10298

Лекция 23. Исследование функций и построение их графиков (продолжение)

23.1. Выпуклость. Понятие выпуклости – одно из важнейших понятий всей математики. Мы ограничимся применением этого понятия к исследованию выпуклости графика функции. Обратимся к рисунку.

Пусть в промежутке (a,b) заданы две дифференцируемые функции. Их

графики – это непрерывные кривые, имеющие в каждой точке касательную. Обе функции возрастают в этом промежутке. Но график одной из них обращен «горбом» вниз, а у другой – в противоположную сторону. Это свойство кривой называют выпуклостью. Как описать это свойство в математических терминах?

В математике есть понятие выпуклой функции, применяемое к более широкому классу функций, чем класс дифференцируемых функций. Мы определим это понятие именно для дифференцируемых функций. Будем называть функцию y f (x) выпуклой (вниз) в промежутке (a,b) , если её

график лежит выше касательной в любой точке из этого промежутка (см.

рис. 23.2).

В противном случае функцию называют вогнутой (выпуклой вверх). Аналитически это свойство выразится следующим неравенством

f (x) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) Y (x) ,

правая часть которого представляет собой значение ординаты касательной.

161

R(x) f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) .

Применим формулу Лагранжа к разности f (x) f (x0 ) и получим

ведение ( x0 )(x x0 ) положительно независимо от расположения точки x

Рис. 23.3

162

Если же точка x расположена правее точки x0 (рис. 23.4), то картина будет следующей:

Поэтому график этой функции обращён выпуклостью вниз при отрицательных значениях аргумента и выпуклостью вверх при его положительных значениях.

Рис. 23.5

23.2. Точки перегиба.Точки графика функции, в которых направление выпуклости меняется на противоположное, называют точками перегиба. Например, у синусоиды это точки пересечения её графика с осью абсцисс. Необходимым условием существования точки перегиба графика дважды дифференцируемой функции является равенство нулю её второй производной в некоторой точке, а достаточным – перемена знака второй производной при «переходе» через эту точку. Найдем, например, точки перегиба кривой

163

Следовательно, точками перегиба могут быть только точки

При переходе через каждую из них вторая производная меняет знак, значит эти точки – точки перегиба (см. рис. 22.2).

При построении графиков полезно вычислить значение первой производной в точке перегиба, дающее направление касательной, относительно

которой происходит перегиб. В нашем примере y (P1,2 ) 0,65 .Кроме того

заметим, что в точках перегиба вторая производная может и не существовать, что видно на графике следующей функции

Рис. 23.6

23.3. Асимптоты. Иногда кривая, имеющая бесконечную ветвь, при удалении её точек в бесконечность «как бы выпрямляется» и приближается к некоторой прямой. Эту прямую называют асимптотой кривой (греч. asymptotos – несливающаяся). Если авторы этого термина подчеркивали то,

164

что кривая не сливается с прямой, то мы обращаем внимание на то, что расстояние точки кривой (x, f (x)) до прямой – асимптоты стремится к нулю

при движении точки вдоль кривой к бесконечности. Пример кривой, имеющей асимптоты, даёт график функции y 1 x

Рис. 23.7

Рассмотрим одну из ветвей этой кривой. Когда точка M (x, y) стремится к бесконечности, то расстояние её до оси Oy , равное d x , стре-

асимптота.Как найти вертикальные асимптоты кривой, заданной уравнением y f (x)? Необходимым условием для этого является существование точек разрыва функции. Достаточным условием будет одно из следующих:

lim f (x) ,

x x0 0

где x0 точка разрыва.

Горизонтальные асимптотыкривых, определённых в бесконечном промежутке, определяются существованием конечных пределов:

асимптоту y k x b . Как найти величины k и b ? Ограничимся рассмотрением случая, когда x .

165

Рис. 23.8

Для того чтобы произведение двух сомножителей, один из которых стремится к бесконечности, стремилось к нулю, необходимо стремление к нулю второго сомножителя, откуда имеем

Если при x также существует наклонная асимптота, то ее параметры находятся по аналогичным формулам с заменой x на x

. Если один из пределов не существует или равен , то соответствующей асимптоты нет. Например, функция y x2 не имеет асимптот. Или другой пример: для функции y x ln x имеем

166

т.е. у этой кривой нет наклонной асимптоты. Теперь приведем пример кривой, имеющей наклонную асимптоту

12

10

8

4

Рис. 23.9

23.4. Примерный план исследования функции. Приведём краткий перечень вопросов, на которые нужно ответить при исследовании функции.

1.Область определения. Чётность, нечётность, периодичность. Исследование в окрестности точек разрыва (возможны вертикальные

167

асимптоты). Точки пересечения с осями, поведение на бесконечности (возможны горизонтальные асимптоты).

2.Экстремумы. Интервалы возрастания и убывания (различать «гладкие» экстремумы и «остриё» или излом).

3.Точки перегиба, интервалы выпуклости (полезно вычислить производную в точке перегиба)

4.Наклонные асимптоты.

Заметим, что перечисленный порядок вопросов совсем не обязатель-

ный.

168

Лекция 24. Кривизна. Приближённое решение уравнений

24.1.Понятие кривизны.Одна и та же кривая в разных точках искривлена по-разному. Например, синусоида в точках пересечения с осью абсцисс почти прямая, а в вершинах дуг наиболее искривлена. Более того, на различных участках она искривлена в разном направлении. Нельзя ли както определить кривизну в данной точке кривой? Оказывается можно. Для этого определим сначала среднюю кривизну некоторого участка кривой.

Пусть при перемещении точки по кривой из положения M1 в положение M 2 касательный вектор повернётся на угол . Обозначим пройденное расстояние через s . Ясно, что есть функция s (см. рис. 24.1).

Рис. 24.1

Отношение

k

s cp

назовём средней кривизной участка кривой s .

Рассмотрим некоторые примеры. Перемещение точки вдоль прямой на расстояние s не меняет направления касательного вектора, т.е. 0 . Таким образом, средняя кривизна любого участка прямой линии равна нулю, что не противоречит здравому смыслу.

Пусть теперь точка «прошла» некоторую дугу s окружности радиуса R . Поскольку длина дуги окружности с центральным углом равна

s R , то средняя кривизна любой части окружности равна

1 kcp s R s R

169