10303

∫ f (x, y,z)dx,

AB

и называется криволинейным интегралом 2-ого рода по координате x от функции f(x,y,z)по кривой AB, т. е.

или на zi , то мы придем к определению криволинейных интегралов от функцииf(x,y,z) по координатам y или z, которые имеют обозначения

Если возвратиться к задаче о вычислении работы сил поля при перемещении материальной точки, то, используя введенные обозначения, формулу (54.2) можно переписать в виде

В дальнейшем большее внимание мы будем уделять плоским силовым полям. В этом случае F(x,y)=P(x,y)i +Q(x,y)jи формула для работы в таком силовом поле будет иметь вид

W = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy.

L

55.2. Свойства криволинейных интегралов 2-го рода. В определении криволинейного интеграла 2-го рода (как и в определениях интегралов других видов) много условий накладывается на факт его существования. Но оказывается, что, если в области D функцияf(x,y,z)непрерывна и кривая

Lимеет непрерывно изменяющуюся касательную, то криволинейные интегралы (55.4),(55.5) существуют.

Остановимся на свойствах криволинейного интеграла 2-го рода. Непосредственно из определения вытекает, что постоянное число можно выносить за знак криволинейного интеграла и интеграл от суммы или разности равен сумме и разности интегралов. Отметим еще следующие свойства.

1) ∫1dx= x(B)− x(A); ∫1dy = y(B)− y(A); ∫1dz = z(B)− z(A) ,

где x(B), y(B), z(B),x(A), y(A), z(A) – абсциссы, ординаты и аппликаты точек A

иB, соответственно.

2)Так как при изменении направления движения по кривой меняется знак приращения координат, то при вычислении криволинейного интеграла 2-го рода, в отличие от криволинейных интегралов 1-го рода, необходимо учитывать направление прохождения кривой AB. И потому:

3) Если точка C разбивает кривую на два участка AC и CB, то

4) Если при перемещении вдоль кривой L от точки A к точке B изменения какой-либо координаты не происходит, то криволинейный интеграл 2-го рода по соответствующей координате равен 0. Это означает, что, если кривая L лежит в плоскости x = x0 , то

∫ f (x,y,z)dx = 0.

AB

Аналогично,

∫ f (x,y,z)dy =0и ∫ f (x,y,z)dz=0,

если кривая Lлежит в плоскости y = y0 или в плоскости z = z0 . Приме-

нительно к решению задачи о вычислении работы при перемещении материальной точки в силовом поле этот факт означает, что, если движение по кривой происходит параллельно одной из координатных плоскостей, то проекция силы на ось, перпендикулярную этой плоскости, никакого вклада

вработу не привносит.

55.3.Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода сводится к вычислению определенных интегралов, причем формы сведения существенно зависят от того,

вкаком виде задана кривая, вдоль которой происходит интегрирование. В случае, когда ситуация рассматривается в пространстве, наиболее естественным является параметрическое задание кривой L, т.е. её определение в виде

x = x(t); y = y(t); z = z(t) α ≤ t ≤β,

113

причем параметру t = α соответствует точка A, а параметру t = β соот-

то в первом случае переменную x можно считать параметром, а во втором случае переменную y можно считать параметром и формула (55.8) примет вид

114

55.4. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. В физических задачах нередко возникают ситуации, когда криваяL, по которой происходит перемещение, представляет собой замкнутый контур, т.е. она является замкнутой и не пересекает сама себя (см. рис.55.4). Криволинейный интеграл 2-го рода, вычисляемый по такой кривой, называется криволинейным интегралом по замкнутому контуру, и он имеет специальное обозначение

В этих обозначениях не видна начальная точка A. Но из 3-го свойства криволинейных интегралов следует, что криволинейные интегралы (2.13) не зависят от положения начальной точки на контуреL, а зависят лишь от направления обхода контураL.

Рис. 55.4

Если на контуреLотметить две точки А и В и соединить их некоторой кривой АВ, то сформируются два контура: контур L1, проходимый в последовательности АВСА и контурL2, проходимый в последовательности ADBA. В таком случае будет справедлива формула

Сосредоточим внимание на случае, когда замкнутый контур L лежит на плоскости. Будем говорить, что этот контур обходится в положительном направлении, если ограниченная этим контуром область на плоскости остается слева от направления обхода.

116

Рис. 55.5

На рис.55.5,а) контур L обходится в положительном направлении, т.к. область D, ограниченн ая этим контуром, остается слева от направления обхода. Замкнутая область D на плоскости называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в области D, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя за пределы области D. Области, изображенные на рис. 55,а и рис.55.5,б являются односвязными, а область D изображенная на рис.55.6,в, ограниченная извне контуром C1, а изнутри контуром C2 таковой не является, т.к. контур C0 нельзя стянуть в точку, не выходя за преде-

лы области D.

Небольшой экскурс в область свойств и способов обхода замкнутых кривых на плоскости объясняется тем, что английский математик Джордж Грин доказал следующую теорему, которая устанавливает, на первый взгляд, несколько нео жиданную связь между криволинейными интегралами по замкнутому кон туру и двойными интегралами.

