предполагать, что диаметр раз-

двугранный угол, измеряющийся линейным углом, который мы обозна-

51.2. Масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции плоской фигуры. Если плоскую область рассматри-

вать как материальную пластинку, толщиной которой можно пренебречь, то с помощью двойного интеграла можно находить для неѐ координаты центра тяжести и моменты инерции относительно некоторой оси или точки.

Напомним, что для системы n материальных точек (xi , yi ) , с массами mi (i 1, 2, , n) , расположенных на плоскости координаты центра тяжести вычисляют по формулам

называются статическими моментами системы точек относительно координатных осей Oy и Ox .

Моментом инерции I1 материальной точки P с массой m относи-

тельно какой-либо оси называется произведение массы m на квадрат

ментов инерции точек системы, т.е., моменты инерции относительно координатных осей Oy и Ox имеют вид

Физические понятия, рассмотренные для системы масс, перенесѐм на

Поверхностной плотностью γ в точке P называется предел приближѐн-

своя, отличная от плотности в других точках, то есть поверхностная плотность является функцией точки. Поскольку точка P на плоскости xOу

задаѐтся двумя координатами, получаем функцию двух переменных

γ γ(x, y) .

Разобьѐм область D на малые подобласти Di , в каждой из которых выберем произвольную точку Pi (xi , yi ) с плотностью γ(xi , yi ) в ней.

Точное значение массы рассматриваемой плоской пластинки D получим, устремив к нулю размеры частей Di , на которые она раздроблена

При диаметре разбиения, стремящемся к нулю, интегральные суммы перейдут в пределе в двойные интегралы, которые называются статически-

ми моментам и плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox

плоской фигуры, имеют тот же вид, что и для системы материальных то-

77

уже не через суммы, а с помощью двойных интегралов.

Для однородной пластинки D , имеющей постоянную во всех точках поверхностную плотность γ(x, y) γ , масса выражается через еѐ площадь M S , а при вычислении статических моментов постоянный множитель можно вынести за знак двойных интегралов. Поэтому формулы для ко-

ординат центра тяжести в этом случае приобретают вид

Рассуждая аналогичным образом, моментом инерции плоской фигу-

ры D относительно некоторой оси или точки назовѐм двойной инте-

грал по этой области от функции, равной квадрату расстояния от точки фигуры до этой оси или точки. В частности, моменты инерции относительно координатных осей приобретут вид

Определим координаты центра тяжести однородного полукруга ра-

диуса R (см. рис. 51.6)

y

Рис. 51.6

Перейдѐм в двойном интеграле к полярным координатам и вычислим

его

78

центра. Для этого начало координат расположим в центре круга. Считаем

79

Лекция 52. Определение тройного интеграла и его вычисление

в декартовых и цилиндрических координатах

Перейдѐм теперь к функциям трѐх переменных. Для их интегрирования введѐм ещѐ один вид интеграла.

52.1. Задача о нахождении массы материального тела. Рассмотрим ограниченное материальное тело G в пространстве и поставим задачу найти его массу. Для введения понятия объѐмной плотности рассмотрим про-

ще говоря, своя, отличная от плотности в других точках, то есть объѐмная плотность является функцией точки (x, y, z) .

Воспроизведѐм рассуждения, аналогичные тем, которые использовались при нахождении объѐма цилиндрического тела и массы плоской пла-

Под диаметром разбиения понимаем, как и ранее, наибольший из диаметров тел Gi , и в качестве диаметра пространственной области (т.е. тела Gi )

рассматриваем наибольшее расстояние между его точками. Если будет су-

52.2. Определение тройного интеграла. Чтобы ввести математиче-

In при диаметре разбиения, стремящемся к нулю, и этот предел не зависит

f (x, y, z)dV .

Используя независимость предела интегральных сумм для интегрируемой функции от способа разбиения исходной области на части, разобьѐм область на подобласти плоскостями, параллельными координатным плоскостям ( x const , y const и z const ). Три пары параллельных

между собой плоскостей ограничивают область i , представляющую собой параллелепипед (рис. 52.1), объѐм которого выражается через прира-