10298

которые будем называть комплексными. Число x Re z Re(x iy) назы-

ваютдействительной (лат. realis– действительный) частью комплексного числа, а число y Im z Im(x iy) его мнимой (лат. imaginarius – мнимый)

частью.

31.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Ком-

плексные числа удобно изображать точками плоскости xOy , с декартовой

системой координат, которую в этом случае называют комплексной плоскостью. Ось абсцисс этой плоскости называют действительной осью – ей отвечают действительные числа z x , а ось ординат – мнимой осью. Числа z iy , лежащие на мнимой оси, называют чисто мнимыми.

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 равны тогда и только

тогда, когда x1 x2 и y1 y2

Сопряжённым к данному комплексному числу z x iy назовем число z x iy , которое обычно помечается чертой сверху. Сопряжённые комплексные числа отличаются знаком мнимой части. Если z x iy , то z x iy . Сопряжённые числа симметричны относительно действительной оси (см. рис. 31.1).

Рис. 31.1

31.3.Тригонометрическая форма комплексного числа. Наряду с ал-

Угол между положительным направлением оси Ox и радиус-векто- ром z называется аргументом комплексного числа. Поскольку этот угол определяется с точностью до числа, кратного 2 ,то выделим его главную ветвь 0 argz 2 . Значение arg z определяется как решение системы уравнений

220

Рис. 31.2

От алгебраической формы комплексного числа легко перейти к его тригонометрической форме

рис. 31.2). Таким образом,

z1 i 2(cos 54 i sin 54 ) .

31.4.Операции над комплексными числами. Начнем со сложения. Суммой (разностью) двух комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2

называется комплексное число z z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )

Рис. 31.3

221

Заметим, что это соответствует правилу сложения векторов (см. рис. 31.3).

Произведением комплексных чисел называется число

(x1 iy1 ) (x2 iy2 ) (x1x2 y1y2 ) i(x1 y2 x2 y1 ) .

Найдём произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

z1 z2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 )

r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 ))

r1r2 (cos( 1 2 ) i(sin( 1 2 )) .

Таким образом, при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули нужно перемножить, а аргументы сложить.

Геометрический смысл умножения на комплексное число

z r(cos i sin )

состоит в том, что происходит «растяжение» плоскости с коэффициентом r и поворот на угол . Благодаря этим свойствам комплексных чисел с их помощью удаётся решать задачи теории упругости, связанные с деформацией твёрдых тел, а также изучать движение жидкостей и газов.

Пример.Найти произведение чисел z1 2(cos(30 i sin30 ) и

z2 2(cos(120 i sin120 ).Умножение в тригонометрической форме даёт

В результате умножения вектора z1 на вектор z2 длина вектора z1 уве-

личилась в два раза и он «повернулся» на угол 120 (см. рис. 31.4).

После этого становится понятными правила умножения отрицательных чисел. Почему, например, ( 1) ( 1) 1? Действительно, представляя

1 в тригонометрической форме, получаем

( 1)( 1) (cos i sin ) (cos isin ) (cos 2 isin 2 ) 1.

Также перестаёт быть «таинственной» формула i 2 1, поскольку

i i (cos 2 i sin 2 )(cos 2 i sin 2 ) (cos i sin ) 1.

Чтобы получить частное двух комплексных чисел, нужно умножить и числитель и знаменатель дроби на число сопряжённое знаменателю и отделить вещественную и мнимую части.

Найдём частное двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

r1 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i(sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 )) r2

r1 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )). r2

Итак, модуль частного двух комплексных чисел равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

ставим каждое из этих чисел в тригонометрической форме:

Тогда частное равно z1 / z2 2(cos1500 i sin1500 ) 3 i (см. рис. 31.5).

223

Определим операцию возведения в степень комплексного числа. По правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме для всякого натурального числа n имеем

zn rn (cos n i sin n ) .

В частном случае, когда модуль числа равен единице, получается формула, носящая имя английского математика А. Муавра (1667-1754)

(cos i sin )n cos n isin n .

Эта формула служит источником для получения многих замечательных соотношений, связывающих тригонометрические функции. Например, при n 2 имеем равенство

cos2 2isin cos sin2 cos2 isin 2 .

Приравнивая действительные и мнимые части, получаем известные формулы для синуса и косинуса двойного аргумента

224

Лекция 32. Решение алгебраических уравнений

32.1. Извлечение корня из комплексного числа.Число z называется корнем n -ой степени из комплексного числа a , если zn a . Эта опера-

ция – обратная возведению комплексного числа в целую положительную степень. Во множестве вещественных (действительных) чисел эта задача

? В этой форме уравнение примет вид

rn (cos i sin )n | a | (cos isin )

или

rn (cos n i sin n ) | a | (cos isin ) .

