10298
.pdfТеперь, что касается модуля смешанного произведения. Рассмотрим рисунок
Рис. 8.9
и запишем
| a b,c | | a | | b | | sin | | c | | cos | S h V
гдеV – объем параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c .
Итак, смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Нам осталось только научиться вычислять смешанное произведение векторов, заданных своими координатами. Пусть
a ax , ay , az , b bx ,by ,bz , с {cx ,cy ,cz }.
Тогда
d a b |
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
ay |
az |
|
|
a |
x |
a |
z |
|
ax |
ay |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a |
|
a |
|
a |
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|||||||||||||||
x |
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
bz |
|
|
bx |
bz |
|
bx |
by |
|
||||||
|
|
bx |
by |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ,c i |
|
ay az |
|
j |
|
ax |
az |
|
k |
|
ax ay |
|
, cxi cy j czk |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
by |
bz |
|
|
bx bz |
|
|
bx by |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
a3 |
|
a1 a3 |
|
a1 |
a2 |
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
||||||||||
c |
c |
c |
|
|
b b b |
||||||||
1 |
b b |
2 |
b b |
3 |
b b |
|
|
x |
y |
z |
|||
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
cx |
cy |
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, мы получили выражение смешанного произведения через координаты сомножителей
60
ax ay aza b,c bx by bz .
cx cy cz
Следовательно, объём параллелепипеда, построенного на векторах a , b , c вычисляется по формуле
ax ay az V | bx by bz | .
cx cy cz
Часто возникает задача вычисления объема пирамиды по координатам ее вершин. Сведем эту задачу к вычислению объема параллелепипеда. Для этого разделим параллелепипед диагональным сечением на две равновеликих призмы
Рис. 8.10
В свою очередь каждую из полученных призм можно разделить на три равновеликих пирамиды.
Рис. 8.11
Таким образом, объем пирамиды равен 1/ 6 от объема параллелепипеда, построенного на этих же векторах, т.е.
61
|
|
1 |
|
a1 |
a2 |
a3 |
|
|
V |
|
| |
b |
b |
b |
| . |
||
|
||||||||
пир |
6 |
|
1 |
2 |
3 |
|
||
|
|
c1 |
c2 |
c3 |
|
|||
|
|
|
|
|
В заключение этой темы обратимся к геометрической интерпретации однородных систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Одно из её решений очевидно. Это нулевое решение. Его называют тривиальным. Естественно возникает вопрос о существовании других решений. В «солидных» курсах алгебры доказывается, что для существования нетривиальных решений необходимо и достаточно, чтобы определитель системы однородных уравнений был равен нулю. Это утверждение становится очевидным (в трёхмерном случае), если
сформулировать задачу на «языке» векторной алгебры. |
|
|||||||
Действительно, так как линейное уравнение вида a1x1 a2 x2 a3 x3 |
0 |
|||||||
означает, что скалярное |
|
произведение |
векторов a a1,a2 ,a3 и |
|||||
x x1, x2 , x3 равно нулю, т.е. они ортогональны, то решить систему |
|
|||||||
a1x1 a2 x2 a3 x3 0 |
|
|||||||
|
|
|
b2 x2 |
b3 x3 0 |
|
|
||
b1x1 |
(8.2) |
|
||||||
c x c x c x 0 |
|
|
||||||
|
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
|
|
это, значит, найти такой вектор x x1, x2 , x3 , который был бы перпендикулярен к трём векторам
a a1,a2 ,a3 , b b1,b2 ,b3 , c c1,c2 ,c3 .
Очевидно, что такой ненулевой вектор x существует тогда и только тогда, когда векторы a, b,c лежат в одной плоскости, то есть они компланарны. А равенство нулю определителя этой системы
a1 |
a2 |
a3 |
|
b1 |
b2 |
b3 |
0 |
c1 |
c2 |
c3 |
|
и есть условие компланарности этихвекторов.
Раздел 3. Аналитическая геометрия. Прямые и плоскости
62
Лекция 9. Прямая линия на плоскости
Любая точка на плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел – ее декартовыми координатами. Также и вектор на плоскости задается парой своих декартовых координат. В этой и ближайших лекциях мы получим аналитические представления для таких геометрических объектов, как прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве.
9.1. Общее уравнение прямой.Пусть на плоскости с декартовой прямоугольной системой координат проведена прямая L , и мы хотим получить уравнение, связывающее координаты любой точки, принадлежащей этой прямой.
