10303

где m – число совпадений корней характеристического уравнения с характеристикой правой части α + βi, а Qn (x) и Rn (x) – многочлены степени n , коэффициенты которых подлежат определению. Заметим, что в решение входит «полный» тригонометрический многочлен, содержащий как синус, так и косинус, и что перед каждой тригонометрической функцией в качестве множителя находится «свой» многочлен.

В заключение этого раздела подчеркнем, что если правая часть уравнения (46.1) представляет собой сумму двух функций

f (x) = f1(x) + f2 (x),

то следует найти частные решения y1(x) и y2 (x) уравнения (46.1) с правыми частями f1(x) и f2 (x), соответственно. Тогда частное решение исходного уравнения (46.1) равно сумме этих частных решений

y(x) = y1(x) + y2 (x) .

Это легко проверяется подстановкой y(x)в уравнение

(y1 + y2 )′′ + a1(y1 + y2 )′ + a2 (y1 + y2 ) =

=y1′′ + a1y1′ + a2 y1 + y2′′ + a1y2′ + a2 y2 = f1 + f2.

46.2.Метод вариаций произвольных постоянных – это метод нахождения частного решения y(x)линейного неоднородного дифферен-

циального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

y′′ + a1y′ + a2 y = f (x)

с помощью известного общего решения однородного уравнения

y′′ + a1y′ + a2 y = 0 .

Если метод неопределённых коэффициентов применим для правых частей, имеющих специальный вид, то рассматриваемый метод является общим. В соответствии с ним частное решение y(x)будем искать «похожим» на решение однородного уравнения

y0 (x) = C1 y1(x) + C2 y2 (x) ,

42

где y1(x) и y2 (x) – два каких-либо линейно независимых решения соответствующего однородного уравнения, а вместо постоянных C1 и C2 стоят функции u1(x)и u2 (x) , т.е. в виде

y(x) = u1(x)y1(x) + u2 (x)y2 (x).

Задача состоит в нахождении этих функций. Отсюда название – метод вариаций постоянных (постоянные варьируются, изменяются). В дальнейшем, для краткости будем опускать аргументы функций.

Вычисляем производную

y′(x) = u1′y1 + u1 y1′ + u2′ y2 + u2 y2′ .

Перед вычислением второй производной, потребуем дополнительно, чтобы

Далее мы увидим, что это ограничение поможет нам найти требуемые функции. Тогда

и

y′′(x) = u1′y1′ + u1 y1′′+ u2′ y′2 + u2 y2′′.

Подставляя в уравнение y′′ + a1 y + a2 y = f (x) и группируя слагаемые,

получаем

u1(y1′′+ a1y1′ + a2 y1) + u2 (y2′′ + a1 y2′ + a2 y2 ) + u1′y1′ + u2′ y2′ = f (x).

Отсюда, наряду с условием (46.5), получаем ещё одно условие u1′y1′ + u′2 y′2 = f (x) .

Таким образом, мы имеем линейную систему уравнений относительно производных искомых функций

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций y1(x) и y2 (x) , то он не равен нулю и эта система имеет единственное решение

43

и запишем частное решение неоднородного уравнения

y(x) = ∫ϕ1(x)dx y1(x) + ∫ϕ2 (x)dx y2 (x).

Пример. Найти общее решение уравнения y′′ + y =1sin x.

Решаем соответствующее однородное уравнение y′′ + y = 0. Его ха-

рактеристическое уравнение λ 2 +1= 0 имеет комплексные корни λ1,2 = ±i. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид

yодн = C1 cos x + C2 sin x .

Применяя метод вариаций, будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

y(x) =u1(x)cosx+u2(x)sinx.

Для производных искомых функций составляем систему

u1′cos x + u2′ sin x = 0

−u1′sin x + u2′ cos x =1sin x.

Умножим первое из уравнений системы наcos x , второе – на (−sin x) и сложим. Тогда получим

u1′(x) = −1, u2′ (x) = cos xsin x

и после интегрирования

u1(x) = −x,u2 (x) = ln sin x .

Итак, общее решение уравнения

y = C1 cos x + C2 sin x − xcos x + sin x ln sin x .

44

Лекция 47. Биения и резонанс

Рассмотрим теперь случай, когда на колебательную систему воздействует периодическая внешняя сила. Этот случай встречается наиболее часто: давление газа на поршень в двигателе внутреннего сгорания, удары рельса на стыке по колесу железнодорожного вагона, действие струи газа или пара на лопатку турбины, удары волн о корпус судна и т.д. Для простоты анализа будем предполагать, что сопротивление среды отсутствует.