Теорема. Пусть функции P(x,y), Q(x,y) , Py′(x, y),Qx′(x, y) непрерывны в

односвязной области D, ограниченной контуром L, который имеет непрерывно меняющуюся касательную. Тогда справедлива сл едующая формула («Формула Грина»)

где контур L обходится в положительном направлении.

Иными словами, формула Грина позволяет вычисление криволинейного интеграла по зам кнутому контуру свести к вычислению двойного интеграла по области, ограниченной этим замкнутым конту ром. Поверив без доказательства в спра ведливость приведенной формулы, применим ее, например, для вычислен ия следующего криволинейного интеграла:

∫ (x2 + y2 )dx + (x + y)2 dy ,

L

117

Рис. 55.6

Применив формулу Грина (55.12), получаем

∫∫(x2 + y2 )dx + (x + y)2 dy = ∫∫( 2(x + y) - 4 y )dxdy = ∫∫ 2(x - y)dxdy =

Если в формуле (55.12)поменять местами левую и правую части, то можно будет увидеть, что формула Грина является обобщением формулы Ньютона–Лейбница. Действительно, по формуле Ньютона–Лейбница значение определенного интеграла по внутренности отрезк а равно разности значений первообразнной на концах отрезка. Также и формула Грина показывает, что значение двойного интеграла от функции, определенной во внутренности област и D может быть вычислено с помощью криволинейного интеграла от фуннкций, определенных только на границе этой области.

Лекция 56. Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования

В предыдущей лекции было обращено внимание на тот факт, что криволинейный интеграл 2-го рода зависит в общем случае не только от положения начальной и конечной точек на плоскости или в пространстве, но и от кривых, по которым происходит процесс интегрирования. В то же время, из курса физики известно, что в поле силы тяжести или в электростатическом поле работа сил поля по перемещению тела или заряда из одного положения в другое не зависит от пути, по которому это перемещение происходит. Также известно, что для каждого из упомянутых силовых полей существует так называемая потенциальная функция. Это означает, что с каждой точкой пространства удается связать некоторое число, называемое потенциалом, и работа сил поля по перемещению объекта из одного положения в другое определяется как разность потенциалов в конечной и начальной точках перемещения. Ранее было установлено, что работа сил поля вычисляется с помощью криволинейных интегралов 2-го рода. В связи с этим естественно возникает вопрос: «при каких условиях криволинейные интегралы2-го рода не зависят от пути интегрировании?» или в физической интерпретации: «когда исследуемые физические силовые поля обладают вышеуказанными свойствами?». В этой лекции будет дан исчерпывающий ответ на данный вопрос.

56.1. Случай плоского силового поля. Остановимся на случае плоского силового поля, т.е. на рассмотрении криволинейного интеграл

∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy .

AB

Следующая теорема показывает, что многие свойства силовых полей очень тесно взаимосвязаны и вытекают одно из другого.

Теорема. Если функции P(x, y), Q(x, y), Py′(x, y), Q′x (x, y) непрерывны в односвязной области D на плоскости, то следующие четыре утверждения эквивалентны:

1) По любому замкнутому контуру L, целиком лежащему в области D, выполняется равенство:

2) Для любых двух точек А и B, целиком лежащих в области D, криволинейный интеграл

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy

AB

119

или иными словами, для которой полный дифференциал определяется по формуле

Данную теорему надо понимать следующим образом: если одно из ее утверждений выполняется, то выполняются и все остальные. Поэтому доказать теорему можно по схеме: 1)→ 4)→ 3)→ 2)→ 1), из которой будет следовать эквивалентность всех утверждений. Приведем реализацию лишь последних двух фрагментов этой схемы. Покажем, что из справедливости 3) вытекает 2).

Итак, пусть Py′(x, y) ≡ Qx′ (x, y) в области D и пусть C произвольный замкнутый контур без самопересечений, целиком лежащий в области D, аD1есть область, ограниченная контуром C . По формуле Грина

∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫∫(Qx′(x, y) − Py′(x, y))dxdy = ∫∫0dxdy = 0.

Таким образом, криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру C равен нулю.

Докажем, что из справедливости 2) следует 1). Пусть M1 и M2 любые две точки из области Dи пусть L1 и L2 два пути, их соединяющие (рис. 56.1,а).

Рис. 56.1

120

Пусть C есть контурM1 AM2 BM1 . По условию интеграл по контуру C равен нулю. Свойства криволинейных интегралов позволяют записать цепочку равенств:

откуда и вытекает равенство

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

L1 L2

На рис. 56.1,a рассмотрен случай, когда пути L1 и L2 , соединяющие точки M1 и M2 не пресекаются. В случае, когда эти пути пересекаются, вышеприведенное равенство доказывается несколько сложнее (рис. 56.2,б).

Пусть функции P(x, y), Q(x, y) таковы, что выполняются условия выше

является обобщением на двумерный случай задачи о нахождении первообразных для функций от одной переменной.

Будем рассуждать следующим образом. Пусть M0(x0,y0) – некоторая фиксированная точка в области D, аM(x,y) – произвольная точка в области D. В силу теоремы, криволинейный интеграл

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy

M0M

Если в области D зафиксировать другую точку M1(x1,y1) ,то наши рассуждения дадут другую функцию:

M1M

Но по свойствам криволинейного интеграла

121