Рис. 9.1
Для этого зафиксируем какую-нибудь точку M 0 (x0 , y0 ) L и возьмем вектор N A, B , перпендикулярный (ортогональный, нормальный) к этой пря-
мой L . Очевидно, что для |
произвольной точки |
M (x, y) L |
векторы |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M0M x x0 ; y y0 |
и |
N |
перпендикулярны, т.е. их скалярное произве- |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
дение обращается в ноль |
N, M0M 0 или в координатах |
|
|||||||
|
A(x x0 ) B( y y0 ) 0 |
(9.1) |
|
|
|||||
Таким образом, уравнение (9.1) – уравнение прямой L , проходящей через |
|||||||||
заданную точку |
M 0 (x0 , y0 ) перпендикулярно |
заданному |
вектору |
||||||
|
N A, B . |
|
|
|
|
|
|
|
Раскрывая в (9.1) скобки, получим уравнение
Ax By C 0 , |
(9.2) |
где для краткости обозначено C Ax0 By0 .
Уравнение (9.2) называют общим уравнением прямой на плоскости. Обратим внимание, что уравнение прямой на плоскости является линейным
63
уравнением относительно переменных x и y , а коэффициенты при них –
соответствующие координаты нормального |
к |
этой |
прямой вектора |
N A, B . |
|
|
|
Обратно, покажем, что уравнение вида |
(9.2) |
определяет прямую на |
|
плоскости и построим эту прямую. По данным числам |
A и B образуем |
вектор N A, B и введём вектор r x, y . Тогда уравнение (9.2) можно представить в виде N,r C 0 или| N | ПрN r C . Отсюда
Пр N r C| N |,
т.е. все радиус-векторы r x, y , координаты которых удовлетворяют уравнению (9.2), имеют одну и ту же проекцию на фиксированный вектор N A, B . Это означает, что точки M ( x, y ) принадлежат прямой, перпендикулярной вектору N A, B и отстоящей от начала координат на расстояние | p |, где
p |
C |
|
|
|
C |
|
. |
| N |
| |
|
|
|
|||
|
|||||||
|
|
|
A2 B2 |
Отсюда следует алгоритм построения прямой по заданному уравнению (9.2). Через начало координат проведем прямую в направлении вектора
N A, B и отложим |
на ней |
от начала координат отрезок длиной |
N A, B в направлении |
вектора |
N A, B , если p 0 , или в противо- |
положном направлении, если p 0 . Через конец P этого отрезка проводим перпендикулярно ему требуемую прямую L .
N
O L
Рис. 9.2
Построение прямой производится гораздо проще, если воспользо-
ваться так называемым уравнением прямой в отрезках
64
x |
|
y |
1, |
(9.3) |
|
a |
b |
||||
|
|
|
где (a,0) и (0,b) – точки пересечения прямой L с осями абсцисс и ординат,
соответственно.
Действительно, из (9.2) следует Ax By С и далее, предполагая, что A 0, B 0,C 0 (т.е. прямая не проходит через начало координат и не параллельна координатным осям) и разделив обе части этого уравнения на
C , получим уравнение (9.3), в котором a CA и b CA величины отрез-
ков, которые прямая «отрезает» от осей координат (см. рис. 9.3).
Рис. 9.3
9.2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Иногда уравне-
ние прямой удобно представить в другом виде. Пусть прямая L пересекает ось ординат в точке (0,b) и образует с положительным направлением оси
абсцисс угол , тангенс которого обозначим через k tg .
Рис. 9.4
Из рисунка следует, что для любой точки M (x, y) L выполняется равенство
65
y b tg k , x
из которого следует уравнение прямой с угловым коэффициентом
y kx b . |
(9.4) |
Пусть точка M 0 (x0 , y0 ) L , тогда y0 kx0 b . Выражая отсюда b и
подставляя в (9.4), получим уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через заданную точку, в виде
y y0 k (x x0 ) . |
(9.5) |
Заметим, что меняя в уравнении (9.5) величину k , мы получим множество прямых, проходящих через данную точку. Это множество прямых называется пучком прямых,проходящих через заданную точку.
9.3. Параметрические и каноническое уравнения прямой.Уравне-
ние прямой L можно получить, задавая точку M 0 (x0 , y0 ) и её направляю-
щий вектор S {m, n} (см. рис. 9.5).