где ω1 – частота колебаний вынуждающей силы.

Решение однородного уравнения приведено это гармонические колебания с частотой ω . При нахождении частного решения неоднородного уравнения y(x)будем различать два случая. Сначала пусть частота вынуждающей силы не совпадает с частотой собственных колебаний, т.е. ω1 ≠ ω . Тогда, применяя метод неопределенных коэффициентов, решение y(x)будем искать в виде

y(t) = M cosω1 t + N sinω1 t .

Посмотрим, что произойдет, когда частота вынуждающей силы и собственная частота близки, т.е. ω ≈ ω1. Вернемся к записи общего решения уравнения (47.1) в виде

45

Для простоты возьмем частное решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям: y(0) = 0, y′(0) = 0. Нетрудно проверить, что ему отве-

чают значения постоянныхC = 0, C = − Aω1 .Таким образом, част-

1 2 (ω2 − ω21)ω

ное решение имеет вид

A

y(t) = (ωsinω t − ω sinωt).

(ω2 − ω12)ω 1 1

В случае близости частот выражение в скобках можно преобразовать к следующему виду:

ωsinω1t −ω1sinω t ≈ ω (sinω1t −sinω t) =

=ω 2cos ω1+ ωt sin ω1− ωt ≈ 2ω sin ω1− ωt cosω t .

Первый множительsin ω1− ωtмедленно меняющаяся функция времени, а 2

второй – cosωtбыстро изменяющаяся функция. В приближённом решении уравнения

множитель перед быстро изменяющимся косинусом можно рассматривать как «амплитуду» этого сложного колебания, называемого биением.

Пример «сложения» таких колебаний приведён на рисунке 47.1. Теперь пусть частота внешней вынуждающей силы и собственная час-

тота совпадают, т.е. ω= ω1 . Найдем решение уравнения

y′′ + ω2 y = Asinωt .

Характеристика правой части уравнения совпадает с корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

y(t) = t(M cosωt + N sinωt).

46

Рис. 47.2

Итак, мы выяснили, что при отсутствии сопротивления среды и при совпадении частоты приложенной силы с частотой собственных колеба-

47

Решение соответствующего неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями имеет вид

или

y(t) ≈ e−0,1t (9/8sint + 5/2cost) +1/8sint − 5/2cost .

48

Как видим, хотя амплитуда внешнего воздействия на колебательную систему всего 0,5, тем не менее эта внешняя сила «раскачала» систему до колебаний с амплитудой примерно 2,5. В дальнейшем система будет колебаться с частотой вынуждающей силы, а амплитуда колебаний расти не будет (см.рис. 47.4).

49

Лекция 48. Системы дифференциальных уравнений

48.1. Нормальные системы. Во многих задачах математики, физики, механики требуется найти несколько функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Совокупность таких уравнений называется системой дифференциальных уравнений. Например, расчёт траектории полёта ракеты к Луне сводится к решению системы из двенадцати дифференциальных уравнений второго порядка (по «закону всемирного тяготения» рассматривается движение четырёх тел: ракеты, Луны, Земли и Солнца).

Выделяют так называемые нормальные системы дифференциальных уравнений следующего вида

Решение системы – это совокупность функций

y1(x), y2(x),…, yn(x), a ≤ x ≤b,

удовлетворяющих каждому из уравнений системы. Ясно, что это не любые функции, а дифференцируемые функции в указанном промежутке.

К нормальной системе дифференциальных уравнений может быть приведено дифференциальное уравнение высокого порядка. В частности, мы уже сталкивались ранее с решением дифференциального уравнения второго порядка вида y′′ = f (x, y′), т.е. когда уравнение не содержало в явном виде неизвестную функцию y . В этом случае мы вводили ещё одну неизвестную функцию p(x) = y′ и, тем самым, сводили решение уравнения второго порядка к решению системы двух уравнений первого порядка

dy

dx = p

dp = f (x, p)

dx

50

Только эта система очень просто «устроена»: сначала нужно решить второе уравнение относительно функции p(x), а затем вернуться к первому уравнению и найти y(x).

К нормальной системе дифференциальных уравнений сводится математическая модель движущейся материальной точки массыm. Пусть

радиус-вектор этой точки в декартовой системе координат. Скорость и ускорение точки определяются формулами

Если считать неизвестными не только координаты точки, но и проекции скорости точки на координатные оси, то придём к нормальной системе из шести дифференциальных уравнений. Здесь производные по переменной t обозначены для краткости точкой сверху.

51