10298

Заметим, что это естественное обобщение формулы производной сложной функции одной переменной. В случае большего числа переменных, например, если z f (u(t),v(t), w(t)) , то

dz f du f dv f dw . dt u dt v dt w dt

37.2. Вычисление производной по направлению.Теперь мы можем получить формулу для вычисления производной по направлению. В самом деле, согласно определению (37.1) производная по направлению совпадает

Обратим только внимание на тот факт, что в определении производной по направлению мы приближаемся к данной точке с одной стороны, т.е. имеем односторонний предел. Например, частная производная по отрицательному направлению оси абсцисс отличается знаком от частной производной по переменной x .

Аналогичным образом вводится понятие производной по направлению для функции трёх переменных u F (x, y, z)

Приведём без доказательства формулы для производной сложной функции z f (u,v) , u u(x, y), v v(x, y) . В итоге

z f (u(x, y),v(x, y)) (x, y)

будет функцией двух переменных и ее частные производные находятся по формулам

37.3. Дифференцирование неявных функций. Полученные нами правила дифференцирования сложных функций позволяют более просто,

260

чем ранее, находить производные функций, заданных неявно. Пусть урав-

торую функцию двух переменных, у которой существуют частные производные. Как их найти?

Продифференцируем тождество F (x, y, z(x, y)) 0 по переменной x , рассматривая его левую часть как сложную функцию F (u,v, w) , где «проме-

37.4. Градиент.При исследовании поведения функции двух переменных в данной точке естественно задаться вопросом: в каком направлении производная самая большая? Другими словами, в каком направлении у поверхности z f (x, y) в данной точке самый крутой склон?

Для ответа на этот вопрос введем следующий вектор

gradz fx i fy j ,

261

называемыйградиентом. Предполагаем, что этот вектор не нулевой. Тогда согласно (37.2) производная по направлению в данной точке равна скалярному произведению градиента в этой точке на единичный вектор заданного направления

где – угол между векторами, видно, что направление наибольшего возрастания функции должно совпадать с направлением градиента функции в данной точке, т.к. наибольшее значение правой части этого равенства достигается при 0 . Теперь становится понятным геометрический смысл градиента.

Градиент – это вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке. Название происходит от латинского gradior

– идти вперёд. Термин и обозначение ввёл Максвелл, позаимство-

вав его из метеорологии. При первом появлении (1873г.) он намеревался дать название «скат» или «склон» скалярной функции f , используя слово

slope, чтобы указать направление наиболее быстрого убывания функции f

. Это свойство градиента применяется для численного поиска экстремумов функции многих переменных.

В трёхмерном случае градиент определяется как вектор, координаты которого есть частные производные скалярной функции u F (x, y, z)

gradF Fx i Fy j Fz k .

Выясним геометрический смысл модуля градиента функции двух переменных. Пусть e – единичный вектор направления наибольшего возрастания функции в данной точке. Тогда производная по этому направлению равна

отсюда следует, что модуль градиента – это «скорость» изменения функции в направлении наибольшего возрастания функции в данной точке. Как характеризует величина этой «скорости» поверхность z f (x, y) в окрестно-

стиданной точки? Рассмотрим сечение поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через точку и вектор e (см. рис. 37.1).

Рис. 37.1

Эту величину называют крутизной подъёма поверхности в данной точке. Теперь убедимся в том, что в каждой точке градиент направлен по нормали к линии уровня f (x, y) C , проходящей через данную точку.

Пусть функция z f (x, y) имеет непрерывные частные производные, а её линия уровня, проходящая через точку M 0 (x0 , y0 ) , имеет касательную в этой

точке. Обозначим направление этой касательной единичным вектором e . Тогда производная по этому направлению в точке M 0 из интуитивных со-

ображений должна быть равна нулю. Убедимся в этом.

Угловой коэффициент k1 касательной к линии уровня f (x, y) C с учетом формулы (1.4) дифференцирования неявно заданной функции равен

дикулярны (см. рис. 37.2), т.е. производная в направлении касательной к линии уровня равна нулю

z (gradz,e) 0 .

e

263

z

x

y

Рис. 37.4

37.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Пусть по-

верхность задана уравнением F (x, y, z) 0 . Будем предполагать, что в точке

ществуют, непрерывны и хотя бы одна из них отлична от нуля. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L , проходящую через точку M 0 . Пусть

она задана параметрическими уравнениями

Рассмотрим два вектора

265

38.1. Дифференцируемость функции двух переменных. Дифферен-

циал. Вспомним, что дифференцируемость функции одной переменной y f (x) в данной точке означает существование производной функции в

y y0 f (x0 )(x x0 ) ( x) x

«раскрывает» и геометрическое содержание свойства дифференцируемости: в окрестности точки x0 кривая y f (x) отличается от своей касатель-

ной в этой точке

Y y0 f (x0 )(x x0 )

на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем x (см. рис.

38.1).

Рис. 38.1

Как перенести это свойство на функции двух переменных? Нельзя ли функцию z f (x, y) , имеющую в точке (x0 , y0 ) непрерывные частные про-

изводные, представить приближённо в виде линейной функции двух переменных, т.е. чтобы её приращение в точке (x0 , y0 ) имело вид

Оказывается, можно, если функция «достаточно хороша».

Дадим теперь определение дифференцируемой функции двух переменных. Функция z f (x, y) дифференцируема в точке (x0 , y0 ) , если её при-

ращение в этой точке может быть представлено в виде (38.1). Ясно, что из дифференцируемости следует непрерывность. Действительно, перейдя в ра-

венстве (38.1) к пределу, получим lim z 0 , что и означает свойство

0

непрерывности.

Покажем, что существование частных производных в данной точке не влечёт за собой дифференцируемости функции в этой точке. Если в точке

уравнение плоскости можно написать, но назвать её касательной плоскостью в указанном выше смысле нельзя. Например, непрерывная функция

z = | x | | y |

имеет в начале координат частные производные равные нулю.

Приращение этой функции в начале координат равно z = x y . Но эта величина не является бесконечно малой более высокого порядка, чем

x2 y2 . Действительно, если x y , то отношение

не стремится к нулю при 0 . Поэтому плоскость z 0 нельзя считать касательной плоскостью к этой поверхности в точке (0,0) (см. рис. 38.2).