10303

где k есть постоянное положительное число. При k = 1 данный ряд совпадает с гармоническим рядом. Относительно таких рядов справедлив следующий факт (который далее будет доказан): при k > 1ряд (57.7) сходит-

ся, а приk ≤1 ряд (57.7) расходится.

Из этого факта следует, например, что обобщенный гармонический

В числителе общего члена данного ряда стоит многочлен 1-ой степени относительно n, а знаменатель при больших n ведет себя, как многочлен третьей степени от n. Поэтому в качестве ряда сравнения берем обобщенный

ду степенью многочлена в знаменателе и степенью многочлена в числите- ле). Найдем

Если теперь числитель и знаменатель разделить на n3 , то будем иметь

Таким образом, предел отношения общих членов этих рядов стремится к пределу, отличному от нуля. А так как ряд (ν ) сходится, то и ряд (u) сходится.

Признак Даламбера. (Жан Даламбер (1717 – 1783) – французский

∞

математик).Пусть дан ряд ∑ u n с положительными членами и пусть

n = 1

существует lim un+1 = q . Тогда: если q <1, то ряд сходится; еслиq >1,

n→∞ un

то ряд расходится; если q =1, то ничего определенного сказать нельзя

q1 = q +ε<1). Не теряя общности, можно считать, что N = 1. Тогда будем иметь

u2 < u1q1 , u3 < u2 q 1 < u1q12 , ... , un +1 < un q 1 < u1q1n ,.....

∞

Это означает, что члены исследуемого ряда меньше членов ряда ∑ u 1 q1n .

n =1

Но последний ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаменателем q1 <1 и потому является сходящимся. По признаку сравнения таковым является и исследуемый ряд. Аналогично доказывается и случай, когда q >1.

Признак Даламбера можно применять в тех случаях, когда переменная n в записи общего члена ряда стоит или в показателе степени, или вместе со знаком факториала.

дуемый ряд сходится.

Втех случаях, когда переменная n в записи общего члена ряда стоит

впоказателе степени, можно для исследования сходимости применять также радикальный признак Коши, доказательство которого похоже на

доказательство признака Даламбера.

ряд сходится; еслиq >1, то ряд расходится; если q =1, то ничего опре-

деленного сказать нельзя (нужны другие методы исследования).

При применении признака Коши полезно помнить, что lim n n = 1.

n → ∞

Более того, если Pk ( n ) есть многочлен степени k относительноn, с поло-

жительным коэффициентом при старшей степени, то

lim n Pk (n) = 1.

n → ∞

135

n =1

ложительными членами и пусть непрерывная, убывающая на участке [1;∞) функция y = f (x) такова, чтоf(n)=un. Тогда, если несобственный инте-

+∞

грал ∫ f (x)dx сходится (расходится), то и ряд (u) сходится (расходит-

1

ся).

Рассмотрим рис. 57.2. Cравнив площади «выступающей» из криволинейной трапеции ступенчатой фигуры и аналогичной фигуры, в ней содержащейся, мы получаем неравенства

136

n

частичные суммы ряда не ограничены и, следовательно, ряд расходится.

деть, что функция ϕ( x) = 1 x k при k > 0удовлетворяет перечисленным вы-

Если k < 1, то первое слагаемое при b → +∞ стремится к бесконечно-

довательно, несобственный интеграл сходится к числу1(k − 1) , а, значит, исследуемый ряд сходится. Таким образом, мы получили те выводы относительно сходимости обобщенных гармонических рядов, которые были декларированы ранее.

137

Лекция 58.Знакопеременные ряды

58.1. Знакопеременные ряды. Далее будем рассматривать ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Прежде всего, остановимся на знакочередующихся рядах. Для удобства будем предполагать, что первый член знакочередующегося ряда положителен. Тогда такой ряд можно записать в виде

Для таких рядов при выполнении некоторого дополнительного условия необходимый признак сходимости ряда оказывается и достаточным. Об этом говорит следующая теорема.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде

Действительно. Пусть Sn сумма первыхnчленов ряда (58.1). Если n= 2k, то, с одной стороны, можно записать, что

S2 k = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + .... + (u2 k −1 − u2 k ).

С другой стороны, можно записать, что

S2k = u1 − (u2 − u3) − (u4 − u5 ) −.... − (u2k −2 − u2k −1) − u2k < u1 .

Если n= 2k+1, то, с одной стороны, можно записать, что

S2k +1 = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + .... + (u2k −1 − u2k ) + u2k +1 .

С другой стороны, можно записать, что

S2k+1 = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) −.... − (u2k −2 − u2k −1 ) − (u2k − u2k +1 ) < u1.

Ввиду того, что члены ряда монотонно убывают, эти соотношения показывают, что обе последовательности S 2 k иS 2 k +1 , с одной стороны, монотонно

возрастают, а, с другой стороны, обе они ограничены числом u1. Следова-

тельно, эти последовательности имеют пределы S´иS´´. Но т.к. limun = 0и

n→∞

S2k +1 = S2k + u2k +1 , тоS´=S´´. Отсюда следуют утверждения теоремы.

Вторая часть утверждения, содержащегося в признаке Лейбница, очень существенна, ибо она, в случае сходимости ряда, позволяет оцени-

58.2. Абсолютная и условная сходимость рядов. Как подходить к анализу рядов на сходимость в случаях, когда никакой закономерности в чередовании положительных и отрицательных членов в числовом ряде не наблюдаются? В таких случаях может оказаться полезным рассматривать ряды, составленные из абсолютных членов исследуемого ряда.

Пусть дан ряд

с произвольными по знакам членами. Наряду с ним рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е. ряд

n=1

С точки зрения сходимости этих двух рядов оказывается справедливым следующий факт.

Если ряд (58.4) сходится, то ряд (58.3) также сходится. В этом случае ряд (58.3) называется абсолютно сходящимся рядом.

Если ряд (58.4) расходится, то ряд (58.3) может сходиться, а может расходиться. В тех случаях, когда ряд (58.3) сходится, а ряд (58.4) расхо-

дится, ряд (58.3) называется условно сходящимся рядом.

Рассмотренный выше ряд(58.2)является условно сходящимся, так как по признаку Лейбница он сходится, но ряд, составленный из его абсолютных величин, является гармоническим рядом, который (как уже много раз повторялось) расходится. Рассмотрим ряд

Ряд, составленный из абсолютных величин его членов

тому он сходится. Следовательно, рассматриваемый ряд сходится абсо-

лютно.

Принципиальную разницу между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами дает следующая теорема.

Теорема. При любой перестановке членов абсолютно сходящегося

ряда (при этом можно переставлять как конечное, так и бесконечное число членов) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме членов исходного ряда. При перестановке бесконечного числа членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий

любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Последний факт можно увидеть на следующем примере. Пусть

Переставим члены этого ряда так, чтобы после одного положительного члена стояли два отрицательных. Будем иметь:

Таким образом, путем перестановки бесконечного числа членов данного ряда получается ряд, сумма которого в 2 раза меньше суммы исходного ряда.

58.3. Функциональные ряды. Основные определения. Пусть име-

ется бесконечная последовательность функций

f1 (x), f2 (x),..., fn (x),...,

будет называться функциональным рядом, определенным в области D . Пусть, например, имеются три последовательности функций:

140

которые определены на всей числовой оси.

Пусть имеется функциональный ряд (58.5), определенный в области D . Если взять произвольное числоx0 из области D и подставить вместо x в (5), то получится числовой ряд:

Если ряд (58.6) сходится, то x0 называется точкой сходимости функ-

ционального ряда (58.5), в противном случае x0 называется точкой расхо-