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2 , т.е.

rn | a |, n 2 k, k 0, 1, 2, .

Поэтому все корни имеют один и тот же модуль r n | a | , а аргументы этих корней определяются по формуле

Убедимся, что число корней конечно и равно показателю n степени уравнения. Действительно, представляя искомые корни в тригонометрической форме

видим, что в силу периодичности тригонометрических функций достаточно

Итак, мы получили n корней n -й степени из комплексного числа. Это –

их геометрическая интерпретация: все корни расположены на окружности,

Например, уравнение z3 8 0 имеет три корня, расположенных на окруж-

положительным корнем из положительного числа. Если расширить его применение для изображения корня из комплексного числа, то он потеряет однозначность. Например,

226

32.2.Квадратное уравнение.Рассмотрим квадратное уравнение

ax2 bx c 0 , коэффициенты которого действительные числа. Формально написанная формула для вычисления его корней

во множестве действительных чисел не имеет смысла, если подкоренное вы-

Следовательно, если дискриминант уравнения отрицателен, то

b2 4ac (4ac b2 ) i | b2 4ac | .

Формула вычисления корней квадратного уравнения принимает вид

Пример.Решитьуравнение z3 8 0 . После разложения левой части уравнения на множители

(x 2)(x2 2x 4) 0

227

становится очевидным действительный корень уравнения x1 2 , а два комплексно сопряжённых корня находятся по формуле (32.2)

x2,3 1 1 4 1 3 1 i3 .

Геометрическая интерпретация корней данного уравнения дана на рис. 32.1.

32.3.Разложение многочлена на множители.Рассмотрим многочлен степени n

Число z1 , обращающее этот многочлен в нуль ( Pn (z1 ) 0 ), называют корнем уравнения Pn (z) 0 .На протяжении многих веков делались попытки получить формулы для вычисления корней уравнений Pn (z) 0 степени

n 3. В 1545 г. итальянский математик, философ и врач Д. Кардано (15011576) опубликовал формулы решения кубического уравнения. Возник спор о приоритете с другим итальянским математиком Николло Тарталья (14991557). Ученик Кардано Л.Феррари (1522-1565) нашёл способ решения уравнений четвёртой степенипутём сведения к решению кубического уравнения. Норвежский математик Нильс Абель (1802-1829) доказал, что алгебраические уравнения степени n 4 неразрешимы в радикалах. Это надо понимать в том смысле, что корни уравненияне выражаются через его коэффициенты ak с помощью конечного числаопераций сложения, вычитания,

умножения, деления и извлечения корня.

Важный результат о существовании корней алгебраического уравнения носит название основной теоремыалгебры. Эта теорема гласит, что

всякий многочлен Pn (z) степени n 1имеет по крайнейодин комплекс-

ный корень.Эта теорема впервые (не вполне строго) была доказана французским учёным Ж. Даламбером (1717-1783).Строгое доказательство дал Карл Гаусс (1777-1855) в 1799 году. Основная теорема алгебры даёт возможность представления многочлена в виде произведения множителей, содержащих его корни

откуда следует, что всякое алгебраическое уравнение имеет ровно n корней.

Некоторые из корней могут совпадать. Их называют кратнымив отличие от простых, т.е. неповторяющихся корней. Кратность корня – это число его повторений в разложении многочлена на множители. С учётом кратности корней получим разложение многочлена

где z1, , zk – различные корни уравнения Pn (z) 0 , а r1, , rk – их кратности, причём r1 rk n . Указанные разложения справедливы для многочле-

нов, как с вещественными, так и с комплексными коэффициентами. Отметим без доказательства, что если многочлен имеет вещественные

коэффициенты, то наряду с комплексным корнем z i многочлен обладает сопряжённым корнем z i , причём той же кратности. Объединяя в разложении многочлена такие пары, получаем

(z z)(z z ) (z i )(z i ) z2 2 z 2 2 z2 pz q .

Таким образом, многочлен с вещественными коэффициентами раскладывается на линейные множители с вещественными корнями и квадратичные множители с парой комплексно сопряжённых корней. Переменную в случае многочлена с вещественными коэффициентами будем обозначать буквой x . Итак, многочлен с вещественными коэффициентами имеет раз-

32.4. Разложение правильных дробей на простые дроби.Разложение многочлена на множители связано с задачей разложения правильной рациональной дроби

x2 px q не имеет действительных корней. Оказывается, что всякую

правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей. Этот алгебраический факт мы примем без доказательства.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе ( m n ). В противном случае ( m n ) рациональная дробь называется неправильной. Всякую неправильную рациональную дробьможно

229