Рис. 9.5
Пусть M (x, y) L – произвольная точка. В силу коллинеарности векторов
S и M0M x x0; y y0 имеем равенство |
M0M t S .В координатах |
||
это равенство примет вид |
|
|
|
x x0 |
m t |
t . |
(9.6) |
|
|
||
y y0 |
n t |
|
|
Это так называемые параметрические уравнения прямой. Ясно, что при изменении значения параметра t в пределах от до точка M (x, y)
«пробегает» всю прямую L . Очевидно, что точке M 0 (x0 , y0 ) соответствует
значение параметра t 0 . Исключая из этих уравнений параметр t , полу-
чим каноническое уравнение прямойна плоскости
66
x x0 |
|
y y0 |
. |
(9.7) |
|
|
|||
m |
|
n |
|
В частности, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, например, S {m,0}, то получаем уравнение прямой y y0 .
В качестве следствия из уравнения (9.7) получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1 (x1, y1 ) и M 2 (x2 , y2 ) . Как из-
вестно, прямая определяется двумя своими точками. Нетрудно понять, что вектор
M1M2 x2 x1; y2 y1
можно считать направляющим вектором данной прямой. Отсюда получим
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
x x1 |
|
y y1 |
. |
|
|
||
x2 x1 |
|
y2 y1 |
Лекция 10. Прямые линии на плоскости
10.1. Взаимное расположение двух прямых. Пусть сначала две пря-
мые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:
67
|
y k1x b1, |
y k2 x b2 . |
|
Найдем наименьший положительный угол между прямыми L1 и L2 . |
|||
|
y |
|
L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
O |
x |
|
|
Рис. 10.1 |
|
Пусть 1 |
и 2 — углы между положительным направлением оси Ox и пря- |
||
мыми L2 |
и L2 соответственно. Тогда 2 |
1 (внешний угол треуголь- |
ника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных). Отсюда следует,
что 2 |
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg tg 2 1 |
|
tg 2 tg 1 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
tg tg |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg 1 k1 , tg 2 k2 , то |
|
|
|
|
||
tg |
k2 k1 |
. (10.1) |
|
|
|
|
|
|
1 k1 k2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По этой формуле вычисляется положительный угол |
, |
который отсчиты- |
||||||
вается от прямой |
y k1x b1 до прямой |
y k2 x b2 . |
Поскольку тангенс |
этого угла может быть и отрицательным, то угол между прямыми равен
| arctg k1 k2 | . 1 k1k2
Иногда по заданному углу между прямыми и известному угловому коэффициенту одной из прямых нужно найти угловой коэффициент другой прямой. Поэтому нужно быть внимательными при применении формулы (10.1). Чтобы подчеркнуть, какой угол вычисляется по этой формуле, в ней ставят стрелку, показывающую, что угол отсчитывается от прямой с угловым коэффициентом k1 до прямой с угловым коэффициентом k2 .
68
Пример.В |
плоскости луч |
света |
|
направлен по прямой |
||||||||||
L1 : x 2 y 5 0 |
идойдя до прямой |
L2 : 3x 2 y 7 0 от неё отразился. |
||||||||||||
Получить уравнение прямой, по которой направлен отражённый луч. |
||||||||||||||
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
Вычисляем тангенс угла «падения» |
tg |
2 |
2 |
|
|
|
(см. рис. 10.2) |
|||||||
|
3 |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
7 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
Рис. 10.2
Из аналогичной формулы для тангенса угла «отражения»
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
tg |
|
k3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
k3 |
|
7 |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
получаем угловой коэффициент k3 29 / 2 |
прямой, по которой направлен |
|
отражённый луч. Находим координаты точки M 0 ( 1, 2) пересечения пря- |
||
мых L1 и L2 , решив систему уравнений |
|
|
3x 2 y 7 0 |
. |
|
|
|
|
x 2 y |
5 0 |
|
Из уравнения пучка прямых |
|
y y0 |
k (x x0 ) |
получаем уравнение иско- |
|||||||||
мой прямой 29x 2 y 33 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Вернемся к формуле (10.1) и получим условия перпендикулярности |
|||||||||||||
и параллельности двух прямых y k1x b1 , |
y k2 x b2 , выраженные че- |
||||||||||||
рез их угловые коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L L k |
2 |
|
1 |
; |
L |
|
|
k k |
2 |
. |
|||
|
L |
||||||||||||
|
|||||||||||||
1 |
2 |
|
k1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69