10303

Полученный результат можно использовать для вычисления объѐма тела, ограниченного двумя поверхностями. Пусть тело G ограничено свер-

49.3. Свойства двойного интеграла. Поскольку двойной интеграл вводится по той же схеме, по которой вводился определѐнный интеграл функции одной переменной на отрезке, то свойства этих интегралов аналогичны. Они вытекают из рассмотрения соответствующих интегральных сумм. В частности, двойной интеграл суммы двух (или любого конечного числа) функций по области D равен сумме двойных интегралов по этой области каждой из функций в отдельности

Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла, т.е. при c const верно равенство

Если в качестве подынтегральной функции рассмотреть функцию, тождественно равную единице ( f (x, y) 1) , то в интегральной сумме все

слагаемые будут представлять площади частичных областей

Видим, что интегральная сумма при любом n в этом случае равна площади области S . Таким же, естественно, оказывается и предел интегральных сумм. Тем самым, получаем способ вычисления площади плоской области D с помощью двойного интеграла

1dxdy S .

D

Из последних двух свойств вытекает, что если m f (x, y) M в об-

Его геометрическая интерпретация состоит в следующем. Если дана функция z f (x, y) 0 в области D , то объѐм цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z f (x, y) , равен произведению площади его основания на среднее значение функции V fср S . Тем самым, f ср является высотой прямого цилиндра с основанием D , объѐм которо-

го равен объему исходного цилиндрического тела.

Поскольку функция, непрерывная в замкнутой и ограниченной области D , принимает все свои промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, то в этой области найдѐтся точка ( , ) , в которой достигается среднее значение функции, т.е.

f (x, y)dxdy f ( , ) S .

D

Последнее свойство является аналогом теоремы о среднем значении для определѐнного интеграла функции одной переменной.

63

Лекция 50. Вычисление двойного интеграла в декартовых

иполярных координатах

50.1.Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декарто-

вых координатах. Чтобы вычислить двойной интеграл, следуя введенному выше определению, мы должны были бы находить предел интегральных сумм, доказывая при этом его независимость от разбиения области и выбора точек в каждой подобласти. Такой способ при необходимости применяется в приближенных вычислениях двойных интегралов. Однако, подобно тому, как определенный интеграл по отрезку, являющийся пределом соответствующих интегральных сумм, находится с помощью формулы Ньютона-Лейбница, двойной интеграл может быть вычислен путем двух операций последовательного интегрирования.

Для этого нужно, прежде всего, точно описать область, по которой ведѐтся интегрирование. Область D назовем правильной в направлении

Это означает, что для правильной в направлении оси Oy (Ox) области всякая прямая, параллельная оси Oy (Ox) и проходящая через внутреннюю

точку области, пересекает границу области ровно в двух точках.

На рис. 50.1 изображены области, правильные в направлении обеих осей.

Рис. 50.1

64

Пусть z f (x, y) 0 – непрерывная на этой области функция. Напомним, что объѐм тела можно вычислить как интеграл от площадей его плоских сечений. А именно, если для каждого x [a,b] известна площадь S (x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox , то его объѐм

a

Используем эту формулу для вычисления двойного интеграла, помня, что он равен объѐму цилиндрического тела. Сечение цилиндрического тела плоскостью x x0 представляет собой криволинейную трапецию ABCE

(рис. 50.2).

Рис. 50.2

Если эту трапецию спроецировать параллельно оси Ox на плоскость

Рис. 50.3

65

Интеграл в правой части формулы (50.1) носит название повторного интеграла. Для его нахождения сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y в предположении, что x – постоянная величина. Затем

полученный результат интегрируется по переменной x – то есть вычисляется внешний интеграл. Для таких областей используется порядок интег-

то еѐ разбивают на правильные области. Например, область на рис. 50.4 разбита прямой y y0 на области D1 и D2 , являющиеся правильными

в направлении оси Oy .

Рис. 50.4

Если область D является прямоугольником со сторонами, параллель-

Заметим, что внешние пределы в повторном интеграле всегда постоянны, а во внутреннем интеграле пределы бывают постоянными числами только в том случае, если D – прямоугольник.

Рассмотрим для примера вычисление с помощью двойного интеграла объема тела, ограниченного гиперболическим параболоидом z xy ци-

линдром, y x2 и плоскостью y x (рис. 50.5).

Рис. 50.5

Как видим, область D является правильной в направлении обеих осей, тем самым можно использовать любой порядок интегрирования.

Заменим двойной интеграл повторным по формуле (50.1)

Найдѐм сначала внутренний интеграл по переменной y , считая перемен-

Рассмотрим для той же области, изображѐнной на рисунке 50.5, другой порядок интегрирования. В этом случае у внешнего интеграла пределы останутся прежними, так как в области D переменная y меняется от 0 до

1, а для нахождения функций ψ1( y) и ψ2 ( y) следует выразить x через пе

67

ременную y из уравнений линий, ограничивающих D . По формуле (50.2) получается, что

1 x 1 y

Теперь внутренний интеграл берѐтся по переменной x , а внешний – по переменной y

50.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Все проведѐнные до сих пор вычисления выполнялись в прямоугольной декартовой системе координат. Использование полярной системы координат даѐт возможность упростить вычисление двойного интеграла во многих случаях, например, если область интегрирования является сектором круга или кольца.

Введѐм на плоскости полярную систему координат, полюс которой совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось – с осью Ox . В этом случае полярные координаты связаны с декартовыми соотношениями

Двойной интеграл определялся как предел интегральных сумм. Поскольку этот предел для интегрируемой функции не зависит от способа разбиения исходной области на подобласти, мы можем разрезать область D на части

, расположенную внутри области (см. рис. 50.6). Площадь подсчитаем как разность площадей круговых секторов с центральным углом и радиусами и

68

В правой части последней формулы мы видим предел интегральной суммы для функции , поэтому получаем формулу вычисления двойного интеграла в полярных координатах

Коротко можно сказать, что при переходе в двойном интеграле к полярным координатам подынтегральная функция выражается через переменные r и с помощью формул (50.3), а выражение dxdy заменяется на произведение rdrd .

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах также производится повторным интегрированием, только теперь по переменным r и

. Область интегрирования D должна быть в этом случае правильной по отношению к полярной системе координат (рис. 50.7). Это означает, что

Рис. 50.7

Внешний интеграл берѐтся по переменной , и формула замены двойного интеграла повторным в полярных координатах выглядит следующим образом:

Рис. 50.8

Если полюс принадлежит области интегрирования (рис. 50.8), то в этой

Рис. 50.9

70